人教A版（2019）必修第一册 第四章4.5课时1函数的零点与方程的解（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册 第四章4.5课时1函数的零点与方程的解
一、单选题
1．把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，定义运算“”： ，函数，，若方程只有两个不同实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．函数，，则函数的零点个数是
A．2 B．3 C．4 D．0
4．幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
5．用表示两数中的较小值.若函数的图像关于直线对称,则的值为
A． B． C． D．
6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数f（x）=3ax﹣k+1（a＞0，且a≠1）过定点（2，4），且f（x）在定义域R内是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的图象是
A． B． C． D．
8．函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
A．﹣8 B．8 C．12 D．13
10．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，函数有2个零点
B．当时，函数有2个正零点
C．若函数在上有2个零点，则
D．若函数有2个零点，且其中一个大于-1，另一个小于-1，则
11．函数f(x)=lnx+x2+a-1有唯一的零点在区间(1，e)内，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-e2，0) B．(-e2，1) C．(1，e) D．(1，e2)
12．已知函数，，的零点依次为，则
A． B． C． D．
二、多选题
13．在数学中，布莱维尔不动点定理是拓补学例一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A．为不动点函数 B．为不动点函数
C．为不动点函数 D．为不动点函数
三、双空题
14．已知是函数的一个零点，若，，则______0，______0（填“>”“<”）
四、填空题
15．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
16．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是_________.
17．设函数，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为________
18．函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.
19．函数f(x)=的零点个数是________个．
20．已知函数，若当方程有四个不等实根时，不等式恒成立，则实数的最大值为____________.
五、解答题
21．对于函数，若存在一个实数使得，我们就称关于直线对称.已知.
（1）证明关于对称，并据此求：的值；
（2）若只有一个零点，求的值.
22．已知是定义在上的偶函数，且时，.
（1）求，；
（2）求函数的解析式；
（3）若，求实数的取值范围．
23．设函数.
（1）计算，，，；
（2）求函数的值域和零点；
（3）根据第一问计算结果，写出的两条正确性质，并证明其中一个.
24．已知函数，.
（1）若方程的两个实根，满足，求的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为1，求a的值；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.
25．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
【详解】
曲线右移一个单位，得，
所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.
当x∈[0,1]时，，
y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.
绘制函数图像如图所示，
由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：
，求解不等式组可得：.
即的取值范围是．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．B
【解析】
【详解】
由于，解得，故，画出函数图像如下图所示，有图可知有两个的区间为.
点睛：本题主要考查新定义函数的理解，考查函数图像的画法，包括二次函数和一次函数，考查函数与方程的思想方法.对于新定义函数的理解，是新定义题目解题的关键，本题主要是两个数的差与进行比较，比较后可得出分段函数的解析式，由此画出函数的图像，即可得到何处有两个不同的实数根.
3．A
【解析】
【详解】
函数的零点满足，
绘制函数与的图像，交点的个数即函数零点的个数，
如图所示，观察可得：函数的零点个数是2.
本题选择A选项.
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．A
【解析】
由幂函数，指数函数，对数函数的图象特征结合条件可得出答案.
【详解】
由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，
曲线②为指数函数，为减函数，则
曲线③为幂函数，在上为减函数，则
所以
故选：A
5．B
【解析】
【详解】
当时,函数的图像关于直线对称.所以解得故选B.
6．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性与零点的知识依次讨论个选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，定义域为，满足，故是奇函数，故错误；
对于B选项，定义域为，满足，故是偶函数，但不存在零点，故错误；
对于C选项，定义域为，故函数为非奇非偶函数，故错误；
对于D选项，定义域为，满足，故是偶函数，且当时，故满足条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点与奇偶性，解题的关键在于奇偶性概念，是基础题.
7．A
【解析】
【详解】
函数图象过定点，则，在定义域内为增函数，可知．则原函数为．其定义域为且函数为增函数．故本题答案选．
8．C
【解析】
【详解】
作函数和的图象可以看出，两个函数的图象有两个交点，则函数的零点个数为2.选C.
