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1.1二次函数的图象与性质（4）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：5
课 题 二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质 课型 新授课
教学目标 1. 理解抛物线y=a(x h) +k与y=a(x h) 的关系； 2. 掌握二次函数y=a(x h) +k的图象与性质； 3. 会画y=a(x h) +k的图象； 4. 能用y=a(x h) +k的图象与性质解答相关问题.
教学重点 1. 抛物线y=a(x h) +k与y=ax 的关系； 2. 二次函数y=a(x h) +k的图象与性质； 3. 画二次函数y=a(x h) +k的图象.
教学难点 1. 根据二次函数y=a(x h) +k的图象与性质解决问题； 2. 画二次函数y=a(x h) +k的图象.
教 学 活 动
一、温故导新 1、 填表： y=a(x-h) a＞0a＜0图象抛物线抛物线开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点（h，0）（h，0）增减性(图象升降)在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大（左降右升）在对称轴左边，y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的增大而减小（左升右降）最大值或最小值当x=h时，有最小值为0当x=h时，有最大值为0
2、 抛物线y=a(x h)2(h>0)与y=ax2有什么关系？ 生：将抛物线y=a(x h)2向右平移h个单位得到y=ax2. 3、 如何画二次函数y=a(x h)2的图象 生：①确定、画好图象的对称轴x=h和顶点坐标(h,0)； ②列表：横坐标x从h开始取值； ③描点连线，画出对称轴右边部分； ④利用对称性，画出对称轴左边部分，并在抛物线旁边标记函数表达式. 二、教学新知 （一）探究抛物线y=a(x h)2+k与y=a(x h)2的关系 问题：如何画二次函数y=(x 1) +3的图象？ 1、 分析：我们已经会画二次函数y=(x 1) 的图象，并且知道这个函数的性质。那么要解决上述问题，我们先来探究二次函数y=(x 1) +3与y=(x 1) 之间的关系。 2、 观察下表，根据坐标分析函数值的变化： 二次函数函数上的点横坐标x纵坐标yaa
生：从上表看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比函数的值大3. 3、推测两个函数的图象关系 师：由此推测，两个函数的图象有什么关系？ 生：函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位而得到。 师：用PPT展示两个函数的图象，如右图. （二）探究函数的性质 1、 师生互动 师：观察上面两个两个函数的图象，说说的图象，开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？与有何关系？ 生1：函数的图象也是抛物线，开口向上。 生2：的对称轴是y轴，与的对称轴一样 生3：的顶点坐标为(1，3)，是由抛物线的顶点(1，3)向上平移3个单位长度得到的。 2、 归纳性质 PPT：一般地，二次函数y=a(x h) +k的图象是抛物线，它具有下述性质： 抛物线 y=a(x h) +k对称 轴顶点 坐标开口 方向性 质在对称轴左边在对称轴右边a＞0x=h（h，k）向上y随x的增大而减小y随x的增大而增大a＜0x=h（h，k）向下y随x的增大而增大y随x的增大而减小
（三）探究二次函数y=a(x h) +k图象的画法 1、 师生互动 师：如何画二次函数y=a(x h) +k的图象呢？ 生：先画对称轴和顶点，再画对称轴左边边部分，然后画对称轴右边边部分。 2、 教师讲解，ppt展示： 由于我们已经知道了二次函数y=a(x h) +k的图象和性质，因此画二次函数y=a(x h) +k图象的步骤如下 第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步 列表(自变量x从顶点的横坐标h开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点). 三、教学例题 例4 画二次函数y=(x+1) 3的图象. 教师一边讲解，一边用PPT展示解答过程及作图动画. 解：对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1，-3). 列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值. x-10123…y=(x+1) 3-3-2.5-11.55…
