第五章三角函数5.4综合拔高练（Word含答案解析）

第五章三角函数5.4综合拔高练
一、单选题
1．函数，其中，若对恒成立，且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
2．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数的最小正周期为，则
A．24 B．18 C．12 D．6
4．已知函数为奇函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．不求值，比较下列各组数的大小，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．sin+cos-tan=（ ）
A．0 B． C．1 D．-
10．已知函数，则的图象为
A． B．
C． D．
11．在中，角均为锐角，且，则的形状是（　 　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、多选题
12．如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为
B．是的一个单调递增区间
C．对任意，点都是图象的对称中心
D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到
13．函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
三、填空题
14．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”的个数是________．
15．在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的取值范围是__________．
16．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是___________.
17．已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.
18．函数的最小正周期是_____.
四、解答题
19．如图所示,在平面上,点,点在单位圆上且.
（1）若点,求的值；
（2）若,四边形的面积用表示,求的最大值.
20．已知函数.
（1）在中，，求；
（2）若函数在上的值域为，求的最小值.
21．已知函数的最大值为1.
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使成立的实数的取值集合.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
由不等式恒成立知，求得，再由确定的符号，即可确定.
【详解】
由题设，知：，即，
∴，即，而，则.
∵，
∴，即，
∴综上，得.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由恒成立知，求得的集合，根据函数不等式，判断的正弦值符号，进而确定.
2．A
【分析】
分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间上单调递增即可．
【详解】
A: ，周期为，在区间上单调递增，故A正确；
B: ,周期为，在区间上单调递减，排除；
C: ,周期为,在区间上不具有单调性，排除；
D: ,周期为,排除.
故选：A.
3．C
【分析】
依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，列出方程，即可求解.
【详解】
依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，可知，故，故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的最小正周期应用，其中解答中熟记三角函数的最小正周期的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．C
【分析】
直接利用正弦型函数的性质和图象的平移变换的应用求出函数的关系式，根据，求出的值，进一步求出函数的值，即可得出答案.
【详解】
解：函数，，是奇函数，
所以，
由于，所以．
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．
由于的最小正周期为，
所以．
故，由于，所以．
则，
则．
故选：C.
5．D
【分析】
将函数用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立的不等量关系，即可求解.
【详解】
，
在区间上是增函数，
，.
当时，取得最大值，
而在区间上恰好取得一次最大值，
，解得，
综上，.
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.
6．A
【分析】
把复杂的函数化简后，确定周期和单调性.
【详解】
，周期为，时，，此函数在上递增，的周期是，的周期是，在上递减，只有A正确.
故选A.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性和单调性，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，，然后利用正弦函数或余弦函数的性质求解.
7．A
【分析】
A.利用在 上的单调性判断；B. 转化为，利用 在 上的单调性判断；C. 转化为，利用在 上的单调性判断；D.转化为 ，利用在 上的单调性判断.
【详解】
A.因为，且 在 上递增，
所以 ，故正确；
B. 因为，
且 ， 在 上递减，
所以 ，故错误；
C. 因为，
且 ， 在 上递增，
所以，即，故错误；
D. 因为，且 ， 在 上递减，
所以 ，即，故错误；
故选：A
8．A
【分析】
利用函数的奇偶性判断即可.
【详解】
因为，
所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称，只有选项符合题意．
故选：A．
9．A
【分析】
利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可求出结果.
【详解】
原式=sin+cos-tan=sin+cos-tan
故选：A
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于基础题目.
10．B
【分析】
先根据单调性排除C,D,再取特殊点确定选项.
【详解】
是减函数，故排除选项C，D，又当时，，排除A，
故选:B.
【点睛】
本题考查指数函数图象与性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
11．C
【详解】
，又角均为锐角，则，，且中，，的形状是钝角三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用诱导公式、正弦函数的单调性以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
12．BC
【分析】
首先求出函数的周期，再根据的面积，求出的纵坐标，即可求出函数解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，故A错误；
因为，所以，所以，因为
所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；
令，，解得，，所以函数的对称中心为，，故C正确；
将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，故D错误；
故选：BC
13．BC
【分析】
首先根据函数的图像得到，再依次判断选项即可得到答案。
【详解】
由图知：，所以，
因为，，即，。
所以.
