人教A版（2019）必修第一册 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
一、解答题
1．利用“五点法”作出下列函数的简图．
（1）y＝2sinx－1(0≤x≤2π)；
（2）y＝－1－cosx(0≤x≤2π)．
2．已知，，.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间的最大值和最小值.
3．已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的定义域；
（2）求不等式的解集．
4．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）.
5．设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，且f（1﹣m）＜f（3m）．
（1）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上是奇函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上是偶函数，求实数m的取值范围．
6．求的值.
7．已知函数．
(I)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
(II)求函数在区间上的值域．
8．已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）当时，求函数的解析式；
（3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
9．已知函数
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值；
（3）若时，的最小值为，求的最大值
10．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？
11．三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察，大胆猜想，科学求证，你能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：及；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想出一个一般性结论，并证明你的结论.
12．已知函数、为常数且).当时，取得最大值.
(1)计算的值；
(2)设，判断函数的奇偶性，并说明理由.
13．已知函数.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
14．观察等式是否成立？如果成立，能不能说是函数，的一个周期？并说明理由．
15．求函数的定义域和单调递增区间.
16．已知函数
（1）求在区间的值域；
（2）若是关于的方程的两个根，求的值；
（3）若用表示中的较小者，记为 ，当 时，方程有两个实根，求实数的取值范围.
17．已知函数．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的单调减区间．
18．已知函数（，），，它们的最小正周期之积为，的最大值为.
（1）求的解析式；
（2）设.当时，有最小值为3，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．（1）图象见解析；（2）图象见解析．
【分析】
（1）分别取的值为、、、、，求出相应的y值，列表、描点、连线，可得出函数的图象；
（2）分别取的值为、、、、，求出相应的y值，列表、描点、连线，可得出函数的图象.
【详解】
（1）列表：
x 0 π 2π
2sinx 0 2 0 －2 0
2sinx－1 －1 1 －1 －3 －1
描点作图，如图所示：
（2）列表：
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
－1－cosx －2 －1 0 －1 －2
描点作图，如图所示．
2．(1)最小正周期，减区间为，;(2)最小值，最大值2..
【分析】
(1)由数量积的坐标运算，倍角公式，辅助角公式化简得出函数的解析式，由周期公式以及正弦函数的单调性得出的最小正周期及单调递减区间;
(2)由得出的范围，再由正弦函数的单调性得出函数在区间的最大值和最小值.
【详解】
(1)，，
，
∴的最小正周期，
由，，得，，
所以的单调递减区间为，.
(2)由，得，
当时，，函数取得最小值，
当时，，函数取得最大值2.
【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的单调性，最小正周期，给定区间的最值，属于中档题.
3．（1），（2）
【分析】
（1）由正切型函数的周期公式可求得，再根据正切函数的定义域整体代入计算函数的定义域；（2）根据正切函数的单调性可令，解出x的范围即为不等式的解.
【详解】
（1）由函数的最小正周期为，
可得，∴．
令，，求得，
故函数的定义域为，．
（2）∵，即，
令，求得，
故不等式的解集为．
【点睛】
本题考查正切函数的图象与性质，涉及正切函数的单调性、周期性与定义域，属于基础题.
4．（1）；
（2）；
（3）
【分析】
（1）根据正弦函数图像，可得结果.
（2）根据余弦函数图像，可得结果.
（3）根据正切函数图像，可得结果.
【详解】
（1）∵，∴，
利用正弦线或正弦曲线可知所求解集
为.
（2）∵，∴，
利用余弦线或余弦曲线可知所求解集
为.
（3）∵∴，
利用正切线或正切曲线可知所求解集
为.
【点睛】
本题主要考查利用三角函数图像解不等式，属基础题.
5．（1） （2）
【分析】
（1）由函数为奇函数可得在区间上单调递减，将不等式
转化成进行求解；
（2）由题意可得函数在上递增，在上递减，将不等式
转化成进行求解.
【详解】
（1）∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上是奇函数且在区间[0，2]上单调递减，
∴函数f（x）在[﹣2，2]上单调递减，
∵
∴，解得.
∴实数m的取值范围.
（2）∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上是偶函数且在区间[0，2]上单调递减，
∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，
∵
∴，
解得.
∴实数m的取值范围.
【点睛】
若函数在定义域（或某一区间上）是增函数，则.利用此结论可将“函数”不等式的求解转化为一般不等式的求解，此类问题常与函数的奇偶性结合在一起考查，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.
6．
【分析】
利用诱导公式直接化简得到答案.
【详解】
原式
.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简，意在考查学生的计算能力.
7．（Ⅰ）函数的最小正周期；
对称轴方程为，．
（Ⅱ）的值域是．
【解析】
分析：（1）先根据二倍角和辅助角公式将原式化简为然后根据周期公式和对称轴方程即可得出结论，（2）求在上的最值即可，先求出，然后结合正弦函数的图像即可得出结论.