描点和连线： 画出对称轴和顶点. 画出图象在对称轴左边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴右边的部分. 这样就得到了y=(x+1) 3的图象. (教师每讲一步画法，就用PPT展示这一步的作图过程，并且可引导学生随着老师示范自己画图) 例5 已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)，且与y轴相交于点(0，4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式. 分析：因为函数y=a(x h) +k的顶点坐标是(h，k)，而已知抛物线的顶点坐标为(-2，1)，故可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2) +1。又因为抛物线与y轴相交于点(0，4)，故可将(0，4)代入所设表达式，求出a值，从而问题可解决。 解：由于点(-2，1)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2) +1 因为函数的图象过点(0，4)，所以 4=a(0+2) +1. 解得 . 因此，所求二次函数表达式为 . 四、巩固练习 1、将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2+5，平移过程是（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 B. 先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 C. 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D. 先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C 2、 将抛物线y=2(x 2) 平移后，得到的抛物线的顶点 坐标是(3，3)，则平移后得到的抛物线是（ ） A. y=2(x 3) +3 B. y=2(x+3) +3 C. y=2(x 3) +3 D. y=2(x+3) 3 【答案】A 3、 抛物线y= 3(x+2) 5的顶点坐标是（ ） A. (2，5) B. (-2，5) C. (2，-5) D. (-2，-5) 【答案】D 4、 (武威期末)对于函数y= 3(x 1)2+4的图象，下列说法不正确的（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=1 C. 顶点坐标是(-1，4) D. 与y轴相交于点(0，4) 【答案】B 五、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 抛物线y=a(x h) +k(k>0)是由y=a(x h) 经过怎样的图形变换得到的？ 生：抛物线y=a(x h) +k是由y=a(x h) 向上平移h个单位得到的。 2、 二次函数图象的平移与顶点的坐标有何关系？ PPT： 左右平移，顶点的纵坐标不变，横坐标右加左减； 上下平移，顶点的横坐标不变，纵坐标上加下减。 3、 填表： 抛物线 y=a(x h) +k对称 轴顶点 坐标开口 方向性 质在对称轴左边在对称轴右边a＞0x=h（h，k）向上y随x的增大而减小y随x的增大而增大a＜0x=h（h，k）向下y随x的增大而增大y随x的增大而减小
六、作业布置 第15页课后练习第1、2、3题： 1、 说出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向： (1)y=(x 9) +7； (2)y= (x+18) 13. 解：(1)对称轴为x=9，顶点为(9，7)，开口向上； (2)对称轴为x=-18，顶点为(-18，0)，开口向下. 2、 画出二次函数y= 2(x 2) +3的图象. 提示：先确定、画好对称轴和顶点坐标；再取适合画图的x的值列表，描点和连线画出对称轴的左边部分；最后取对称点，描点、连线画出对称轴的右边部分，并标出函数式。 3、 已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式. 分析：为函数y=a(x h) +k的顶点坐标是(h，k)，而已知抛物线的顶点坐标为(-3，2)，故可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3) +2。又因为抛物线经过点点(-1，0)，故可将(-1，0)代入所设表达式，求出a值，从而问题可解决 解：由于点(-3，2)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3) +2。 因为函数的图象过点(-1，0)，所以 0=a( 1+3) +2. 解得 a=. 因此，所求二次函数表达式为 y= (x+2) +1= x 2x 1.
板书设计 二次函数y=a(x h) +k的图象与性质 1、 抛物线y=a(x h) +k与y=a(x h) 的关系。 2、 二次函数y=a(x h) +k的图象与性质。 3、 画二次函数y=a(x h) +k的图象
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解抛物线与的关系；
2. 掌握二次函数的图象与性质；
3. 会画的图象；
4. 能用的图象与性质解答相关问题.
新知导入
1. 填表：
抛物线 y=a(x-h) 对称轴 顶点坐标 开口方向 性 质 在对称轴左边 在对称轴右边
a＞0
a＜0
x=h
(x，h)
向上
向下
x=h
(x，h)
新知导入
2. 抛物线与有什么关系？
①确定、画好图象的对称轴x=h和顶点坐标(h,0)；
将抛物线向右平移h个单位得到
.
3. 如何画二次函数的图象
？
②列表：横坐标x从h开始取值；
③描点连线，画出对称轴右边部分；
④利用对称性，画出对称轴左边部分，标记函数.
新知讲解
如何画二次函数的图象．
探究
我们已经会画二次函数的图象，并且知道这个函数的性质。那么要解决上述问题，我们先来探究二次函数与之间的关系
.
