(共31张PPT)
二次函数的图象与性质
湘教版 九年级下
教学目标
1. 掌握当a＞0时，二次函数图象的作图步骤；
2. 通过画图，了解二次函数的图象是一条曲线；
3. 初步了解当a＞0时，二次函数的性质；
4. 培养画图能力，增强合作意识，养成认真做事的习惯.
新知导入
1.什么叫做二次函数吗？二次函数的一般形式是什么？
表达式是自变量的二次多项式的函数叫做二次函数.
二次函数的一般形式是：
(a，b，c是常数，a≠0).
2.一次项系数和常数项都为0的二次函数是什么形式？
新知导入
3.一次函数的图象是一条直线。当＞0时，随的增大而 ；当＜0时，随的增大而 .
4.反比例函数的图象是 。当>0时，图象分别在第 象限内，并且在每个象限，随的增大而 ；当＜0时，图象分别在第 象限，并且在每个象限内，随的增大而 .
增大
减小
双曲线
二、四
一、三
增大
减小
新知导入
5.作反比例函数图象有哪些步骤？
列表取值、描点、连线.
如何画二次函数的图象呢？它的图象是什么呢？二次函数的图象有哪些性质呢
？
新知讲解
画二次函数y=x 的图象．
探究
我们可以像画一次函数、反比例函数的图象那样，按照“列表—描点—连线”的步骤来进行.
如何画二次函数y=x 的图象呢？
列表：对于二次函数y=x ，它的自变量x可以取任意实数.因此让x取0和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表：
新知讲解
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
新知讲解
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.如图.
A
A′
B
B′
C
C′
新知讲解
观察右图，点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？在课本图1-3取更多的点试试，你能得出函数y=x 的图象关于y轴对称吗？
二次函数y=x 的图象关于y轴对称吗？
点A与点A′，点B与点B′，…，都关于y轴对称.
新知讲解
设M(a，a )是函数y=x 的图象上的任一点，由于y=x ，则当x=-a时，y=(-a) =a ，从而总有点M′(-a，a )与M(a，a )关于y轴对称。因此我们可以得出：
二次函数y=x 的图象关于y轴对称.
新知讲解
观察右图，在y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？
函数y=x 在y轴右边部分的图象如何随自变量x变化呢？
在y轴右边的各点，当横坐标增大时，纵坐标随着增大.
新知讲解
根据实数的性质：正实数越大的数，它的平方也越大.由于函数y=x 的图象在y轴右边部分的点的横坐标x＞0，所以当横坐标x增大时，函数y=x 的值也随着增大，由此得出
函数y=x 的图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称“右升”.
新知讲解
连线：根据前面的分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来).这样就得到了y=x 的图象，如图.
y=x
新知讲解
观察所作图象，函数y=x 的图象除了具有关于y轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？
观察
新知讲解
从图中可以看出，二次函数y=x 的图象是一条曲线，对称轴与图象的交点是原点(0，0).
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而减小，简称为“左降”.
当x=0时，函数值最小，最小值为0.
新知讲解
一般地，当a>0时，y=ax 的图象都具有上述性质，即：
(1)它的图象是一条曲线，开口向上；
(2)图象的对称轴为y轴；
(3)图象与对称轴交于原点(0，0)；
(4)图象在y轴的左边部分，函数值随自变量的增大而减小；图象在y轴的右边部分，函数值随自变量的增大而增大，即y=ax 的图象“左降右升”；
(5)当x=0时，函数值最小，最小值为0.
新知讲解
由于是一条曲线，而且这条曲线关于y轴对称，因此我们画y=ax 的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤.
你能归纳出画函数y=ax (a>0)的图象的方法吗？
例题讲解
例1 画二次函数的图象.
分析：因为二次函数的图象关于y轴对称，因此列
表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值
.
列表：
0 1 2 3 …
0 2 …
例题讲解
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如图.
例题讲解
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了的图象.如图
.
