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不共线三点确定二次函数的表达式
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解不共线三点确定一个唯一的二次函数的道理；
2. 会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式；
3. 了解求二次函数的表达式的常见的两种函数形式；
4. 感受点的坐标与函数图象的关系及数形结合思想.
新知导入
1. 解下面三元一次方程组，说说三元一次方程组的解法.
①
②
③
一般利用加减法或代入法，先消去某一个未知数，得到一个二元一次方程组，并求出二元一次方程组的解；再用代入法求出第三个未知数，即可得三元一次方程组的解.
新知导入
2. 已知一次函数的图象经过点(2，-1)与(-1，7)，求这个一次函数，求解步骤有哪些？
第一步：设所求函数为：y=kx+b.
第三步：解这个方程组，求出系数k，b的值.
第四步：写出所求的一次函数表达式.
第二步：将点的坐标(2，-1)与(-1，7)分别代入,列出方程组:
.
新知讲解
确定二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的表达式，至少需要知道函数图象上几个点的坐标？如何根据点的坐标确定二次函数y=ax +bx+c的表达式？
因为二次函数的表达式是y=ax +bx+c(a≠0)，确定这个表达式，需要求出a，b，c三个系数的值，因此需要知道图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组求解.
新知讲解
与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，我们可以设这个函数表达式为ax +bx+c=0，并将三个点的坐标表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式。
例1 已知一个二次函数的图象经过三点(1，3)，(-1，-5)，(3，-13)，求这个二次函数的解析式.
例题讲解
解 设这个二次函数为y=ax +bx+c.
将三个点的坐标(1，3)，(-1，-5)，(3，-13)分别代入函数表达式，得到三元一次方程组：
例题讲解
解得 a=-3，b=4，c=2.
因此，所求的二次函数的解析式为y=-3x +4x+2.
例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
(1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)；
(2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9)。
例题讲解
解 (1)设有二次函数y=ax +bx+c的图象经过P，Q，R三点.
将这三个点的坐标(1，-5)，(-1，3)，(2，-3)分别代入函数表达式，得到三元一次方程组：
例题讲解
解得 a=2，b=-4，c=-3.
因此，二次函数y=2x -4x-3的图象经过P，Q，R三点.
例题讲解
(2)设有二次函数y=ax +bx+c的图象经过P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=0，b=-4，c=-1.
因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M三点. 这说明没有这样的二次一函数，它的图象经过P，Q，M三点.
满足什么条件的三点坐标，才能确定一个二次函数的表达式？从例2中你能发现这个问题的结论吗？
合作探究
合作探究
例2中，两点P(1，-5)，Q(-1，3)确定了一个一次函数 y=-4x-1.点R(2，-3)的坐标不适合y=-4x-1，因此点R不在直线PQ上，即P，Q，R三点不共线。
点M(2，-9)的坐标适合y=-4x-1，因此点M在直线PQ上，即P，Q，M三点共线。
例2表明:若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数。
合作探究
可以证明：二次函数 y=ax +bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上。
还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点。
巩固练习
1. 下列各组中的三个点的坐标，能够确定一个二次函数的表达式的是（ ）
A. (1，4)，(2，5)， (-2，1)
B. (1，4)，(2，5)， (1，-6)
C. (2，5)，(2，-5)，(-2，1)
D. (2，5)，(3，6)，(1，-6)
D
解析：A中三点均在同一条直线y=x+3上，B，C中都有两点的横坐标相同，C中三点不共线且横坐标两两不等，故C中三点能够确定一个二次函数的表达式，故选C.
巩固练习
2. 下列条件中，不能确定二次函数的表达式的是（ ）
A. 已知顶点(1，4)及图象上一点(2，5)
B. 已知顶点(2，3)及图象与y轴的交点(0，-5)
C. 已知对称轴x=1与图象x轴的交点(-2，0)，(4，0)
D. 已知图象上三点(2，4)，(3，5)，(1，-6)
C
巩固练习
D
解析：根据A中已知的顶点坐标(1，4)，可设表达式为y=a(x-1) +4，将点(2，5)代入即可求得a值，从而可求出函数表达式；同理根据B中条件也可以求出函数表达式；根据C中已知对称轴x=1，可设函数为y=a(x-1) +k，将与x轴的交点(-2，0)，(4，0)代入，均得到二元一次方程9a+k=0，不能求出a，k的值，因此求不出函数表达式。D中三点不共线且横坐标两两不等，能确定二次函数的表达式.故选C.
