人教A版（2019）必修第一册（下）重难点知识清单第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册（下）重难点知识清单第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1．计算的值为
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．在区间[－，]上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1，]的概率是
A． B．
C． D．
4．已知函数，若为偶函数，则的一个值为
A． B． C． D．
5．已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．函数的（ ）
A．最大值是1，最小值是－1 B．最大值是1，最小值是
C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1
7．在△ABC中，tanA+tanB=3tanC，则tanC的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．若的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
9．求值：
A． B． C． D．
二、填空题
10．函数的最大值为________________．
11．设、均为实数，若分别是关于的方程的两个实根，则的最小值为______.
12．已知，则________.
13．已知，则________.
14．已知，且，则________.
15．有下列说法：
①函数的最小正周期是；
②终边在y轴上的角的集合是；
③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
④函数可以改写为；
⑤函数在上是减函数.
其中，正确的说法是______________________.
16．已知直线是函数图象的一条对称轴，则直线
的倾斜角为_______．
三、解答题
17．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）与时间（单位：时）的函数关系记作，下表是某日各时的浪高数据：
/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，函数可近似地看成是函数.
（1）根据以上数据，求出函数的最小正周期及函数表达式（其中，）；
（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？
18．已知函数．
（1）将函数化成（，）的形式，并写出该函数的最小正周期，及其图象的对称轴；
（2）若方程在有解，求实数的取值范围．
19．求函数，的最大值和最小值.
20．已知，若，且是第三象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．求函数的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【详解】
，
.
故选B
2．B
【详解】
故选B
3．B
【详解】
由sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[1，]，得≤sin(x＋)≤1，因为x∈[－，]，所以在区间[－，]内，满足sin(x＋)∈[，1]的x∈[0，]，故所求的概率为＝.故选B．
4．B
【详解】
试题分析：，因为为偶函数，所以，当时，.
考点：三角函数恒等变换.
5．D
【详解】
分析：先根据题意分析出函数f(x)关于直线x=a对称，再利用对称性求出a的表达式，再求的范围.
详解：设则其关于直线x=a对称的曲线为
所以函数f(x)的图像关于直线 对称，且在上为增函数．
所以 ．
因为 ，．
所以．
故答案为D.
点睛：本题解题的关键是发现函数f(x)的对称性，其图像关系直线x=a对称,要证明函数的图像关于直线x=a对称，只要证明即可.否则本题解答比较复杂.对于函数的问题，我们要善于从发现已知中的隐含信息，研究函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性等,再利用图像的性质帮助我们解题.
6．C
【分析】
利用辅助角公式把函数化简为正弦型函数，即可求出最值.
【详解】
，
，
，
最大值是2，最小值是－2.
故选：C.
【点睛】
本题考查对三角函数的化简变形，在讨论三角函数性质的时候，需要化成正弦型或余弦型方可讨论函数性质.
7．B
【分析】
由,可求得,再利用均值不等式求得最值.
【详解】
由题,,
所以,
所以,,
所以,
所以当时,的最小值为.
故选:B
【点睛】
本题考查正切的和角公式的应用,考查利用均值定理求最值.
8．B
【分析】
提取后应用二倍角公式化简函数为一个角的一具三角函数形式，然后结合正弦函数性质得最大值．
【详解】
因为，所以的最大值为，
故选B．
9．B
【分析】
利用三角函数诱导公式将、转化为，利用两角和与差的正弦、余弦公式进一步化简分式，最后利用两角差的正切公式可求得.
【详解】
原式
.
故选：B
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，属于基础题.
10．
【详解】
此题考查三角函数最值问题的求法、诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向应用、两角和的正弦公式的逆向应用、三角函数的有界性的应用;
求三角函数的值域的类型有：（1）形如
这些函数可利用换元法求值域或最值；（2）形如
可构造出一个动点和一个定点的斜率求最值或值域；（3）形如的利用两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用，把函数化成形式求值域；
，所以函数的最大值是；
此题还可以考查求此函数的周期，单调区间以及给定区间上的值域或最值问题，函数的图像平移变换问题；
11．-1
【分析】
由根与系数关系可得，，从而可得到的关系式，然后用表示，可将转化为关于的一元二次函数，求最小值即可.
