5.1.2垂线（含答案）【知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接】
文档属性
| 名称 | 5.1.2垂线（含答案）【知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 526.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-21 16:35:00 | ||
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文档简介
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人教版2021－2022学年度下学期七年级数学下册第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.2垂 线
【知识清单】
1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足.
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
【经典例题】
例题1、如图，直线AB、CD交于点O，
(1)若∠AOC=90°，则AB______CD．
(2)若AB⊥CD，则∠AOC=______=______=______=______度．
【考点】垂线．
【分析】(1)根据垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直可直接得到AB⊥CD；
(2)根据垂直的定义可得∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°．
【解答】(1)∵∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
(2)∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°.
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
例题2、如图，点P在直线l外，点A，B，C，D在直线l上，PC⊥l于C，则点P到直线l的距离为( )
A．线段PA的长 B．线段PB的长
C．线段PC的长 D．线段PD的长
【考点】点到直线的距离．
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，
根据定义即可选出答案．
【解答】根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离．
故选C．
【点评】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
【夯实基础】
1．在平面内，过一点作已知直线的垂线，可作垂线的条数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于O，若∠AOC=70°，则不正确的结论是( )
A. ∠BOD=70° B. ∠COB=110° C. ∠COM=70° D. ∠COM与∠BOD互余
3．如图，O是AB上一点，∠BOC=50°，射线OD平分∠AOC，OE⊥OC，则∠EOD= ( )
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．如图，能表示点到直线(线段所在直线)的距离的线段有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．过线段AB的中点O画直线l⊥AB.若AB=18cm，则点A到直线l的距离是 .
6．如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOC=35°，若从点O引出一条射线OD，使OD⊥OC，
则∠BOD的度数为 .
7．如图所示，AB⊥EF，∠1=∠2，则CD⊥EF，请说明理由(补全解答过程)．
解：∵AB⊥EF，∴∠1=______．______
∵∠1=∠2，∴∠2=∠1=______．
∴AB______EF．
理由：______．
8．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=25°，求∠DOF、∠AOF的度数．
9．如图：O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数
(2)OD与AB有怎样的位置关系？并说明理由
【提优特训】
10．已知线段AB的长为16cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和10cm，则符合条件的
直线l的条数为( )条.
A．1 B．2 C．3 D．4
QUOTE 11．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )
12．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=7cm，则点P到直
线l的距离为( )
A．等于5cm B．小于5cm C．大于5cm D．不大于5cm
13．平面上有22条直线，两两相交最多有a个交点，最少有b个交点，则a-b的值为 ( )
A．252 B．230 C．231 D．209
14．设点A，B都在直线l的同一条垂线上，点A到直线l的距离等于3cm，点B到直线l的距离等
于2cm，则线段AB的长为 .
15．如图，某人在位于河岸l一旁的A处放牧，他想给牛喝水．他的做法是：从点A出发沿着AB⊥l于点B的方向将牛赶到B处．这样做最节省路程，其数学道理是 ．
16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠AOF的余角是 (把符合条件的角都填出来)．
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；
③ ．
(3)①如果∠AOD=144°．那么根据 ，
可得∠BOC= 度．
②如果∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1) 若∠MON+∠AOC=180°，求∠NOD的度数；
(2) 若∠1=∠BOC，求∠BOD．
18．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)请你数一数，图中有 个小于平角的角；
(2)若∠AOC=50°，则∠COE的度数= ，∠BOE的度数= ；
(3)猜想：OE是否平分∠BOC？请通过计算说明你猜想的结论.
【中考链接】
19．(2021 北京) 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
20. (2021 杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则( )
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT>PQ D．PT参考答案
1、B 2、C 3、B 4、D 5、9cm 6、 55°或125° 10、C 11、D
12、D 13、B 14、5cm或1cm 15、垂线段最短 19、A 20、C
7．如图所示，AB⊥EF，∠1=∠2，则CD⊥EF，请说明理由(补全解答过程)．
解：∵AB⊥EF，∴∠1=______．______
∵∠1=∠2，∴∠2=∠1=______．
∴AB______EF．
理由：______．
答案：∵CD⊥EF，
∴∠1=90°(垂直定义)，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠1=90°，
∴CD⊥EF(垂直定义)，
8．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=25°，求∠DOF、∠AOF的度数．
解：如图，∵∠COE=25°，
∴∠DOF=∠COE=25°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF，
=90°+25°=115 °．
9．如图：O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数
(2)OD与AB有怎样的位置关系？并说明理由
解：(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC+∠BOC=180°
∴∠BOC=135° ∠AOC=45°
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠COD=∠AOC=45°
(2)∵∠AOD=∠AOC+∠COD =90°
∴OD⊥AB.