9．D
【解析】
【详解】
试题分析：将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．
解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），
因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点
即由题意可以得到：必有，即，
在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，
如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，
z=m+k取得最小值，即zmin=13．
故选D．
点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．
10．A
【解析】
【分析】
结合二次函数零点分布、判别式等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项：当时，，故函数有两个零点，故A正确；
B选项：若，则，没有零点，故B错误；
C选项：若函数在上有2个零点，
则有，
解得：，故C错误；
D选项：由题意可知，当时，，
解得：，故D错误.
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
首先根据对数函数的单调性以及二次函数的单调性判断f(x)在其定义域内是增函数，再利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
因为f(x)在其定义域内是增函数，且f(x)有唯一的零点在(1，e)内，
所以解得-e2故选：A.
【点睛】
本题考查了零点存在性定理，根据零点个数求参数的取值范围，属于基础题.
12．A
【解析】
【详解】
令函数，可得，即，
令，则，即，
令，可知，即，显然，故选A.
13．BC
【解析】
【分析】
根据题中所给定义，只需判断f（x0）＝x0是否有解即可．
【详解】
对于A：当x0时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当x0时，解得x0＝3或x0＝﹣1，满足定义，故B满足；
对于C：当x0≤1时，x0时，解得x0＝1或x0，当x0＞1时，|2﹣x0|＝x0时，无解，故C满足；
对于D：当x0时，构造函数y＝lnx﹣1﹣x，
∵y＝lnx﹣1﹣x其导函数为y′1，
∴0＜x＜1时原函数递增，x＞1时原函数递减；
故函数最大值为：y1＝ln1﹣1﹣1＝﹣2＜0，
所以lnx﹣1﹣x＜0恒成立，故D不满足，
综上，BC均满足，
故选：BC．
14．
【解析】
【分析】
根据基本函数的增减性，判定的单调性，根据零点确定零点左右两侧函数值的正负即可.
【详解】
函数 ， 在 上均单调递增，
函数在上单调递增，
由 ，，
得 ，
由 ， ，得 ．
∴①处填“＜”，②处填“＞”.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，函数的零点，属于中档题.
15．5
【解析】
【分析】
函数 的零点，即方程 和的根，画出函数的图象，数形结合可得答案．
【详解】
由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1
作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
【点睛】
本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．
16．.
【解析】
【详解】
试题分析：显然，是的一个根；令，则的图像关于直线对称，的值域为，且关于的方程有五个不同的实数解，有两个大于1且小于2的不等实根，
令，则，即，即.
考点：复合函数的性质.
17．
【解析】
【分析】
作出函数的图象，令，结合图象可得，要使恰好有六个不同的实数解，则方程在，内有两个不同的实数根；
【详解】
解：作出函数的图象如图：
令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
，解得且，
实数的取值范围为．
故答案为：．
18．
【解析】
【分析】
将问题转化为方程的根都是正根的问题，利用韦达定理即可处理.
【详解】
因为函数的零点均是正数，
故方程的根都是正根，
故当时，需满足
解得.
当时，解得，此时方程为，
方程的根满足题意.
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据二次函数零点的情况求参数范围，涉及一元二次方程根的分布，属综合基础题.
19．2个
【解析】
【分析】
把函数的零点转化为两个函数的图象的交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，根据图象的交点个数，即可得到答案.
【详解】
函数的零点个数，即为函数与的图象的交点个数，
在同一坐标系内分别作出两个函数的图象，如图所示，
即可得到两函数的图象有且只有2个交点，
即函数有2个零点.
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点个数的判定问题，其中解答中把函数的零点问题转化为两个基本初等函数的图象的交点个数，在同一坐标系下分别作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.
20．
【解析】
【分析】
采用数形结合，根据，，使用分离参数，可得，然后右边进行化简并使用换元法，根据对勾函数，进行计算可得结果.
【详解】
当时，，所以，
由此画出函数的图象，
由于，且，.
所以，，，
由分离参数得：
令，在上单调递增，
∴，∴，则上式化为
∴
故答案为：
【点睛】
本题查分段函数的应用，对数函数图像和性质以及函数恒成立问题，综合性强，考查分析能力，使用数形结合的方法，简洁明了，属较难题.