又因为，
所以，，.
又因为，所以，所以.
对选项A，，故A错误.
对选项B，令，解得，.
所以函数的对称中心为, ，故B正确.
对选项C，，，
解得，
所以函数的增区间为, ，故C正确.
对选项D，，故D错误.
故选：BC
14．2
【解析】
【分析】
设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，则，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，于是问题转化为方程有几个解的问题，然后再转化为两个函数的图象有几个公共点的问题处理即可．
【详解】
设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，
则，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，
∴＋2x2－4x＋1＝0，
∴，
在同一坐标系中画出函数y1＝和y2＝－2x2＋4x－1的图象，如下图所示，
由图象可得，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”．
故答案为2.
【点睛】
本题为新概念问题，考查阅读理解和应用解题的能力，解题的关键是设出“友好点对”，然后将问题转化成函数零点个数的问题，再借助函数图象处理，同时也考查数形结合在解题中的应用．
15．
【分析】
利用余弦定理可得，再利用正弦定理可得，限制角C的范围，利用正弦函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】
由题意得，故，，
由正弦定理，得，所以，，
所以.
因为，所以，从而，
所以，
从而，即.
故答案为
【点睛】
本题考查正、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想.
16．
【分析】
先根据函数的图象及其所过的点可求，再根据图象的对称性可求()，求出函数单调区间的一般形式，利用为前者的子集可求的范围，从而可求的最大值.
【详解】
∵函数的图象经过点，∴，，
，∴或.
若，则，
则当时，，故在为增函数，
这与题设中的图象不符合，故.
∴，由的图象关于点对称，
得，，即()，
令，则，
故的单调区间为.
∵在区间上单调，
故存在整数，使得，
故，因为，故，且，
故即，
故或或或或.
又()，∴或，∴的最大值是.
故答案为：11.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的正弦型函数，如果已知其在给定区间上的单调性，则可以求出函数的单调区间的一般形式，根据给定区间为一般形式的子集得到参数满足的不等式组，该不等式组有整数解，从而得到参数的取值范围.
17．
【分析】
根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.
【详解】
解：由题可知，不妨设，
对于，对任意实数，，方程有解，
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，所以，
综上得：；
对于，对任意实数，，方程也有解，
当时，方程可化为有解，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.
18．
【详解】
由题意，
【考点】三角函数的周期.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由三角函数的定义，得到，根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，即可求出结果；
（2）先由三角形面积公式，得到，再由向量数量积的运算，得到，进而得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）因为，由三角函数的定义可得：，
所以，
因此；
（2）由题意，，
，
因此，
因为，所以，
因此当，即时，取得最大值，
即的最大值为.
【点睛】
本题主要考查由两角差的正切公式求三角函数值，以及三角函数性质的应用，熟记两角差的正切公式，二倍角的正切公式，三角函数的定义，正弦函数的性质等即可，属于常考题型.
20．（1）；（2）
【分析】
（1）首先根据三角恒等变换将化简，由即可求出，再根据连接差的正弦公式计算可得；
（2）根据的取值范围，求出的取值范围，再结合函数的值域即可求出参数的取值范围.
【详解】
解：（1）
由，
解得，所以
（2）由（1）知，
解得
即的最小值为
【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换的应用，属于中档题.
21．（1）（2）.（3）
【分析】
（1）化简，求最大值，即可求解；
（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；
（3）运用正弦函数图像，即可求解.
【详解】
解：
.
（1）函数的最大值为，所以.
（2）由，
解得，
所以的单调递增区间为.
（3）由（1）知.
因为，即.
所以，
所以.
所以，
所以使成立的的取值集合为.
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.
答案第1页，共2页
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