16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠AOF的余角是 (把符合条件的角都填出来)．
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；
③ ．
(3)①如果∠AOD=144°．那么根据 ，
可得∠BOC= 度．
②如果∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．
解：(1)根据图形可得：∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角；
(2)∠AOC=∠EOF=∠BOD，∠COE=∠BOF，∠AOD=∠COB，∠AOF=∠DOE；
(3)①对顶角相等，∠BOC=∠AOD=144°．
②设∠EOF=x°，则∠AOD=4x°，
由∠EOF+∠AOF=∠EOF+∠EOD
即∠AOE=∠DOF=90°，
∠EOF+∠AOD=∠EOF+∠AOF+∠EOF+∠EOD
=∠AOE+∠FOD
所以x+4x=90°+90°，
解得x=36°.
所以∠EOF=36°.
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1) 若∠MON+∠AOC=180°，求∠NOD的度数；
(2) 若∠1=∠BOC，求∠BOD．
解：(1) ∵OM⊥AB，∠MON+∠AOC=180°，
∴∠AOM=90°，∠1+∠AOC+∠2+∠AOC=180°，
即∠AOM+∠CON=180°，
∴∠CON=90°，
∴ON⊥CD，
∴∠NOD=90°
(2) 有(1)知∠BOM=90°，∠1=∠BOC，
∴∠1=∠BOM=×90°=22.5°.
∵∠AOM=90°，
∴∠AOC=90°∠1=67.5°.
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=67.5°.
18．解：(1)图中的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，
∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．
(2)∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=×50°=25°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-25°=65°，
∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-25°-90°=65°；
故答案是：65°，65°；
(3)结论：OE平分∠BOC．
理由：设∠AOC=2α，
∵OD平分∠AOC，∠AOC=2α，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=α，
又∵∠DOE=90°
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-α．
又∵∠BOE=180°-∠DOE-∠AOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC.
例题2图
第18题图
第17题图
第16题图
第9题图
第8题图
第7题图
第20题图
第19题图
第18题图
第17题图
第16题图
第15题图
A B C D
第9题图
第8题图
第7题图
第6题图
第4题图
第2题图
第3题图
例题1图
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人教版2021－2022学年度下学期七年级数学下册第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.2垂 线
【知识清单】
1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足.
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
【经典例题】
例题1、如图，直线AB、CD交于点O，
(1)若∠AOC=90°，则AB______CD．
(2)若AB⊥CD，则∠AOC=______=______=______=______度．
【考点】垂线．
【分析】(1)根据垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直可直接得到AB⊥CD；
(2)根据垂直的定义可得∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°．
【解答】(1)∵∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
(2)∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°.
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
例题2、如图，点P在直线l外，点A，B，C，D在直线l上，PC⊥l于C，则点P到直线l的距离为( )
A．线段PA的长 B．线段PB的长
C．线段PC的长 D．线段PD的长
【考点】点到直线的距离．
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，
根据定义即可选出答案．
【解答】根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离．
故选C．
【点评】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
【夯实基础】
1．在平面内，过一点作已知直线的垂线，可作垂线的条数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于O，若∠AOC=70°，则不正确的结论是( )
A. ∠BOD=70° B. ∠COB=110° C. ∠COM=70° D. ∠COM与∠BOD互余
3．如图，O是AB上一点，∠BOC=50°，射线OD平分∠AOC，OE⊥OC，则∠EOD= ( )
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．如图，能表示点到直线(线段所在直线)的距离的线段有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．过线段AB的中点O画直线l⊥AB.若AB=18cm，则点A到直线l的距离是 .
6．如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOC=35°，若从点O引出一条射线OD，使OD⊥OC，
则∠BOD的度数为 .
7．如图所示，AB⊥EF，∠1=∠2，则CD⊥EF，请说明理由(补全解答过程)．
解：∵AB⊥EF，∴∠1=______．______
∵∠1=∠2，∴∠2=∠1=______．
∴AB______EF．
理由：______．
8．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=25°，求∠DOF、∠AOF的度数．
9．如图：O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数
(2)OD与AB有怎样的位置关系？并说明理由
【提优特训】
10．已知线段AB的长为16cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和10cm，则符合条件的
直线l的条数为( )条.
