人教A版（2019）必修第一册 第四章第四节对数函数（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册 第四章第四节对数函数
一、单选题
1．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，记，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
2．已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数与不是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．设是定义在上的奇函数，当时，，若在上存在反函数，则下列结论正确的是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，则的大小关系为
A． B． C． D．
9．已知函数与的图像有且仅有三对关于直线对称的点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的反函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
12．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
13．已知函数的图像与函数（其中且）的图像关于对称，则_______；若方程有解，则实数a的取值范围是______．
三、填空题
14．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.
15．函数恒过定点______.
16．已知a，b∈R，有以下命题：①若a＞b，，则ac＞b；②若，则ab；③若a＞b，则a 2c＞b 2c．则正确命题的序号为_________．
17．已知函数是奇函数，当时，（且），且，则________.
18．函数f(x)＝与g(x)＝|x＋a|＋1的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是________.
19．在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是边长为2的正三角形，E是AB边上的动点，则 的最小值为_____．
四、解答题
20．设的最大值和最小值.
21．若函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．已知函数.
（1）若，求函数的解析式，并写出的定义域；
（2）记.
①若在上的最小值为1，求实数的值；
②若为图象上的三点，且满足成等差数列的实数有且只有两个不同的值，求实数的取值范围.
23．已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
24．记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围．
25．函数的图像过点和
（1）求函数的解析式；
（2）当的定义域为，求的最大值及取最大值时的值．
26．研究表明，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.
（1）求函数的解析式；
（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据：，)
27．已知函数且）
（Ⅰ）若函数的反函数是其本身，求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值.
28．已知函数，（为实数），，．
（1）若，且函数的值域为，求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【详解】
函数是定义在上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),所以，
而且在区间上单调递增，所以，选A.
【点睛】
由函数的单调性比较函数值的大小，关键要把所以x值全转化到函数的同一个单调区间，通过比较x的大小，进一步比较出函数值的大小．
2．B
【分析】
根据f（x）的单调区间求出a的范围，利用f（x）的单调性求出f（x）的最大值和最小值，得出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性计算g（a）的最小值．
【详解】
：∵f（x）在（-∞，1]上是减函数，
∴-a≥1，即a≤-1．
∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4，
最小值为f（1）=4+2a，
∴ ，
∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减，
∴g（a）的最小值为g（-1）=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，属于中档题．
3．D
【分析】
由等腰三角形的周长为20，得到，结合三角形的性质，求得，即可得到函数的解析式.
【详解】
由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x，
可得，所以，
又由，即，即，
因为，即，可得，所以，
所以解析式为.
故选：D.
4．D
【分析】
确定函数的定义域与对应法则是否相同即可得．
【详解】
函数的定义域为，对应法则是取绝对值，即正数和0等于它本身，负数等于它的相反数．
首先ABC三个函数定义域是，D中函数，定义域不相同，不是同一函数，其次ABC中函数变形化为，与已知函数相同，是同一函数．
故选：D．
5．A
【分析】
由分段函数解析式，根据的取值范围，利用指数函数、对数函数的单调性分别解不等式即可求解.
【详解】
由函数，满足，
当时，则，即，解得，
此时，
当时，则，即，
解得，此时，
综上所述，不等式的解集为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6．B
【分析】
由函数的定义域使函数表达式有意义即可求解.
【详解】
由题意可得 ，
所以且
所以函数的定义域为
故选：B
【点睛】
本题考查函数的定义域，解决此题需要掌握指数函数、对数函数的性质，属于基础题.
7．B
【分析】
若在上存在反函数，必需保证函数不存在多个自变量对应同一个函数值，再根据函数的单调性和奇函数的图象特点，即可得到答案.
【详解】
若在上存在反函数，必需保证函数不存在多个自变量对应同一个函数值，即可，
（1）当时，函数在单调递增，所以在也单调递增，
若，根据奇函数的性质，则会出现多个自变量对应同一个函数值，所以.
（2）当时，函数在单调递减，所以在也单调递减，
若，根据奇函数的性质，则会出现多个自变量对应同一个函数值，
所以.
故选B.
