(共32张PPT)
二次函数y=ax (a＜0)的图象与性质
湘教版 九年级下
教学目标
1. 掌握画图象的方法，能画出其图象；
2. 掌握的性质；
3. 理解抛物线及抛物线的顶点的概念；
4. 进一步提高作图能力与概括图象性质的能力.
新知导入
1. 已知二次函数，填空：
(1)图象的对称轴是 ；
(2)对称轴与图象的交点是 ；
(3)图象的开口向 ；
(4)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而
；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量
的增大而 .
y轴
（0，0）
增大
减小
上
新知导入
2. 议一议，再填空：
设点M是函数y=2x 图象上的任意一点，若点M的横坐标是a，则
(1)点M的纵坐标是 ；
(2)点(a，2a )所在图象的表达式是 ；
(3)点(a，2a )关于x轴的对称点是 ；
(4)点(a，-2a )所在图象的表达式是 .
2a
y=2x
y=-2x
(a，-2a )
新知讲解
我们已经会画的图象，能不能从它得出二次函数的图象呢？
探究
分析：在函数的图象上任取一点P，它关于x轴的对称点Q的坐标是。
新知讲解
如图所示，点Q在函数的图象上。由此可知，的图象与的图象，关于x轴对称
。
新知讲解
因此只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到的图象，如图中的蓝色曲线
。
新知讲解
观察图象，函数的图象有哪些性质？
新知讲解
二次函数的图象是一条曲线，它的开口向下，图象的对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是原点(0，0)
。
新知讲解
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”。
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右降”。
当x=0时，函数值有最大值，最大值为0.
新知讲解
一般地，当a＜0时，的图象都具有上述性质，于是我们画的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤.
例题讲解
例2 画二次函数的图象.
分析：因为二次函数的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值
.
列表：自变量x可以从原点的横坐标0开始取值。
0 1 2 3 4 …
0 …
例题讲解
x
y
O
-2
-4
2
-2
-4
2
4
-6
利用对称性画出图象在y轴右边的部分.
描点和连线：
画出函数在y轴右边的部分的图象.
这样就得到了的图象
.
新知讲解
如图，在棒球赛场上，棒球在空中沿一条曲线运动，它与二次函数的图象相像吗？
说一说
新知讲解
以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax (a＞0)的图象的一段.
O
y
x
新知讲解
棒球在空中运动的路线是抛出去的物体运动的路线。由此受到启发，我们把二次函数 y=ax 的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线 y=ax .
一般地，二次函数 y=ax 的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=ax 的顶点.
新知讲解
意大利著名科学家伽利略将炮弹发射经过的路线命名为“抛物线”。可见，数学知识来源于现实生活。现实生活中的许多问题奥妙无穷，正在等待我们去探索。
巩固练习
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 函数y=3x 的图象开口向上，y=-3x 的图象开口向下
B. 函数y=3x 和y=-3x 的图象的对称轴都是y轴
C. 函数y=3x 随自变量的增大而增大，函数y=-3x 随自变
量的增大而减小
D. 当x=0时，函数y=3x 有最小值0，函数y=-3x 有最大值0
C
巩固练习
2. 已知函数y=-5x ，则在4≤x≤10范围内 （ ）
A. 函数值随自变量的增大而增大
B. 函数值随自变量的增大而减小
C. 图象是抛物线y=-5x 的一段，且从左往右上升
D. 当x=10时，函数值最大
B
巩固练习
3. 下列函数中，图象开口最大的是（ ）
A. y=5x
B. y=8x
C. y=-4x
D. y=-12x
C
思路引导：二次函数y=ax 的开口大小由|a|的大小决定，|a|越大，图象开口越小；|a|越小，图象开口越大。故选C,
巩固练习
4. 将函数y=6x 的图象沿x轴翻折，所得图象是（ ）
A. 函数 y=3x 的图象
B. 函数y=-6x 的图象
C. 函数y=-x 的图象
D. 函数y=0.6x 的图象
B
课堂总结
1. 二次函数的图象是一条曲线，称为 .
2. 二次函数的图象关于 对称，抛物线与
对称轴的交点(0,0)叫作抛物线的 .
