人教A版（2019）必修第一册 第五章5.5课时3二倍角的正弦、余弦、正切公式（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册 第五章5.5课时3二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1．下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是 B．
C．周期函数一定是奇函数或偶函数. D．的充分不必要条件是
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，那么等于
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，，与的夹角为，则的值是
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，若，则为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．直角三角形
9．化简的结果是
A． B． C． D．
10．已知则的值是
A． B． C． D．
11．若，则是第（ ）象限的角
A．一 B．二 C．三 D．四
12．在中，已知，，则为
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
二、多选题
13．下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．对任意的，都是非奇非偶函数 B．存在，使是偶函数
C．存在，使是奇函数 D．对任意的，都不是偶函数
E.存在，使不是周期函数
三、填空题
14．已知，则的结果为_____________________．
15．三倍角的正切公式为________.（用表示）
16．已知复数，（为实数），并且，则实数_________．
17．如果，那么的值为____________.
四、解答题
18．化简与求值．
（1）求的值；
（2）已知，求
19．已知.
（1）若,求方程的解；
（2）若关于x的方程在（0,2）上有两个解，求k的取值范围，并证明．
20．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知
（1）直接写出的解析式
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围
条件①：函数的图象关于直线对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数，恒成立.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
A.举例判断不成立；B.令，由此可判断；C举例分析周期函数并判断奇偶性；D.根据“”与“”互相推出情况进行判断.
【详解】
A.因为，
所以，故命题错误；
B.令，则，故命题错误；
C.设为周期函数，且周期为，当时，，
此时显然既不是奇函数也不是偶函数，故命题错误；
D.若，不能推出，例如；若，可推出，
所以的充分不必要条件是，故命题正确；
故选：D.
2．B
【分析】
由已知利用诱导公式可求出的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算求解.
【详解】
由题意，，所以，则，
因为，所以，即，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.
3．D
【分析】
直接代入二倍角公式即可求值．
【详解】
∵，∴.∵，整理可得，∴.选D
【点睛】
本题主要考查利用二倍角公式求值，属基础题．
4．B
【分析】
利用“1”的变换，所求式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.
【详解】
.
故选:B
【点睛】
本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.
5．C
【分析】
由题意可得 || || cos，，再利用二倍角公式求得结果．
【详解】
由题意可得 || || cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于基础题．
6．A
【分析】
先利用正弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简计算得出的值，然后利用正切的二倍角公式计算即可得解.
【详解】
因为
，
所以，从而可得.
故选：A．
7．B
【分析】
利用二倍角公式和齐次式化简，代入已知条件即可得出结果.
【详解】
由已知条件可得：
，
，
则；
故选：B.
8．D
【分析】
利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，整理后得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．
【详解】
∵
∴ ,
∴cosA=，又根据余弦定理得：cosA= ，
∴b2+c2﹣a2＝2c2，即a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
故选D．
【点睛】
此题考查了三角形形状的判断，考查二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
9．C
【详解】
，选C.
10．A
【分析】
将两边同时平方即可得出
【详解】
因为
所以，
因为
所以，即
故选：A
【点睛】
本题考查的是三角函数同角的基本关系及二倍角公式，较简单.
11．B
【分析】
根据二倍角的正弦公式以及，可得，由此可得是第二象限角.
【详解】
因为，且，
所以，
所以是第二象限角.
故选：B
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了正弦函数与余弦函数的符号规则，属于基础题.
12．A
【分析】
已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选A．
【点睛】
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
13．ADE
【分析】
是周期为的周期函数，当时，是奇函数；时，是偶函数，即可得出选项.
【详解】
时，是奇函数；时，是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误；因为，所以是周期函数，所以E错误.
故选：ADE.
【点睛】
此题考查正弦型函数奇偶性和周期性的判断，根据周期公式可以求出最小正周期，结合诱导公式，分析函数的奇偶性.
14．
【分析】
根据，由求解.
【详解】
，
而，
，
，
，
，
故答案为：
15．
【分析】
令，再利用正切的和角公式与正切的二倍角公式即可得解.
【详解】
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正切的和角公式与正切的二倍角公式的应用，属于基础题.
16．
【分析】
利用复数相等可得出，利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得实数的值.
【详解】
已知复数，（为实数），并且，则，
所以，.
故答案为：.
【点睛】
易错点点睛：已知，求关于、的齐次式的值，应注意以下两点：
（1）一定是关于、的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；
（2）因为，所以可除以，这样可将被求式化为关于的表达式，然后代入的值，从而完成被求式的求值.
17．
【分析】
根据，可得的值.而，
再将分子分母同除以化成关于的分式即可解.
【详解】
由，得.
则有.
故答案为：.
【点睛】
考查同角三角函数的基本关系式.
，，.
18．（1）1；（2）．
【分析】
（1）用诱导公式化简后再变形；
（2）用“1”代换化为关于的齐次式，再弦化切计算．
【详解】
（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系，弦切互化求值，关于的二次式可利用“1”的代换化为齐次分式，再进行弦化切变形．
19．（1）或；（2）k的取值范围为，证明见解析．
【分析】
（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0，下面分两种情况讨论：①当x2﹣1≥0，②当x2﹣1＜0，分别解出方程f（x）=0的解即可；
（2）不妨设0＜x1＜x2＜2，因为，所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，结合根的范围求出当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，下面求的取值范围，先得出则关于k的函数，再利用函数的单调性求其范围.
【详解】
（1）当k=2时，，
①当，即x≥1或x≤-1时，
方程化为，解得，
因为，舍去，所以；
②当，即-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0，解得：；
由①②得，当k=2时，方程f(x)=0的解为或．
（2）不妨设，
因为，
所以f(x)在（0，1］是单调函数，故f(x)=0在（0，1］上至多一个解，
若，则＜0，故不符题意，
因此；
由，得，所以k≤-1；
由，得，所以；
故当时，方程f(x)=0在(0，2)上有两个解；
因为，所以，，
消去k，得，
即，
因为x2＜2，
所以．
【点睛】
本小题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，再根据条件①可得，则可求出，则的解析式就出来了；
（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图像可得的最小值，则实数的取值范围也出来了.
【详解】
解：（1）函数的解析式为.
下面为说明：
因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以，即周期，
所以.
所以.
若选择①：
因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，，
即，.
因为，所以.
所以函数的解析式为.
若选择②：
因为函数的图象关于点中心对称，
所以，，即，.
因为，所以.
所以函数的解析式为.
若选择③：
对任意实数，恒成立，
所以当时，取得最大值.
从而，
即，
因为，所以.
所以函数的解析式为.
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，
所以.
当时，，
当，即时，有最小值.
因为在区间上存在满足，
所以，即的取值范围是.
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