【点睛】
本题考查反函数定义和对概念的理解，考查数形结合思想和图象的平移变换，求解时要会借助草图进行分析求解.
8．A
【详解】
为偶函数； ； ； 在 上单调递减，并且 ； ，故选A.
【 方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间， ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
9．A
【分析】
因为与关于对称，依题意函数与的图像有且仅有三对关于直线对称的点，即函数与的图像有且仅有三个交点，画出函数图象，对分类讨论即可求解；
【详解】
解：因为与关于对称，依题意函数与的图像有且仅有三对关于直线对称的点，即函数与的图像有且仅有三个交点，可画函数图象如下所示：
当时，则解得；
当时，则解得；
综上可得
故选：
【点睛】
本题考查函数方程的综合应用，反函数的性质的应用，数形结合思想与分类讨论思想，属于中档题.
10．D
【详解】
函数的反函数为，所以对应图象为D
11．C
【分析】
先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】
∵为定义在上的奇函数，
∴也为定义在上的奇函数，
∵对任意的时，当时，
∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，
∴在上单调递增，
由可得
即
∴，即
故选C
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．
12．A
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可得答案
【详解】
，则函数为奇函数，可排除CD；
，可排除B．
故选：A．
13．；
【分析】
利用互为反函数的性质，由，解出，即为；根据互为反函数的两个函数图像关于对称，结合对称性画图分析即可求解.
【详解】
解：①函数的图像与函数（其中且的图像关于对称，
由，解得，即，所以；
②函数的图像与函数（其中且的图像关于对称，
，
当时，函数的图像与函数（其中且的图像一定有交点，即方程有解，因此符合题意．
当时，函数的图像与函数（其中且的图像有交点，则函数（其中且的图像与一定有交点，
由，可得，令，，则，
可得时，函数取得极大值即最大值，所以，
所以，解得．
综上， 实数的取值范围是．
故答案为：；．
14．
【分析】
先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【详解】
由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，
所以点的坐标为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．
【分析】
令，根据对数的性质，即可得出结果.
【详解】
令，则，所以，
即函数恒过定点.
故答案为：
16．③
【详解】
①同向不等式不具有可乘性，如：则，
故错误．
②若，则ab，错误，如：，.
③若a＞b，则a 2c＞b 2c，根据不等式的性质可知正确.
故正确命题序号为③．
考点:不等式的性质．
17．
【分析】
根据，结合奇偶性求出，即可求得a的值.
【详解】
函数是奇函数，当时，（且），且，
因为，，
，
即，，因为且，
所以.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据函数奇偶性和函数值求参数的取值，关键在于准确辨析自变量的取值范围，根据范围准确代入解析式.
18．[e，＋∞)
【分析】
设y＝h(x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，问题转化为y＝h(x)与y＝g(x)的函数图象有交点，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
设y＝h(x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
则h(x)＝f(－x)＝
作出y＝h(x)与y＝g(x)的函数图象如图所示.
因为f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点，所以y＝h(x)与y＝g(x)的图象有交点，
，
所以－a≤－e，即a≥e.
故答案为：[e，＋∞)
19．
【分析】
将四边形放入坐标系，结合三角函数定义求出对应点的坐标，利用向量数量积公式转化为一元二次函数进行求求解即可．
【详解】
解：当四边形ABCD放入平面直角坐标系，
∵AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是边长为2的正三角形，
∴D（2cos30°，2sin30°），即D（，1），
∵∠CDB＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝120°
∴∠CDB＝30°，即△BCD是等腰三角形，
取BD的中点E，
则BE＝1，
则cos30°，
即BC，即C（，0），
设E（0，b），0≤b≤2，
则（，b﹣1），（，b），
则 （，b﹣1） （，b）＝2+b（b﹣1）＝b2﹣b+2
＝（b）2+2═（b）2，
∴当b时，数量积取得最小值，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，建立坐标系，利用坐标法转化为一元二次函数是解决本题的关键．
20．当时，；当时，.
【分析】
通过不等式，得出，根据对数函数的单调性，得，
根据对数的运算性质，将f（x）转化为二次函数形式，结合对数函数的单调性，与二次函数的图象和性质，可得函数的最大值与最小值.