二次函数的图象有哪些共同特点？请填空：
抛物线
y轴
顶点
课堂总结
二次函数在a＞0，a＜0时性质有何不同？请填表：
a＞0 a＞0
图象开口方向
增减性(图象升降)
最大值或最小值
向上
向下
左降右升
左升右降
有最小值为0
有最大值为0
作业布置
1. 画出二次函数y=-2x 的图象，并填空：
(1)抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)图象的开口向 ；
(3)抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而
；在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而 .
例题讲解
分析：因为二次函数的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值。
解：（1）列表：
0 0.5 1 2 …
0 0.5 2 8 …
新知讲解
描点和连线：
先画出在y轴右边部分的图象。再利用图象的对称性，画出y轴左边的部分的图形，这样就得到了的图象.如图.
作业布置
填空：
(1)抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)图象的开口向 ；
(3)抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而
；在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而 .
y轴
(0，0)
下
减小
增大
能力提升
2. 在同一坐标系中画出二次函数y=-0.4x 及y=-3x 的图象，并比较它们的公共点与不同点.
解 列表：自变量x从原点的横坐标0开始取值。
0 0.5 1 2 4 …
0 —— 1.6 6.4 …
0 12 —— …
课后提升
描点和连线：
分别作出函数y=-0.4x 及的图象，如右图。
课后提升
共同点：①图象开口都向下；
②对称轴都是y轴；
③图象都是左升右降；
④顶点坐标都是原点(0，0)。
不同点：
④y=-0.4x 的图象比y=-3x 开口大.
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1.2二次函数的图象与性质(2)教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：3
课 题 二次函数y=ax (a＜0)的图象与性质 课型 新授课
教学目标 1. 掌握画y=ax (a<0)图象的方法，能画出其图象； 2. 掌握y=ax (a<0)的性质； 3. 了解二次函数的图象是抛物线； 4. 进一步提高作图能力，概括图象性质的能力.
教学重点 1. 二次函数y=ax (a<0)图象的画法； 2. 二次函数y=ax 的性质。
教学难点 1. 画二次函数y=ax (a<0)图象； 2. 掌握二次函数y=ax 的共同性质，及当a＞0，a＜0时性质的不同点。
教 学 活 动
一、温故导新 1、 已知二次函数y=4x ，填空： (1)图象的对称轴是y轴； (2)对称轴与图象的交点是原点（0，0）； (3)图象的开口向向上； (4)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而增大，在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而减小. 2、 议一议，再填空： 设点M是函数y=2x 图象上的任意一点，若点M的横坐标是a，则 (1)点M的纵坐标是2a ； (2)点(a，2a )所在图象的表达式是y=2x ； (3)点(a，2a )关于x轴的对称点是(a，-2a )； (4)点(a，-2a )所在图象的表达式是y=-2x . 二、教学新知 （一）探究画法 问题：我们已经会画的图象，能不能从它得出二次函数的图象呢？ 1、 分析关系： (1)在函数的图象上任取一点P(a，)，它关于x轴的对称点Q的坐标是 (a，). (2)如图所示，点Q在函数的图象上。由此可知，的图象与的图象，关于x轴对称. 2、 点明画法： 因此只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到的图象，如图中的蓝色曲线。 （二）探究性质 问题：观察图象，函数的图象有哪些性质？ 师问生答，教师讲解，PPT展示： 师：的图象的图象是什么？图象的开口方向怎样？ 生：的图象的图象是一条曲线，开口向下. 师：它是轴对称图形吗？对称轴是什么？对称轴与图象的交点是什么？ 生：是轴对称图形。对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是原点(0，0)。 师：函数是怎样随自变量变化的？ PPT：图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”。 PPT：图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右降”。 师：当x=0时，函数值有最大值，最大值为0. （三）抽象概括 PPT：一般地，当a＜0时，y=ax 的图象都具有上述性质，于是我们画y=ax (a＜0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤. 三、教学例题 例2 画二次函数的图象. 分析：因为二次函数的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值. 解：(1)列表：自变量x可以从原点的横坐标0开始取值。 01234…0-1-4…
