人教A版(2019)必修第一册 第五章5.4课时1正弦函数、余弦函数的图象
一、单选题
1.在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为
A. B. C. D.
2.已知f(x)是R上的奇函数,f(1+x)=f(1-x),当x1,x2∈[0,1],且x1≠x2时,>0,则当-3≤x≤1时,不等式xf(x)>0的解集为( )
A.[-1,0)∪(0,1] B.[-3,-2)∪(0,1] C.(-2,-1)∪(0,1] D.(-2,0)∪(0,1]
3.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为( )
A. B.60 C. D.
4.设,若,则函数
A.是奇函数 B.的图象关于点对称
C.是偶函数 D.的图象关于直线对称
5.设函数,给出下列结论:
①的一个周期为
②的图像关于直线对称
③的图像关于点对称
④在单调递减
其中所有正确结论的编号是( ).A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④
6.方程的实数解有
A.0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个
7.已知在的最大值为,最小值为,给出下列五个命题:
①若对任何都有,则的取值范围是
②若对任何都有,则的取值范围是
③若关于的方程在区间有解,则的取值范围是
④若关于的不等式在区间有解,则的取值范围是
⑤若关于的不等式在区间有解,则的取值范围是
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.已知函数,函数有四个不同的零点,,,,且满足:,则的值是( ).
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
二、多选题
9.直线与在区间上截曲线(,)所得的弦长相等且不为零,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
10.与交点个数为________个.
11.若且,则的取值范围是______.
12.设函数,,,则的取值范围______.
四、解答题
13.已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称,当时,函数,其图象如图所示.
(1)求函数在的表达式;
(2)求方程解的集合;
(3)求不等式的解集.
14.已知函数.
(1)用“五点法”在如图所示的虚线方框内作出函数在一个周期内的简图(要求:列表与描点,建立直角坐标系);
(2)函数的图像可以通过函数的图像经过“先伸缩后平移”的规则变换而得到,请写出一个这样的变换!
15.在平面直角坐标系xOy中,设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.
16.通过正弦函数线,推导函数的图像.
17.已知函数的图象与轴的交点为,它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
(1)求解析式及的值;
(2)求的单调增区间;
(3)若时,函数有两个零点,求实数的取值范围.
试卷第页,共页
试卷第页,共页
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
由,可得或,利用几何概型概率公式可得结果.
【详解】
由,
得,或,
或,
记=“的值介于0到之间”,
则构成事件A的区域长度为;
全部结果的区域长度为;
所以,故选A.
【点睛】
本题主要考查“长度型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
2.D
【解析】
【分析】
依题意分析函数单调性,再根据对称性求得函数周期为,即可求解不等式的解集.
【详解】
∵当,且时,,∴在区间上是增函数.
∵是上的奇函数,∴,且在区间上是增函数.
∴当时,,当时,.
∵,∴的图象关于直线对称,
∴,且在区间上是减函数.
又,
∴,即函数的周期为.
∴是区间上的减函数,且.
综上所述,不等式的解集为.
故选:D
3.B
【解析】
【分析】
先求出logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,再计算出logmz,即得logzm的值.
【详解】
由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,而logmx=,logmy=,故logmz=-logmx-logmy=,即logzm=60.
故答案为B
【点睛】
本题主要考查对数的运算和换底公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4.C
【解析】
【分析】
由可得,化简可得,即可得到结果.
【详解】
由题意得,
∴.
∴
,
∴函数为偶函数.
故选C.
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质,熟记正余弦函数的图像和性质是关键,属基础题.
5.C
【解析】
【分析】
本题根据余弦型函数的性质直接求解即可.
【详解】
①:的最小正周期为:即,所以①正确;
②:的对称轴为:,即,,所以②正确;
③:的对称中心的横坐标为:,即,,所以对称中心为:,,当时③正确;
④:的单调递减区间为:,即,,所以④错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查余弦型函数的图像与性质,是中档题.
6.D
【解析】
分别作出与的图象再观察图像判定即可.
【详解】
解析:作出函数与的图象,如图,观察图象可知,的图象向左无限延伸,且与x轴无限靠近,因此与的图象有无穷多个交点,∴方程的实数解有无穷多个.
故选:D
【点睛】
本题主要考查了根据函数图像分析函数零点个数的问题,属于基础题.
7.B
【解析】
这是恒成立,有解,零点问题的概念题,根据条件转化为最值问题,理解,判断选项.
【详解】
由条件对任何都有,可知,即的取值范围是,故①错②正确;
若关于的方程在区间有解,说明应属于函数在上的值域,故③正确;
若关于的不等式在区间有解,则,即则的取值范围是,故④错⑤正确.
故选:B
8.A
【解析】
【分析】
作出函数图象,根据函数图象得出4个零点的关系及范围,进而得出结论.
【详解】
函数的四个不同的零点,,,,就是函数与两个图象四个交点的横坐标,
作出函数的图象如下图所示,
根据二次函数的性质和图象得出,所以,
又,且,所以,
即,所以,
所以,
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点,考查数形结合思想,解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解决问题的关键,属于中档题.