详解：…2分
． ……4分
（Ⅰ）函数的最小正周期； ……6分
由，得对称轴方程为，．……8分
（Ⅱ）因为，所以，
所以当即时，， ……10分
当即时，，
所以的值域是． ……13分
点睛：做此类三角函数的问题关键是化简得表达式一定要正确，主要是借助倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简，然后再结合三角函数的图像和性质即可解题.
8．（1），()； （2）. （3）.
【分析】
(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、、时，求出对应函数的解析式；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围.
【详解】
(1)函数的最小正周期为，
令，解得对称轴为；
(2)①当时，在区间上，，
，所以
②当时，在区间上，，
，所以，
③当时，在区间上，，
，所以，
所以当时，；
(3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以
即函数的周期为4，
由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为，
已知有解，即，则，
若对任意，存在，使得成立，
则在上的值域是在上的值域的子集，
，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以，即.
【点睛】
本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题.
9．（1）；（2）；（3）.
【分析】
先对函数解析式化简，
（1）直接代入求解；
（2）利用图形变换和诱导公式求出m的最小值；
（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出的最大值.
【详解】
（1）；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到，与重合，
所以，由m>0,所以当k=0时，；
（3）当时，时，
因为的最小值为，所以可以取到，即，
所以，即的最大值为.
10．，成立；
.
【分析】
利用角和终边的关系证明，；结合同角三函数关系中的商关系和平方和关系可以得到正弦与正切的关系，或者余弦与正切之间关系.
【详解】
设角和的终边与单位圆分别交于点，根据三角函数定义可知：
，而射线关于直线对称，因此有，成立；
因为，所以有
由，可得：
.
【点睛】
本题考查了用单位圆证明诱导公式，考查了三角函数定义的应用，考查了同角三角函数公式的变形，考查了数学运算能力和推理论证能力.
11．（1）；；
（2）猜想，证明见解析.
【分析】
（1）利用诱导公式、两角和的正弦公式得出，同理得出；
（2）根据（1）中的计算结果，可猜想出，然后利用诱导公式以及两角和的正弦公式证明即可.
【详解】
（1），
同理可得；
（2）根据（1）中的计算结果，猜想，证明如下：
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式化简计算，考查运算求解能力以及化归与转化思想的应用，属于中等题.
12．(1)；（2）偶函数.
【详解】
试题分析：首先，根据辅助角公式得到，然后根据最值建立等式，得到，再化简函数.（1）将代入解析式求值；（2）求出解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性.
试题解析：(1)，其中
根据题设条件可得， 即
化简得，所以
即，故
所以
(2)由(1)可得，，即
故
所以)
对于任意的)
即，所以是偶函数.
13．（1）f(x)的最小正周期为2π，f(x)的单调递减区间是（2）－
【分析】
（1）先用二倍角公式降幂，然后由两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质可求得周期与减区间；
（2）由（1）结合正弦函数可确定函数在给定区间上的最值．
【详解】
(1)∵，
∴f(x)的最小正周期为2π.
由，得.
∴f(x)的单调递减区间是．
(2)∵.
当，即x＝时，f(x)取得最小值．
∴f(x)在区间上的最小值为＝－.
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．属于基础题．解题关键是化函数为一个角的一个三角函数形式．
14．等式成立，但是不是函数的一个周期，理由见解析.
【分析】
根据特殊角的三角函数值，可判定等式成立，结合函数周期的定义，得到不是函数的一个周期.
【详解】
由，，所以等式成立，
对于函数，可得，
所以不是函数的一个周期.
15．定义域，
单调递增区间.
【分析】
本题可根据正切函数的定义得出结果.
【详解】
令，即，
则函数的定义域为，
令，即，
则函数的单调递增区间为.
16．
（1）；
（2）；
（3）或或.
【分析】
（1）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由可求得的取值范围，列出韦达定理，结合同角三角函数的基本关系得出，进而可解得实数的值；
（3）作出函数的图象，数形结合可求得实数的取值范围.
（1）
解：（1），∵，∴.
∴，∴在区间的值域为；
（2）
解：由题意可得，可得或，
由韦达定理可得，
因为，解得（舍）或.
（3）
解：当时，，作出函数在上的图象如下图所示：
函数的图象为图中的实线部分，由图可知当或或时，
直线与函数在上的图象有两个交点.
故或或.
17．（1）,最大值为（2）
【分析】
（1）先化简可得,则由求得最小正周期,再根据可得,即可由正弦函数性质求得最大值；
（2）令,求解即可.
【详解】
解:（1）,
所以,
因为,所以,
所以的最大值为
（2）令,
解得,
即的减区间为
【点睛】
本题考查正弦型函数的最值,单调区间,考查正弦型函数的最小正周期.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）首先根据题意得到，，即可得到.
（2）首先根据题意得到，根据有最小值为3，得到，再根据求解即可.
【详解】
（1）由题意，得，所以.
又，所以.
（2）因为
，
又有最小值为3，所以有，即.
因为，所以，
所以，即.
答案第1页，共2页
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