人教A版（2019）必修第一册 第三章3.1课时1函数的概念（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册 第三章3.1课时1函数的概念
一、单选题
1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．已知集合，，则
A． B．
C． D．
3．函数，其中a，b为常数，若，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．不确定
4．下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列所给函数为复合函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，当时的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．如果函数，，那么函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中“有界函数”是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
三、双空题
10．已知函数＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，则＝________，＝________．
四、填空题
11．设数列满足,则数列的前2020项之和为______.
12．已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为 ____.
13．有下列函数式：①；②；③；④；⑤.其中表示是的函数的表达式的序号是_________.
14．已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________．
15．求函数的定义域
16．已知的定义域为，则的定义域为____________
17．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．已知函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有_______个．
18．已知，则________
19．设，，则__________﹒
五、解答题
20．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.
（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.
21．求下列函数的定义域
（1）
（2）
22．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
23．已知函数，其中.
（1）若，函数，若在内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；
（2）设函数，，若对每一个不小于2的实数，都有小于2的实数，使得成立，求实数的取值范围.
24．已知函数f（x）＝
（1）求函数f（x）的定义域（用区间表示）；
（2）若h（x+1） f（x）＝1，求函数h（x）的解析式并写出定义域．
25．已知A，B两地相距，汽车以的速度由A地开往B地，求距离B的路程与行驶时间的函数关系式．
26．已知二次函数满足条件，（为已知实数）.
（1）求函数的解析式；
（2）设，，当时，求实数的取值范围.
27．已知 (x∈R, 且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(a－1)，g(a＋1)的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
函数相等，定义域相同，且化简以后解析式相同。
【详解】
A、由于函数定义域是，，定义域是，即两个函数的定义域不同，则A不对；
B、由于函数，，即两个函数的解析式不同，则B不对；
C、由于函数定义域是，，，定义域是，，，即两个函数的定义域，解析式相同，则C对；
D、由于函数与，即两个函数的解析式不同，则D不对．
故选：C．
2．B
【分析】
解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，利用交集的定义即可得解.
【详解】
集合，或.
.
故选B.
【点睛】
本题主要考查解一元二次不等式和分式不等式及集合交集的运算，属于基础题.
3．B
【分析】
利用为奇函数，可得，分析即得解
【详解】
，
．
故选：B
4．C
【分析】
根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．
【详解】
对于，其对应函数的值域不是，错误；
对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；
对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；
对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；
故选：．
5．A
【分析】
根据复合函数的定义逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】
解：函数是由函数和复合而成的，而B，C，D中的函数分别为函数与函数的加 乘 商的形式，不符合复合函数的定义.
故选：A.
6．B
【分析】
利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可.
【详解】
因函数的定义域为，则在函数中，
必有，解得，
故选：B.
7．D
【分析】
根据即可的解.
【详解】
解：因为，，
即，解得.
故选：D.
8．C
【分析】
把配方之后，确定函数的单调区间，即可求函数值域.
【详解】
解：，开口向上，对称轴为，
所以函数在单调递增，
所以，
所以函数的值域为
故选：C
9．BC
【分析】
利用分离常数法，换元法，二次函数的性质，分别求出四个函数的值域，即可得加绝对值的值域，结合有界函数的定义即可得正确选项.
【详解】
对于（1）：，
由于，所以，，不存在正数，使得成立，不满足题意；故不是有界函数；
对于（2）令，，则，
因为，当时，函数的最大值为，
所以，即，，为有界函数；
对于（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数；
对于（4）令， ，则，即，，
当时，，无最小值，即，，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数．
故选：BC.
10．－1； x4－2x3－2x2＋3x＋1.
【分析】
由已知条件列方程组求参数m、n，进而写出的解析式，再求即可求，同理求.
【详解】
由题意知：，解得，
∴＝x2－x－1，故＝1，则＝－1，
由上，＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
故答案为：－1，x4－2x3－2x2＋3x＋1.
11．
【分析】
由题意可知数列{an+1+an}是等比数列，易得an+1+an＝8，由累加法结合等比数列的求和公式可得．
【详解】
由题意可得
可得数列{an+1+an}是等比数列，又由已知可得a3＝2a2+3a1，代入已知可得a2＝5，
所以数列{an+1+an}的首项是8，公比是3，
∴an+1+an＝8，
n依次取1，3，5，…，2019，可得
a2+a1＝8，
a4+a3＝8，
a6+a5＝8，
…
a2020+a2019＝8，
以上式子加起来可得数列的前2020项之和为：
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等比数列的证明，考查了分析能力及逻辑推理能力，属中档题．
12．
【分析】
首先明确在平面上的投影的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.
【详解】
取AB中点为H，连接DH交AE于G，
由题意可知：在平面上的投影落在线段GH上，
如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为
，
易得：F到直线的距离为：，
，
故的取值范围为
故答案为
【点睛】
本题考查线段的长度，考查线面间的位置关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.
13．①③⑤
【分析】
利用函数的定义，对五个表达式逐一分析，由此确定表示是的函数的表达式的序号.
【详解】
对于①，，符合函数的定义，故①是函数.
对于②，由于的解集为空集，不符合函数的定义，故②不是函数.