课堂总结
1. 已知三点能确定一个二次函数的表达式，则这三点同时满足哪两个条件？
②三个点的横坐标两两不相等.
①三个点不在同一条直线上；
2. 已知三点确定二次函数的表达式有哪些步骤？
①设所求二次函数的表达式为y=ax +bx+c.
②将三点坐标代入表达式，列出三元一次方程组.
③解方程组，求出a，b，c的值，写出函数表达式.
课堂总结
3. 从巩固练习第2题，你能发现求二次函数表达式，常用的两种函数形式是什么？如何分别设出函数表达式？
已知不共线的三点坐标，设表达式为y=ax +bx+c。我们称这种形式为：一般式.
已知顶点和另一个的坐标，设表达式为y=a(x-h) +k。我们称这种形式为：顶点式.
作业布置
一、基础练习：第23页课后练习题：
1. 已知二次函数y=ax +bx+c的图象经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(-1，-1)，求这个二次函数的表达式.
解 ∵函数y=ax +bx+c的图象经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(-1，-1)，
∴
解得 a=-1，b=2，c=2，则表达式为y=-x +2x+2.
作业布置
2. 已知一次函数 y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.二次函数的图象经过点A、B和点C(1，1).求二次函数的表达式.
解 ∵一次函数 y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ A(3，0)，B(0，3)。
设二次函数的表达式为y=ax +bx+c，
∵二次函数的图象经过点A(3，0)，B(0，3)和C(1，1)，
二、变式练习：
作业布置
∴
解得 a=0.5，b=-2.5，c=3.
因此，所求的二次函数的解析式为y=0.5x -2.5x+3.
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1.3不共线三点确定二次函数的表达式教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：7
课 题 不共线三点确定二次函数的表达式 课型 新授课
教学目标 1. 理解不共线三点确定一个唯一的二次函数的道理； 2. 会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式； 3. 了解求二次函数的表达式的常见的两种函数形式； 4. 感受点的坐标与函数图象的关系及数形结合思想.
教学重点 1. 学会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式； 2. 理解不共线三点确定一个唯一的二次函数的道理.
教学难点 1. 根据条件设恰当的函数表达式形式，求二次函数的表达式； 2. 判断能确定一个二次函数表达式的条件。
教 学 活 动
一、温故导新 1、 解下面三元一次方程组，说说三元一次方程组的解法. PPT：一般利用加减法或代入法，先消去某一个未知数，得到一个二元一次方程组，并求出二元一次方程组的解；再用代入法求出第三个未知数，即可得三元一次方程组的解. 2、 已知一次函数的图象经过点(2，-1)与(-1，7)，求这个一次函数，求解步骤有哪些？ PPT： 第一步：设所求函数为：y=kx+b. 第二步：将点的坐标(2，-1)与(-1，7)分别代入,列出方程组: 第三步：解这个方程组，求出系数k，b的值. 第四步：写出所求的一次函数表达式. 二、教学新知 （一）课堂互动，探究方法 探究问题：确定二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的表达式，至少需要知道函数图象上几个点的坐标？如何根据点的坐标确定二次函数y=ax +bx+c的表达式？ 生：因为二次函数的表达式是y=ax +bx+c(a≠0)，确定这个表达式，需要求出a，b，c三个系数的值，因此需要知道图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组求解. 师：与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，我们可以设这个函数表达式为ax +bx+c=0，并将三个点的坐标表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式。 （二）例题讲解，体验方法 例1 已知一个二次函数的图象经过三点(1，3)，(-1，-5)，(3，-13)，求这个二次函数的解析式. 解 设这个二次函数为y=ax +bx+c. 将三个点的坐标(1，3)，(-1，-5)，(3，-13)分别代入函数表达式，得到三元一次方程组： 解得 a=-3，b=4，c=2. 因此，所求的二次函数的解析式为y=-3x +4x+2. 例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)； (2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9)。 