课堂作业
1. 画出二次函数y=6x 的图象，并填空：
(1)图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是
；
(2)图象的开口向 ；
(3)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而
；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量
的增大而 .
分析：因为二次函数的图象关于y轴对称，因此列
表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值。考虑到自变量取2以上的数时，的值较大，为了便于画图，我们取一些与1相近的值。
列表：
0 1 …
0 …
课堂作业
描点和连线：先画出在y轴右边部分的图象。再利用图象的对称性，画出y轴左边的部分的图形，这样就得到了的图象.如图.
课堂作业
填空：
(1)图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是
；
(2)图象的开口向 ；
(3)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而
；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量
的增大而 .
y轴
(0，0)
上
减小
增大
课堂作业
2. 在同一坐标系中画出二次函数y=3x 及的图象.
解 列表：
0 1 2 6 …
0 3 12 —— …
0 —— 1 9 …
课堂作业
描点和连线：
作出函数y=3x 及的图象 ，如右图。
课堂作业
共同点：①图象开口都向上；
②对称轴都是y轴；
③图象都是左降右升；
④图象与对称轴的交点都是原点。
不同点：
y=3x 的图象比开口小.
课堂总结
1. 如何画二次函数的图象？
③在画好的函数图象旁边标出函数表达式.
①从0开始，取4个以上的适当的值，列表；接着描点和连线，用光滑曲线画出轴右边部分的图象
.
②根据图形的对称性，找关于轴对称的点，用光滑曲线画出轴左边部分的图象
.
课堂总结
2. 二次函数的图象有什么性质？
①函数图象开口向上.
③图象与对称轴的交点是原点(0，0).
④在对称轴左边，函数随自变量的增大而增大；在对称轴左边，函数随自变量的增大而减小.图象“左降右升”.
②对称轴为轴
.
⑤当为0时，有最小值，最小值为0
.
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1.2二次函数函数的图象与性质（1）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：2
课 题 二次函数的图象与性质 课型 新授课
教学目标 1. 掌握当a＞0时，二次函数y=ax 图象的作图步骤； 2. 通过画图，了解二次函数y=ax 的图象是一条曲线； 3. 初步了解当a＞0时，二次函数y=ax 的性质； 4. 培养画图能力，增强合作意识，养成认真做事的习惯.
教学重点 1. 掌握画二次函数的图象的步骤方法，能画出其图象； 2. 通过观察讨论，归纳出的性质。
教学难点 1. 画二次函数的图象； 2. 掌握二次函数的性质.。
教 学 活 动
一、温故导新 （一）师问生答，PPT展示 1、 什么叫做二次函数吗？二次函数的一般形式是什么？ 生1：表达式是自变量的二次多项式的函数叫做二次函数. 生2：二次函数的一般形式是：y=ax +bx+c(a，b，c是常数，a≠0). 2、 一次项系数和常数项都为0的二次函数形式是什么？ 生：y=ax (a≠0) （二）复习填空 3、 一次函数y=kx+b的图象是一条直线。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 . 4、 反比例函数的图象是双曲线。当k>0时，图象分别在第一、三象限，并且在每个象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分别在第二、四象限，并且在每个象限，y随x的增大而增大。 （三）导入新课 师：作反比例函数图象有哪些步骤？ 生：列表取值、描点、连线. 师：如何画二次函数y=ax (a>0)的图象呢？它的图象是什么呢？二次函数y=ax (a>0)的图象有哪些性质呢？ . 二、教学新知 （一）探究画法，感知性质 出示任务一 画二次函数y=x 的图象． 1、 目标导向 师：如何画二次函数y=x 的图象呢？（引导学生回顾联想） 生：我们可以像画一次函数、反比例函数的图象那样，按照“列表—描点—连线”的步骤来进行. 2、 列表 （1）教师讲解：对于二次函数y=x ，它的自变量x可以取任意实数.因此让x取0和一些互为相反数的数（4个以上），并且算出相应的函数值。 （2）列表： x…-3-2-10123…y=x …9410129…