【详解】
因为
解得.
又.
易知，则=
当时，即时，；当，即时，.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法、对数函数的单调性、二次函数的单调性的应用，考查了推理能力和计算能力， 注意整体代入思想的应用.
21．
（1）；
（2）.
【分析】
(1)根据给定函数，利用奇函数定义计算即可求得的值.
(2)在时，探讨函数的单调性，再结合奇函数变形不等式即可推理计算作答.
（1）
依题意，，则有，即，
整理得，而不恒为0，因此，，解得，
所以实数的值是.
（2）
由(1)知，，，设，且，
，
而，则，，
即，则有为增函数，因此得是R上的增函数，
，
于是得，依题意，在上恒成立，而，则有，解得，
所以实数的取值范围是.
22．
（1），定义域为
（2）①；②
【分析】
（1）利用换元法得出函数的解析式，并写出的定义域；
（2）①先由得出的解析式并得出其单调性，再讨论，，三种情况，由单调性得出实数的值；②由等差中项的性质得出方程在上有两个不等实根，构造函数结合二次函数的性质实数的取值范围.
（1）
令，则，因为，所以
又，所以
所以，的定义域为.
（2）
由（1）知，.
①，所以函数在上单调递减，在上单调递增；
(i)当即时，当时，，解得舍)；
(ii)当即时，当时，（舍）；
(iii)当，即时，当时，，解得；
综上，.
②因为成等差数列，所以，即，整理得（*）.
因为满足条件的实数有且只有两个不同的值，所以(*)在上有两个不等实根，设，
所以，解得
所以实数的取值范围是.
23．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】
（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】
关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
24．（1），或；（2）
【详解】
试题分析：（1）确定集合,再求；(2)解一元二次不等式，得，再根据,列出关于的不等式（组），得的取值范围.
试题解析：（1）由，所以，或，由，所以，∴，或；（2）因为，所以，因为,所以且，∴
∴实数的取值范围是.
考点：1、集合的运算；2、集合的关系.
25．
（1）
（2）当时，函数的最大值为22
【分析】
（1）解方程组即得解；
（2）由题得，再求出，再利用二次函数的图象和性质求解.
（1）
解：由题得，，所以，.
所以
（2）
．
又因为函数的定义域为，
所以要使函数有意义，
则有所以，所以，
所以当，即时，．
所以当时，函数的最大值为22．
26．（1）；（2）28分钟
【分析】
（1）当时，设，由，可求出；当时，，由，可求出，从而可得到的解析式；
（2）当时，令，可求出范围；当时，令，可求出范围，根据所表示的时间长度，可求出学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间.
【详解】
（1）当时，设，
因为，所以，
所以；
当时，，
由，解得，
所以.
综上，.
（2）当时，令，解得或，所以；
当时，令，可得，即，解得，所以.
所以在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间为分钟.
【点睛】
本题考查函数模型的应用，考查二次函数、对数函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
27．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求出的反函数即可得解；
（Ⅱ）化简，由，结合对数函数的单调性即可得最大值.
【详解】
（Ⅰ）由题意的反函数为
因为的反函数为其本身，所以
（Ⅱ）
所以，
所以时取得等号
又，所以
当时取得等号
即当时，取得最大值.
【点睛】
本题主要考查了反函数的概念及对数函数的单调性，属于中档题.
28．（1）；（2）.
【详解】
试题分析：（1）由可得关于的方程,再由值域,可知其最小值为,由函数最值可得关于的另一方程,联立解方程组可得,从而得的解析式；（2）对进行化简知其为一元二次函数,由函数在单调可知, 在一元二次函数的对称轴的一侧,利用对称轴与区间关系,可得关于的不等式,解得实数的取值范围.
试题解析：
（1）∵，∴ ①
又函数的值域为，所以，
由，知，即 ②
解①②，得，
∴，
∴
（2）由（1），得，
∵当时，是单调函数，
∴或，即或，
则实数的取值范围为．
考点：1.函数的单调性；2.一元二次函数.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页