解 (1)设有二次函数y=ax +bx+c的图象经过P，Q，R三点. 将这三个点的坐标(1，-5)，(-1，3)，(2，-3)分别代入函数表达式，得到三元一次方程组： 解得 a=2，b=-4，c=-3. 因此，二次函数y=2x -4x-3的图象经过P，Q，R三点. (2)设有二次函数y=ax +bx+c的图象经过P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： 解得 a=0，b=-4，c=-1. 因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M三点. 这说明没有这样的二次一函数，它的图象经过P，Q，M三点. （三）合作讨论，发现结论 提问：满足什么条件的三点坐标，才能确定一个二次函数的表达式？从例2中你能发现这个问题的结论吗？ 1、 学生讨论 生1：例2中，两点P(1，-5)，Q(-1，3)确定了一个一次函数 y=-4x-1.点R(2，-3)的坐标不适合y=-4x-1，因此点R不在直线PQ上，即P，Q，R三点不共线。 生2：点M(2，-9)的坐标适合y=-4x-1，因此点M在直线PQ上，即P，Q，M三点共线。 生3：例2表明:若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数。 2、 教师讲解（PPT） 可以证明：二次函数 y=ax +bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上。 还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点。 三、巩固练习 1、 下列各组中的三个点的坐标，能够确定一个二次函数的表达式的是（ ） A. (1，4)，(2，5)， (-2，1) B. (1，4)，(2，5)， (1，-6) C. (2，5)，(2，-5)，(-2，1) D. (2，5)，(3，6)，(1，-6) 【答案】D 【解析】A中三点均在同一条直线y=x+3上，B，C中都有两点的横坐标相同，C中三点不共线且横坐标两两不等，故C中三点能够确定一个二次函数的表达式，故选C. 2、 下列条件中，不能确定二次函数的表达式的是（ ） A. 已知顶点(1，4)及图象上一点(2，5) B. 已知顶点(2，3)及图象与y轴的交点(0，-5) C. 已知对称轴x=1与图象x轴的交点(-2，0)，(4，0) D. 已知图象上三点(2，4)，(3，5)，(1，-6) 【答案】C 【解析】根据A中已知的顶点坐标(1，4)，可设表达式为y=a(x-1) +4，将点(2，5)代入即可求得a值，从而可求出函数表达式；同理根据B中条件也可以求出函数表达式；根据C中已知对称轴x=1，可设函数为y=a(x-1) +k，将与x轴的交点(-2，0)，(4，0)代入，均得到二元一次方程9a+k=0，不能求出a，k的值，因此求不出函数表达式。D中三点不共线且横坐标两两不等，能确定二次函数的表达式.故选C. 四、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 已知三点能确定一个二次函数的表达式，则这三点同时满足哪两个条件？ PPT：三点确定一个二次函数的表达式的条件 ①三个点不在同一条直线上； ②三个点的横坐标两两不相等. 2、 已知三点确定二次函数的表达式有哪些步骤？ ①设所求二次函数的表达式为y=ax +bx+c. ②将三点坐标代入表达式，列出三元一次方程组. ③解方程组，求出a，b，c的值，写出函数表达式. 3、 从巩固练习第2题，你能发现求二次函数表达式，常用的两种函数形式是什么？如何分别设出函数表达式？ PPT： ①已知不共线的三点坐标，设表达式为y=ax +bx+c。我们称这种形式为：一般式. ②已知顶点和另一个的坐标，设表达式为y=a(x-h) +k。我们称这种形式为：顶点式. 六、作业布置 基础练习：第23页课后练习题： 1、 基础练习：第23页课后练习题： 已知二次函数y=ax +bx+c的图象经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(-1，-1)，求这个二次函数的表达式. 2、变式练习 已知一次函数 y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.二次函数的图象经过点A、B和点C(1，1).求二次函数的表达式 作业指导： 解 ∵一次函数 y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴ A(3，0)，B(0，3)。 设二次函数的表达式为y=ax +bx+c， ∵二次函数的图象经过点A(3，0)，B(0，3)和C(1，1)， ∴ 解得 a=0.5，b=-2.5，c=3. 因此，所求的二次函数的解析式为y=0.5x -2.5x+3.
板书设计 1.3不共线三点确定二次函数的表达式 1、 根据三点的坐标确定一个二次函数表达式的条件 2、 根据三点的坐标确定一个二次函数表达式的步骤 3、 两种常用的二次函数的形式：①设一般式；②设顶点式
课后反思
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