(共27张PPT)
二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
湘教版 九年级下
教学目标
1. 能用配方法把y=ax +bx+c化成y=a(x+m) +n的形式；
2. 掌握画二次函数y=ax +bx+c图象的方法；
3. 掌握二次函数y=ax +bx+c图象的顶点坐标公式；
4. 能用不同方法求y=ax +bx+c的顶点坐标和最大(小)值.
新知导入
抛物线 y=a(x-h) +k 对称轴 顶点 坐标 开口方向 性 质 在对称轴左边 在对称轴右边
a＞0
a＜0
1. 填表：
x=h
(x，h)
向上
向下
x=h
(x，h)
新知导入
①确定、画好图象的对称轴x=h和顶点坐标(h,k).
2. 如何画二次函数+k的图象
②列表：横坐标x从h开始取值.
③描点连线，画出对称轴右边部分.
④利用对称性，画对称点，连线画出对称轴左边部分.
⑤在画好的图象旁边，写出函数解析式.
新知讲解
画二次函数y=-2x +6x-1的图象．
探究
由于我们已经会画y=a(x-h) +k的图象了，因此只需把-2x +6x-1配方成-2(x-h) +k的形式就可以了.
新知讲解
配方:
提出二次项系数
加、减一次项系数的一半的平方
写成完全平方，去中括号
写成
新知讲解
因此对称轴是x=，顶点坐标是.
2 3 …
3 -1 …
列表：自变量x从顶点的横坐标开始取值
.
-4
4
2
-2
-4
4
O
x
y
-2
2
新知讲解
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.
描点和连线：
画出对称轴和顶点.
这样就得到了y=-2x +6x-1的图象.
画出图象在对称轴右边的部分.
新知讲解
观察图象，当x等于多少时，函数y=-2x +6x-1的值最大？这个最大值是多少？
说一说:
新知讲解
当x等于顶点的横坐标时，函数值最大，这个最大值等于顶点的纵坐标.
新知讲解
一般地，有下述结论：
二次函数y=ax +bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值（当a<0）或最小值（当a>0），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标.
例题讲解
例6 求二次函数的最大值.
分析：要求出二次函数的最大值，需要通过配方，把函数化成的形式，求出顶点坐标
.
例题讲解
解 配方:
顶点坐标是(2，1)，故当x=2时，y达到最大值1.
合作探究
一般地，对于二次函数进行配方:
顶点坐标是：
合作探究
.
因此，当 时，函数达到最大值(a<0)或最小值(a>0):
巩固练习
1. (重庆中考)抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线 x=2
B. 直线 x=-2
C. 直线 x=1
D. 直线 x=-1
C
简析：因为，所以对称轴是直线 x=1，故选C
.
巩固练习
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. (6，20)
B. (-6，20)
C. (-3，29)
D. (3，2)
D
简析：因为，所以顶点坐标是(3，2)，故选D
.
巩固练习
3. (上海中考)下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是y轴
C. 经过原点
D. 在对称轴右侧的部分是下降的
C
.
巩固练习
4. (成都中考)关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当 x＜0时，y的值随x的值增大而减小
D. y的最小值为-3
D
巩固练习
5. (辽宁期末)抛物线，当1≤≤4时，y的取值范围是 。
简析：因为，所以对称轴是直线 x=1，因为2＞0，所以当 x=1时，y有最小值，而当x=4时，y=13；当x=时，y=3。故y的取值范围是
-5≤y≤13
.
-5≤y≤13
课堂总结
1. 如何把二次函数配方成的形式？
①提取系数：把二次项系数提到二次项和一次项前面.
②加减平方数：括号内加、减一次项系数一半的平方.
③去括号：写成完全平方式，去括号.
④写成y=a(x+m) +n的形式.
注意：配方后得顶点坐标(-m，n)，对称轴x=-m.
课堂总结
2. 二次函数y=ax +bx+c的顶点坐标公式是什么？
3. 如何求二次函数y=ax +bx+c的最大值或最小值？
①用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标.
②a＞0，x等于顶点的横坐标时，y达到最小值顶点的坐标；a＜0，x等于顶点的横坐标时，y达到最大值顶点的坐标.
作业布置
1. 画出下列二次函数的图象：
(1)； (2).
课本第18页练习第1、2、3题：
作业布置
2. 求下列二次函数图象的顶点坐标：
(1)； (2).
参考答案：
(1)
(2)
作业布置
3. 用配方法求第2题各个二次函数的最大值或最小值.
(1)； (2).
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1.2二次函数的图象与性质(5)教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：6
课 题 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质 课型 新授课
教学目标 1. 能用配方法把y=ax +bx+c化成y=a(x-h) +k的形式； 2. 掌握画二次函数y=ax +bx+c图象的方法； 3. 掌握二次函数y=ax +bx+c图象的顶点坐标公式； 4. 能用不同方法求y=ax +bx+c的顶点坐标和最大(小)值.
教学重点 1. 用配方法把y=ax +bx+c化成y=a(x-h) +k的形式； 2. 用不同方法求y=ax +bx+c的顶点坐标和最大(小)值.
教学难点 1. 用配方法把y=ax +bx+c化成y=a(x-h) +k的形式； 2. 求y=ax +bx+c的顶点坐标和最大(小)值.