A．1 B．2 C．3 D．4
QUOTE 11．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )
12．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=7cm，则点P到直
线l的距离为( )
A．等于5cm B．小于5cm C．大于5cm D．不大于5cm
13．平面上有22条直线，两两相交最多有a个交点，最少有b个交点，则a-b的值为 ( )
A．252 B．230 C．231 D．209
14．设点A，B都在直线l的同一条垂线上，点A到直线l的距离等于3cm，点B到直线l的距离等
于2cm，则线段AB的长为 .
15．如图，某人在位于河岸l一旁的A处放牧，他想给牛喝水．他的做法是：从点A出发沿着AB⊥l于点B的方向将牛赶到B处．这样做最节省路程，其数学道理是 ．
16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠AOF的余角是 (把符合条件的角都填出来)．
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；
③ ．
(3)①如果∠AOD=144°．那么根据 ，
可得∠BOC= 度．
②如果∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1) 若∠MON+∠AOC=180°，求∠NOD的度数；
(2) 若∠1=∠BOC，求∠BOD．
18．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)请你数一数，图中有 个小于平角的角；
(2)若∠AOC=50°，则∠COE的度数= ，∠BOE的度数= ；
(3)猜想：OE是否平分∠BOC？请通过计算说明你猜想的结论.
【中考链接】
19．(2021 北京) 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
20. (2021 杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则( )
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT>PQ D．PT
1、B 2、C 3、B 4、D 5、9cm 6、 55°或125° 10、C 11、D
12、D 13、B 14、5cm或1cm 15、垂线段最短 19、A 20、C
7．如图所示，AB⊥EF，∠1=∠2，则CD⊥EF，请说明理由(补全解答过程)．
解：∵AB⊥EF，∴∠1=______．______
∵∠1=∠2，∴∠2=∠1=______．
∴AB______EF．
理由：______．
答案：∵CD⊥EF，
∴∠1=90°(垂直定义)，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠1=90°，
∴CD⊥EF(垂直定义)，
8．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=25°，求∠DOF、∠AOF的度数．
解：如图，∵∠COE=25°，
∴∠DOF=∠COE=25°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF，
=90°+25°=115 °．
9．如图：O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数
(2)OD与AB有怎样的位置关系？并说明理由
解：(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC+∠BOC=180°
∴∠BOC=135° ∠AOC=45°
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠COD=∠AOC=45°
(2)∵∠AOD=∠AOC+∠COD =90°
∴OD⊥AB.
16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠AOF的余角是 (把符合条件的角都填出来)．
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；
③ ．
(3)①如果∠AOD=144°．那么根据 ，
可得∠BOC= 度．
②如果∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．
解：(1)根据图形可得：∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角；
(2)∠AOC=∠EOF=∠BOD，∠COE=∠BOF，∠AOD=∠COB，∠AOF=∠DOE；
(3)①对顶角相等，∠BOC=∠AOD=144°．
②设∠EOF=x°，则∠AOD=4x°，
由∠EOF+∠AOF=∠EOF+∠EOD
即∠AOE=∠DOF=90°，
∠EOF+∠AOD=∠EOF+∠AOF+∠EOF+∠EOD
=∠AOE+∠FOD
所以x+4x=90°+90°，
解得x=36°.
所以∠EOF=36°.
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1) 若∠MON+∠AOC=180°，求∠NOD的度数；
(2) 若∠1=∠BOC，求∠BOD．
解：(1) ∵OM⊥AB，∠MON+∠AOC=180°，
∴∠AOM=90°，∠1+∠AOC+∠2+∠AOC=180°，
即∠AOM+∠CON=180°，
∴∠CON=90°，
∴ON⊥CD，
∴∠NOD=90°
(2) 有(1)知∠BOM=90°，∠1=∠BOC，
∴∠1=∠BOM=×90°=22.5°.
∵∠AOM=90°，
∴∠AOC=90°∠1=67.5°.
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=67.5°.
18．解：(1)图中的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，
∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．
(2)∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=×50°=25°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-25°=65°，
∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-25°-90°=65°；
故答案是：65°，65°；
(3)结论：OE平分∠BOC．
理由：设∠AOC=2α，
∵OD平分∠AOC，∠AOC=2α，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=α，
又∵∠DOE=90°
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-α．
又∵∠BOE=180°-∠DOE-∠AOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC.
例题2图
第18题图
第17题图
第16题图
第9题图
第8题图
第7题图
第20题图
第19题图
第18题图
第17题图
第16题图
第15题图
A B C D
第9题图
第8题图
第7题图
第6题图
第4题图
第2题图
第3题图
例题1图
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