对于③，，符合函数的定义，故③是函数.
对于④，对于任意，都有两个与之对应，不符合函数的定义，故④不是函数.
对于⑤，可化为，为一次函数，故⑤是函数.
故答案为①③⑤.
【点睛】
本小题主要考查函数的定义，属于基础题.
14．2
【分析】
由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.
【详解】
由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，
，等号成立的条件是，即x=3 ，成立，
即函数在[3.+∞)的值域是[4.+∞)，
，是增函数，当x∈[3.+∞)时，函数的值域是，
所以，解得: 1所以实数a的最大值是2.
故答案为: 2.
【点睛】
本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于较难题.
15．
【分析】
根据解析式的形式可得自变量满足的不等式组，其解集即为函数的定义域.
【详解】
由题设有，所以且，
故函数的定义域为，填.
【点睛】
本题考查具体函数的定义域的求法，属于基础题.
16．
【分析】
根据抽象函数的定义域先求得的定义域为，再根据抽象函数定义域规则求解即可.
【详解】
由的定义域为，得，所以，所以，
所以的定义域为，
令，得，即，
所以的定义域为.
故答案为：
17．
【详解】
试题分析：令2x2+1=5得x=±，令2x2+1=19得x=±3，使得函数值为5的有三种情况，
即x=-，，±，使得函数值为19的也有三种情况，即x=3，-3，±3，
则“孪生函数”共有3×3=9个．
考点：本题主要考查函数的表示方法；函数的定义域及其求法；函数的值域．
点评：新定义问题，所谓的“孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解个方程罢了．
18．1
【分析】
根据已知条件直接带入求解即可.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：1
19．x，x＞1
【分析】
求f(x)·g(x)的定义域，然后化简f(x)·g(x)即可﹒
【详解】
定义域为(1，＋∞)，，
∴x，x＞1．
故答案为：x，x＞1．
20．（1）定义域为，值域为；（2）.
【分析】
（1）由图可知，定义域为时间，值域为温度；
（2）根据图象，12时位于11时至14时对应的直线段上，由此计算12时所对应的温度.
【详解】
（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t的温度为，
则定义域为，值域为.
（2）由图知，11时的温度为，14时的温度为，
12时的温度约为.
【点睛】
本题考查函数图象与性质，通过函数图象确定函数定义域、值域、特殊点函数值，属于基础题.
21．（1）且；（2）或
【分析】
（1）解不等式组 ，即可求解；
（2）解不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意可得，解得：且，
故定义域为：且
（2）由题意可得：，
即，解得：或，
故的定义域为或
【点睛】
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.
22．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
（1）（观察法）记,则，，，，，所以函数的值域为．
（2）（配方法）由题得,又,再结合函数的图象（如下图），可得函数的值域为．
（3）（分离常数法）因为，且，所以，所以函数的值域为．
（4）（换元法）设，则，且，所以，由，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为．
23．
（1）
（2）
【分析】
（1）由得到，进而得到，令，将问题转化为，内有两个不相等的实根求解；
（2）根据时，成立，由的值域包含于 的值域求解.
（1）
当时，，
所以，
，
令，
则函数转化为，
因为在内有两个不相等的实根，
所以，内有两个不相等的实根，
则，即，
解得；
（2）
由题意得：在时，成立，
所以的值域包含于 的值域，
当时，当，，当时，，不符合题意；
当时，在上递减，
所以，又，
所以，即 ，此时 ；
当时， ，又，
当时， ，
所以 ，解得，
综上：.
24．（1）；（2），定义域为
【分析】
（1）直接根据分母不为零，二次根号下不小于零列不等式求解；
（2）代入函数f（x）的表达式，然后利用换元法可得函数h（x）的解析式，再利用h（x）和f（x）的关系列不等式求解h（x）定义域.
【详解】
解：（1）由已知，解得且，
故函数f（x）的定义域为；
（2），
令，则，
，
，解得且，
故函数h（x）的解析式为，定义域为.
25．
【分析】
先求得t小时后汽车行驶的路程，再用A，B两地相距减去汽车行驶的路程，即可得到距离B的路程解析式.定义域由时间和路程是非负数求解.
【详解】
因为汽车以的速度由A地开往B地，
所以t小时后汽车行驶了km，
又因为A，B两地相距，
所以距离B的路程为，
又因为，
解得，且，
所以
所以距离B的路程与行驶时间的函数关系式为
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
26．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由题意，设二次函数，根据，得到，即可求出结果；
（2）先化简集合，解方程，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.
【详解】
（1）因为二次函数满足条件，
设二次函数，
又，
所以，
因此，所以，
所以；
（2）因为，
解方程得或，
当时，满足；
当时，，由得，解得，
所以；
当时，，由得，解得，
所以，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查求二次函数的解析式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记待定系数法求函数解析，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.
27．（1）；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）将分别代入和g(x)的解析式即可；
（2）先求g(2)=6，再求f(6)即可；
（3）将和分别代入和g(x)的解析式即可
试题解析：
(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
(3)f(a－1)＝＝；
g(a＋1)＝(a＋1)2＋2＝a2＋2a＋3.
答案第1页，共2页
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