3、 描点（播放动画） 在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.如图. 4、 感知图象对称性 （1）观察右图，点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？ 生：点A与点A′，点B与点B′，…，都关于y轴对称. （2）在课本图1-3取更多的点试试，你能得出函数y=x 的图象关于y轴对称吗？ 生：二次函数y=x 的图象关于y轴对称. （3）教师说明：设M(a，a )是函数y=x 的图象上的任一点，由于y=x ，则当x=-a时，y=(-a) =a ，从而总有点M′(-a，a )与M(a，a )关于y轴对称。因此我们可以得出：二次函数y=x 的图象关于y轴对称. 5、 感知函数性质 （1）观察右图，在y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？ 生：在y轴右边的各点，当横坐标增大时，纵坐标随着增大. （2）猜想：y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？ 生：所有的点都具有这个特点。 教师说明：根据实数的性质：正实数越大的数，它的平方也越大.由于函数y=x 的图象在y轴右边部分的点的横坐标x＞0，所以当横坐标x增大时，函数y=x 的值也随着增大。 展示探究结论函数y=x 的图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称“右升”。 6、 连线 （1）说明方法：根据前面的分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来).这样就得到了y=x 的图象，如图. （2）展示画图动画，说明画图过程及注意点，特别强调y轴每一边的曲线要光滑，最好看着一笔画成。 （二）探究函数性质 出示任务二： 观察所作图象，函数y=x 的图象除了具有关于y轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？ 学生合作谈论后，教师用PPT展示： 1、 二次函数y=x 的图象是一条曲线，对称轴与图象的交点是原点(0，0). 2、 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而减小，简称为“左降”. 3、 当x=0时，函数值最小，最小值为0. 三、教学例题 例1 画二次函数y=x 的图象. 分析：因为二次函数y=x 的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值。. 解：列表 x0123…02…
描点和连线 （1）画出图象在y轴右边的部分. （2）利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=x 的图象.如图 四、课堂练习 第7页练习第1、2题 1、 画出二次函数y=6x 的图象，并填空： (1)图象的对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是 (0,0)； (2)图象的开口向上； (3)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而增大；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而减小. 【作业指导】因为二次函数y=6x 的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值。考虑到自变量x取2以上的数时，y的值较大，为了便于画图，我们取一些与1相近的值。 解：列表 x01…0…
描点和连线： 先画出y=6x^2在y轴右边部分的图象。再利用图象的对称性，画出y轴左边的部分的图形，这样就得到了y=6x^2的图象.如上图. 学生观察所画填空，完成填空. 2、 在同一坐标系中画出二次函数y=3x 及的图象. 解 （1）列表： 0126…0312——…0——19…
（2）描点和连线： 在同一坐标系中画出二次函数y=3x 及的图象，如图。 观察图象，可知： 共同点：①图象开口都向上； ②对称轴都是y轴； ③图象都是左降右升； ④图象与对称轴的交点都是原点。 不同点： y=3x 的图象比开口小. 教师讲解：当a＞0时，a的值越大，函数图象开口越小。 五、课堂总结 师问生答，PPT展示 1、 如何画二次函数y=ax (a>0)的图象？ ①从0开始，取4个以上的适当的x值，列表；接着描点和连线，用光滑曲线画出y轴右边部分的图象； ②根据图形的对称性，找关于y轴对称的点，用光滑曲线画出y轴左边部分的图象； ③在画好的函数图象旁边标出函数表达式. 2、 二次函数y=ax^2(a>0)的图象有什么性质？ ①函数图象开口向上. ②对称轴为y轴 ③图象与对称轴的交点是原点(0，0). ③图象与对称轴的交点是原点(0，0). ④在对称轴左边，函数随自变量的增大而增大；在对称轴左边，函数随自变量的增大而减小.图象“左降右升”. ⑤当x为0时，y有最小值，最小值为0
板书设计 二次函数 1、 二次函数的图象的画法； 2、 二次函数的图象的性质。
课后反思
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