观察下表，你发现什么？
新知讲解
二次函数 图象上的点 横坐标x 纵坐标y
新知讲解
从上表看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比函数的值大3
.
你发现两个函数的函数值有什么关系？
新知讲解
函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位而得到，如右图
.
由此推测，两个函数的图象有什么关系？
新知讲解
的图象，开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？与有何关系？
函数的图象也是抛物线，开口向上
.
它的对称轴是轴，与的对称轴一样
.
它的顶点坐标为(1，3)，是由抛物线的顶点(1，3)向上平移3个单位长度得到的
.
新知讲解
一般地，二次函数的图象是抛物线，它具有下述性质：
抛物线 对称轴 顶点 坐标 开口 方向 性 质 在对称轴左边 在对称轴右边
(，) 向上 随的增大而减小 随的增大而增大
(
向下 随的增大而增大 随的增大而减小
如何画二次函数的图象呢
？
新知讲解
由于我们已经知道了二次函数的图象和性质，因此画二次函数图象的步骤如下
：
第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步 列表(自变量x从顶点的横坐标h开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；
第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点).
例题讲解
例4 画二次函数的图象.
解：对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1，-3).
列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.
-1 0 1 2 3 …
-3 -2.5 -1 1.5 5 …
例题讲解
-4
4
2
-2
-4
2
O
x
y
利用对称性，画出图象在对称轴右边的部分.
描点和连线：
画出对称轴和顶点.
这样就得到了的图象
.
画出图象在对称轴左边的部分.
-2
例题讲解
例5 已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)，且与y轴相交于点(0，4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
分析：因为函数的顶点坐标是(h，k)，而已知抛物线的顶点坐标为(-2，1)，故可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为。又因为抛物线与y轴相交于点(0，4)，故可将(0，4)代入所设表达式，求出值，从而问题可解决
.
例题讲解
解：由于点(-2，1)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为
.
因为函数的图象过点(0，4)，所以
解得
因此，所求二次函数表达式为
巩固练习
1. 将抛物线平移得到抛物线，平移过程是（ ）
A. 先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
B. 先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
C. 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D. 先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
C
巩固练习
2. 将抛物线平移后，得到的抛物线的顶点 坐标是(3，3)，则平移后得到的抛物线是（ ）
A. +3
B. +3
C. +3
D. 3
A
巩固练习
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. (2，5)
B. (-2，5)
C. (2，-5)
D. (-2，-5)
D
巩固练习
4. (武威期末)对于函数的图象，下列说法不正确的（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是(-1，4)
D. 与轴相交于点(0，4)
B
课堂总结
1. 抛物线是由经过怎样的图形变换得到的？
2. 二次函数图象的平移与顶点的坐标有何关系？
抛物线是由向上平移h个单位得到的
.
左右平移，顶点的纵坐标不变，横坐标右加左减；
上下平移，顶点的横坐标不变，纵坐标上加下减。
课堂总结
二次函数有哪些性质？请填表：
+k a＞0 a＞0
图象
对称轴
顶点
图象开口方向
增减性(图象升降)
最大值或最小值
抛物线
抛物线
x=h
有最小值为0
左降右升
左升右降
x=h
有最大值为0
(h，k)
(h，k)
向上
向下
作业布置
1. 说出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
(1)； (2).
解：(1)对称轴为x=9，顶点为(9，7)，开口向上；
(2)对称轴为x=-18，顶点为(-18，0)，开口向下.
作业布置
2. 画出二次函数的图象.
提示：先确定、画好对称轴和顶点坐标；再取适合画图的x的值列表，描点和连线画出对称轴的左边部分；最后取对称点，描点、连线画出对称轴的右边部分，并标出函数式。
作业布置
3. 已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
分析：因为函数的顶点坐标是(h，k)，而已知抛物线的顶点坐标为(-3，2)，故可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为。又因为抛物线经过点点(-1，0)，故可将(-1，0)代入所设表达式，求出值，从而问题可解决
.
作业布置
解：由于点(-3，2)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为
.
因为函数的图象过点(-1，0)，所以
解得
因此，所求二次函数表达式为
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