教 学 活 动
一、温故导新 1、 填表： 抛物线 y=a(x-h) +k对称轴顶点 坐标开口 方向性 质在对称轴左边在对称轴右边a＞0x=h（h，k）向上y随x的增大而减小y随x的增大而增大a＜0x=h（h，k）向下y随x的增大而增大y随x的增大而减小
2、 如何画二次函数y=a(x h) +k的图象 ①确定、画好图象的对称轴x=h和顶点坐标(h,k). ②列表：横坐标x从h开始取值. ③描点连线，画出对称轴右边部分. ④利用对称性，画对称点连线，画出对称轴左边部分. ⑤在画好的图象旁边，写出函数解析式. 二、教学新知 （一）探究画法 问题：画二次函数y=-2x +6x-1的图象． 1、 教师启发，学生联想 生：由于我们已经会画y=a(x-h) +k的图象了，因此只需把-2x +6x-1配方成 -2(x-h) +k的形式就可以了. 2、 指导配方 PPT: 配方: y= 2x +6x 1 = 2(x 3x) 1 (把二次项系数提到二次项、一次项前面） = （加、减一次项系数的一半的平方） = （写成完全平方式，去括号） =. （写成的形式） 3、 指导画图： ①写出对称轴和顶点坐标：对称轴是x=，顶点坐标是(，). ②列表：自变量x从顶点的横坐标开始取值. x23…3-1…
③展示作图动画： 描点和连线： 画出对称轴和顶点. 画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 在图象旁边标明函数表达式. 这样就得到了y=-2x +6x-1的图象. 指出：可利用计算机和数学软件（如几何画板）来画任意一个二次函数的图象. （二）探二次函数的最大值或最小值 1、 讨论问题 观察图象，当x等于多少时，函数y=-2x +6x-1的值最大？这个最大值是多少？ 生：当x等于顶点的横坐标时，函数值最大，这个最大值等于顶点的纵坐标. 2、 抽象结论 PPT：一般地，有下述结论： 二次函数y=ax +bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值（当a<0）或最小值（当a>0），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标. 三、教学例题 例6 求二次函数的最大值. 分析：要求出二次函数的最大值，需要通过配方，把函数化成的形式，求出顶点坐标。 解 配方: = （加、减一次项系数的一半的平方） = （写成完全平方式，去括号） =. （写成的形式） 顶点坐标是(2，1)，故当x=2时，y达到最大值1. 四、合作探究 问题：对于二次函数y=ax +bx+c，它的顶点坐标是什么？如何求最大值或最小值？ 1、 学生研讨： (1)将y=ax +bx+c配方. (2)写出顶点坐标。 2、 教师讲解： PPT： 一般地，对于二次函数y=ax +bx+c进行配方: y=ax +bx+c =. 顶点坐标是： . 因此，当时，函数达到最大值(a<0)或最小值(a>0):。 四、巩固练习 1、 (重庆中考)抛物线y=x 2x+2的对称轴是（ ） A. 直线 x=2 B. 直线 x=-2 C. 直线 x=1 D. 直线 x=-1 【答案】C 【简析】因为y=x2 2x+2=(x 1)2+1，所以对称轴是直线 x=1，故选C。 2、 抛物线y=2x 12x+20的顶点坐标是（ ） A. (6，20) B. (-6，20) C. (-3，29) D. (3，2) 【答案】B 【简析】因为y=2x 12x+20=2(x 3) +2，所以顶点坐标是(3，2)，故选D。 3、 (上海中考)下列对二次函数y=x2 x的图象的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧的部分是下降的 【答案】C 4、 (成都中考)关于二次函数y=2x +4x 1，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为(0，1) B. 图象的对称轴在y轴的右侧 C. 当 x＜0时，y的值随x的值增大而减小 D. y的最小值为-3 【答案】D 5、 (辽宁期末)抛物线y=2x 4x 3，当 1≤x≤4时，y的取值范围是 。 【答案】-5≤y≤13 【解析】因为y=2x 4x 3=2(x 1) 5，所以对称轴是直线 x=1，因为2＞0，所以当 x=1时，y有最小值 5，而当x=4时，y=13；当x= 1时，y=3。故y的取值范围是-5≤y≤13. 五、课堂总结 1、 如何把二次函数配方成y=a(x+m) +n的形式？ ①提取系数：把二次项系数提到二次项和一次项前面. ②加减平方数：括号内加、减一次项系数一半的平方. ③去括号：写成完全平方式，去括号. ④写成y=a(x+m) +n的形式. 注意：配方后得顶点坐标(-m，n)，对称轴x=-m. 2、 二次函数y=ax +bx+c的顶点坐标公式是什么？ 3、 如何求二次函数y=ax +bx+c的最大值或最小值？ ①用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标. ②a＞0，x等于顶点的横坐标时，y达到最小值顶点的坐标；a＜0，x等于顶点的横坐标时，y达到最大值顶点的坐标. 六、作业及指导 课本第18页练习第1、2、3题： 1、 画出下列二次函数的图象： (1)y=3x 6x+1； (2)y=. 2、 求下列二次函数图象的顶点坐标： (1)y=x 3x+2； (2)y=. 【答案】(1)； （2）( 3，4). 3、 用配方法求第2题各个二次函数的最大值或最小值.
板书设计 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质 1、 用配方法化成，顶点坐标为(-m，n)； 2、 抛物线y=ax +bx+c的顶点坐标是； 3、 画二次函数y=ax +bx+c的图象； 4、 利用顶点坐标求抛物线的对称轴，函数的最大值或最小值.
课后反思
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