9.BD
【解析】
【分析】
由题意可知与关于对称,可求得的值,由弦长相等且不为零,可得
可得的范围,进而可得正确选项.
【详解】
将图象向上平移个单位可得的图象,
且的周期为,
所以在区间上的图象为一个周期的图象,
若直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零,
可得与关于对称,所以,
因为弦长不为零,所以,可得,
所以,,
故选:BD.
10.
【解析】
【分析】
分别作出函数与的大致图象,由图象结合对称性即可求解.
【详解】
作出函数与的大致图象,如图:
因为,,,,
且两个函数图象均关于原点对称,所以两个函数图象有个交点,
故答案为:
11.或
【解析】
【分析】
利用诱导公式及余弦函数的性质即得.
【详解】
因为,
又当时,单调递减,
由可得,
∵当时,单调递增,
由得.
故答案为:或
12.
【解析】
【分析】
先求出的范围为,根据由时,,则由可得,从而得出答案.
【详解】
当时,
即当时,
由时,
所以
所以 ,解得
所以的取值范围是:
故答案为:
13.(1)(2) (3)
【解析】
【详解】
分析:(1)当时,由观察图象易得的值,由周期公式可求,由点 在函数图象上,结合范围可求的值,由函数的图象关于直线对称得时,函数,即可得解.
(2)由(1)可得),分类讨论,利用正弦函数的图象和性质即可得解.
(3)由(1)可得),分类讨论,利用正弦函数的图象和性质即可得解.
详解:
(1)当时,函数,观察图象易得:,即时,函数,
由函数的图象关于直线对称得,时,
函数,∴
(2)当时,由得,
;
当时,由得,或
∴方程的解集为
(3)求不等式解集为.
点睛:本题主要考查了由 的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性质,三角函数的化简求值,属于基本知识的考查.
14.(1)见解析;(2) g(x)=2cosx=2sin(x+ ),先横坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin(+),再向右平移个单位,得到 f(x)= 2sin(x+)
o
【解析】
【详解】
试题分析:(1)根据已知中函数的解析式,描出函数图象上几个关键点的坐标,进而可得函数在一个周期上的草图;
(2) g(x)=2cosx=2sin(x+ ),先横坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin(+),再向右平移个单位即可.
试题解析:
(1)
x -
x+ 0 π 2π
y 0 2 0 -2 0
(2) g(x)=2cosx=2sin(x+ ),先横坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin(+),再向右平移个单位(答案不唯一),得到 f(x)= 2sin(x+)
点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数;函数是偶函数;函数是奇函数;函数是偶函数.
15.(1),且;
(2)(,且);
(3)过定点和.
【解析】
【分析】
(1)令得抛物线与轴交点,此交点不能是原点;令,则方程>0,即可求的范围.
(2)设出所求圆的一般方程,令得到的方程与是同一个方程;令得到的方程有一个根为,由此求得参数及圆的一般方程.
(3)把圆方程里面的b合并到一起,令b的系数为零,得到方程组,求解该方程组,即得圆过的定点.
(1)
令得抛物线与轴交点是;
令,
由题意,且,解得,且.
即实数的取值范围,且.
(2)
设所求圆的一般方程为,
由题意得的图象与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点,
令得,,由题意可得,这与是同一个方程,故,.
令得,,由题意可得,此方程有一个根为,代入此方程得出,
∴圆的方程为(,且).
(3)
把圆的方程改写为,令,
解得或,故圆过定点和.
16.图象见解析
【解析】
【分析】
利用正弦函数线求解即可.
【详解】
如图所示:
在直角坐标系的轴上取一点,以为圆心,单位长为半径做圆,
从圆与轴的交点起,把圆分成12份,过圆上各分点做轴垂线,
得到对应于,,,,……,等角的正弦线,
再把轴上从到这一段分成等份,把角的正弦线向右平移,
使它的起点与轴上的点重合,再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来,
就得到函数的图象.
17.(1),;(2)[kπ,kπ](k∈Z);(3).
【解析】
【分析】
(1)由图象得出A、T的值,求出ω、φ的值,即得f(x)与x0的值;(2)利用正弦函数的单调性可求得f(x)的单调增区间;(3)根据自变量的范围,确定函数的零点,即求g(x)=0的根,进一步求出实数m的取值范围.
【详解】
(1)由题意知,A=2,,∴T=π,
∴ω;
又∵图象过点,
∴2sinφ=,∴sinφ;
又∵|φ|,∴φ;
∴f(x)=2sin(x);
又∵(x0,2)是f(x)在y轴右侧的第1个最高点,
∴2x0,解得x0;
(2)由2kπ2x2kπ(k∈Z)得:kπx≤kπ(k∈Z),
∴f(x)的单调增区间为[kπ,kπ](k∈Z);
(3)∵在x∈时,函数有两个零点
∴=0有两个实数根,即函数图象有两个交点.
∴sin(2x)在上有两个根
∵x∈
∴2x∈[,]
∴结合函数图象,函数有两个零点的范围是.
∴m∈..
【点睛】
本题重点考查知识点:三角函数的解析式的求法,函数的单调性,以及在某一定义域下利用函数的零点求参数的取值范围问题,属于中档题.
试卷第页,共页
试卷第页,共页