(2)描点和连线： 教师讲解并动画展示画图过程 画出图象在y轴右边的部分。 利用对称性画出图象在y轴右边的部分. 这样就得到了的图象。 四、合作学习 问题：如图，在棒球赛场上，棒球在空中沿一条曲线运动，它与二次函数y=ax (a<0)的图象相像吗？ 1、 学生讨论： 以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax (a＞0)的图象的一段. 2、 教师讲解： (1)抛物线的概念：棒球在空中运动的路线是抛出去的物体运动的路线。由此受到启发，我们把二次函数y=ax 的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线 y=ax . (2)抛物线的顶点的概念：一般地，二次函数 y=ax 的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=ax 的顶点. (3)“抛物线”名称的由来：意大利著名科学家伽利略将炮弹发射经过的路线命名为“抛物线”。可见，数学知识来源于现实生活。现实生活中的许多问题奥妙无穷，正在等待我们去探索。 四、巩固练习 1、 下列说法中，不正确的是（ ） A. 函数y=3x 的图象开口向上，y=-3x 的图象开口向下 B. 函数y=3x 和y=-3x 的图象的对称轴都是y轴 C. 函数y=3x 随自变量的增大而增大，函数y=-3x 随自变量的增大而减小 D. 当x=0时，函数y=3x 有最小值0，函数y=-3x 有最大值0 【答案】C 2、 已知函数y=-5x ，则在4≤x≤10范围内 （ ） A. 函数值随自变量的增大而增大 B. 函数值随自变量的增大而减小 C. 图象是抛物线y=-5x 的一段，且从左往右上升 D. 当x=10时，函数值最大 【答案】B 3、 下列函数中，图象开口最大的是（ ） A. y=5x B. y=8x C. y=-4x D. y=-12x 【答案】C 【思路引导】二次函数y=ax 的开口大小由|a|的大小决定，|a|越大，图象开口越小；|a|越小，图象开口越大。故选C, 4、 将函数y=6x 的图象沿x轴翻折，所得图象是（ ） A. 函数 y=3x 的图象 B. 函数y=-6x 的图象 C. 函数y=x 的图象 D. 函数y=0.6x 的图象 【答案】B 五、课堂总结 1、 二次函数y=ax2的图象有哪些共同特点？请填空： (1)二次函数y=ax 的图象是一条曲线，称为抛物线. (2)二次函数y=ax 的图象关于y轴对称，抛物线与对称轴的交点(0,0)叫作抛物线的顶点. 2、 二次函数y=ax 在a＞0，a＜0时性质有何不同？请填表： y=ax a＞0a＜0图象开口方向向上向下增减性(图象升降)左降右升左升右降最大值或最小值当x=0时，y有最小值0当x=0时，y有最大值0
六、作业及指导 1、 画出二次函数y=-2x 的图象，并填空： (1)抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)； (2)图象的开口向下； (3)抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而减小. 分析：因为二次函数y= 2x 的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值。 解：列表，自变量x从原点的横坐标0开始取值。 x00.512… y= 2x 0-0.5-2-8…
描点和连线：先画出y= 2x 在y轴右边部分。 再利用图象的对称性，画出y轴左边的部分， 这样就得到了y= 2x 的图象.如图. 2、 在同一坐标系中画出二次函数y=-0.4x 及y=-3x 的图象，并比较它们的公共点与不同点. 解：列表，自变量x从原点的横坐标0开始取值。 x00.5124…y=-0.4x 0——-0.4-1.6-6.4…y=-3x 0-0.75-3-12——…
描点和连线： 分别作出函数y=-0.4x 及y= 3x 的图象，如右图。 从图可以看出： 共同点： ①图象开口都向下； ②对称轴都是y轴； ③图象都是左升右降； ④顶点坐标都是原点(0，0)。 不同点： ④y=-0.4x 的图象比y=-3x 开口大.
板书设计 二次函数数y=ax (a＜0)的图象与性质 1、 二次函数数y=ax (a＜0)的图象的画法 2、 二次函数y=ax 的性质
课后反思
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