21．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）分别求得，验证即可证明关于对称，利用性质可得，从而求得,将代入解析式可得，即为所求；（2）由（1）知关于对称，且只有一个零点，则这个零点一点就是，由解得，验证符合题意．
试题解析：
（1）
又
∴，
∴函数的图象关于对称．
由题意知
（2）由（1）知关于对称，且只有一个零点，
则这个零点一定就是，
，
解得
当时，
时，时，
故当时函数只有一个零点，符合题意.
∴．
点睛：（1）解决新定义问题的关键是深刻理解新定义的含义，并在新信息的基础上进行应用解决问题，这类题考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力．
（2）在本题（2）中，由函数关于对称，且只有一个零点，得到这个零点就是是解题的关键．
22．（1）0，-1
（2）
（3）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）代入x的值，求出函数值即可；
（2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；
（3）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可．
试题解析：
(1)因为当x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)，
所以f(0)＝0.
又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝log[－(－1)＋1]＝log2＝－1，
即f(1)＝－1.
(2)令x>0，则－x<0，
从而f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)，
∴x>0时，f(x)＝log(x＋1)．
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(3)设x1，x2是任意两个值，且x1则－x1>－x2≥0，
∴1－x1>1－x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝log(－x2＋1)－log(－x1＋1)＝log>log1＝0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)＝log(－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∵f(a－1)<－1＝f(1)，
∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
点睛: 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号；（4）下结论.
23．（1），，，；（2）值域为，函数的零点为；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)直接代值计算，即可求解；
(2)先对已知函数化简，再求函数的值域，然后令，即可求函数的零点；
(3)利用函数的奇偶性和单调性定义来加以证明.
【详解】
解：（1），，
，，
（2）由题意，函数，
因为，所以，所以，
所以，所以，
即函数的值域为.
令，即，
解得，即函数的零点为.
（3）对于函数，性质1：是非奇非偶函数；性质2：是单调递减函数.
是非奇非偶函数证明如下：
对任意的，
其中，，
所以且，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数；
是单调递减函数的证明如下：
对任意的，，，
则
，
因为，，，
所以，
所以函数在定义域上为单调递减函数.
【点睛】
本题考查函数的求值、值域、零点，奇偶性与单调性的证明，考查运算求解能力与理解辨析能力，属于基础题.
24．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质,及两实根满足,可得,求解即可;
（2）令,由,可得,则函数在上的最小值为1,讨论的单调性,并求出最小值,即可求出a的值;
（3）由存在,使得,可得函数在的最大值大于0,则或,求解即可.
【详解】
（1）因为的图象是开口向上的抛物线,且方程有两个实根,满足,
所以,即,解得.
（2）令,时,,
则函数在上的最小值为1,
二次函数开口向上,对称轴为,
若,即,在上单调递增,最小值为,解得,成立;
若,即,在上单调递减,最小值为,显然无解,不成立;
当,即,的最小值为，解得或,都不满足,舍去.
综上,.
（3）因为存在,使得,所以函数在的最大值大于0,
根据二次函数的性质,在的最大值为或,
故或,即或,解得.
【点睛】
本题考查了二次函数单调性与最值的应用,考查二次函数的零点分布,考查了对数函数的单调性的应用,考查学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.
25．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由函数单调性，得，从而可解得；
（2）不等式转化为，换元，得，然后由的范围求得的最小值即可的范围；
（3）设，方程转化为，问题转化为此方程有两解一解在区间上，另一解大于1或等于1，再由二次方程根的分布可得．
【详解】
（1），
因为，所以在区间上是增函数，故，解得．
（2）由已知可得，
所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是．
（3）原方程可化为，
令，则，有两个不同的实数解，，其中，，或，．
记，则①
或②
解不等组①，得，而不等式组②无实数解．所以实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查函数的单调性，不等式恒成立问题，方程根的分布与函数零点关系问题，解题关键是利用换元法把问题进行转化，例如不等式恒成立问题转化为求函数的最值，方程根的个数问题通常转化为二次方程根的分布或利用数形结合思想求解，此类题属于难题．
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