【详解】
由题意，，，
则，即，
所以，
当时，取得最小值-1，此时，
，，且，显然，都满足.
所以的最小值为-1.
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，考查利用二次函数求最值，考查三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
根据同角三角函数基本关系式，联立求解出，由二倍角公式即可算出．
【详解】
因为，又，解得，
故．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用．
13．
【分析】
首先利用两角和的余弦公式求出，再利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】
，即，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了两角和差的余弦公式、二倍角公式，掌握公式是解题的关键，属于基础题.
14．
【分析】
先利用平方关系式求得，再根据平方式化简给定的三角函数式可得原式即为，从而可求三角函数式的值.
【详解】
由知是第三象限角，
故，
又原式
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查同角的三角函数的基本关系式，一般地，的三个三角函数值，知道其中一个，必定可求其余的两个，这是方程的思想的体现，注意角的终边对三角函数值符号的影响.
15．①④
【分析】
根据三角函数的性质对上述命题一一判断即可.
【详解】
解：对于①：函数的最小正周期是，故①正确；
对于②：终边在轴上的角的集合是，故②错误；
对于③：在同一直角坐标系中，画出函数的图象和函数的图象
由图可知，函数的图象和函数的图象只有一个公共点，故③错误；
对于④：函数，故④正确；
对于⑤：函数，在上是增函数，故⑤错误．
正确的命题是①④．
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，属于中档题．
16．
【详解】
试题分析：由条件，故倾斜角为.
考点：三角函数的图象与性质；直线的倾斜角.
【方法点晴】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角及三角函数的图象与性质，着重考查了学生的推理与运算能力、转化与化归思想的应用，解答时要认真审题、注意三角函数图象与性质的灵活运用，本题的解答中，根据，得出，从而得到，即可进一步求解直线的倾斜角的值.
17．（1），；（2）从上午时至晚上时之间，共个小时向冲浪爱好者开放.
【分析】
（1）根据表格中数据规律确定，由，的最大值和最小值可确定，由此可得函数表达式；
（2）利用余弦函数值域可求得的范围，进而确定所要求的时间段内的结果.
【详解】
（1）由表中数据可知：，，
，，.
（2）由（1）可得：，，
即，解得：，
从上午时至晚上时之间，当时，可对冲浪爱好者开放，
即从上午时至晚上时之间，共个小时向冲浪爱好者开放.
【点睛】
方法点睛：根据余弦型函数的值域求解定义域的问题，采用整体对应的方式，将整体对应余弦函数中的的范围，解不等式求得所求的定义域.
18．（1），，对称轴为,；（2）
【分析】
（1）根据倍角公式及两角和与差的三角函数公式化简函数为形式，根据周期计算公式及正弦函数对称轴方程可求解；
（2）方程在有解可转化为求函数的值域，可求取值范围．
【详解】
解：（1）．
最小正周期，
由，，解得对称轴为,；
方程在有解方程在有解,
的取值范围即为函数在时的值域．
，,,,函数值域为,．
故的取值范围是．
19．最大值为4，最小值为1.
【分析】
根据的范围求出的范围，再根据正弦函数的单调性，求出的范围，即可求出的最大值和最小值.
【详解】
因为，所以，所以，
所以当，即时，取得最小值为1；
当，即时，取得最大值4.
综上所述，函数，的最大值为4，最小值为1.
【点睛】
本题主要考查三角函数最值的求法，关键是掌握正弦函数的图象与性质，属于基础题.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用同角三角函数基本关系式求解；（2）利用诱导公式，结合同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】
（1）因为，因为是第三象限角，
所以，
∴．
（2）∵
．
21．1
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数最值的求法，求得函数在区间上的最小值.
【详解】
.
，
∴当，即时，函数取得最小值，.
【点睛】
本小题主要考查三角函数最值的求法，考查辅助角公式，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页