人教A版（2019）必修第一册必杀技第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册必杀技第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
一、单选题
1．设的外接圆半径为，分别是内角的对边，若依次成等差数列，则的最大值是（ ）.
A．6 B．8 C．9 D．11
2．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中最小正周期是的函数是
A． B． C． D．
4．已知定义在R上的函数满足，且，若关于x的方程恰有5个不同的实数根，，，，，则的取值范围是
A．（-2，-1） B．（-1，1）
C．（1，2） D．（2，3）
5．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是
A． B． C． D．
6．已知函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．设当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
9．使函数为奇函数的的一个值是
A． B． C． D．
10．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是
A． B． C． D．
11．如果函数的图象关于直线对称，那么的最小值为
A． B． C． D．
12．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
13．将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（　　）
A． B． C． D．
14．函数的导函数为，集合，中有且仅有１个元素，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数，设它的最小正周期为，值域为，则（ ）
A．，，且为奇函数
B．，为偶函数
C．，且为奇函数
D．，，且为偶函数
16．的值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A． B．
C． D．
18．定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．函数的一段图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
20．函数（其中）的值域是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．无法确定
二、多选题
22．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．的最大值为
C．的最大值为
D．存在唯一的使得
23．下列函数中，以为周期的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数，下面结论正确的是
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数
三、双空题
25．函数的最大值是________，此时值的集合是___________.
四、填空题
26．函数的定义域是_______________.
27．已知函数是偶函数，若，则_________
28．已知，函数在区向上单调递增，则实数的取值范围是___________.
29．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递减；③在有个零点；④的最小正周期为；⑤的最大值为，其中所有正确结论的序号是__________.
30．函数的最小正周期为________.
31．已知函数的最小正周期为，若函数的一个对称中心是，则___________.
32．已知为偶函数,则
33．，且，则________________.
34．已知函数，则的最小值是_____________．
35．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________．
36．已知 是单位圆上互不相同的三个点，且满足，则的取值范围是___________.
37．设函数，则使得成立的的取值范围是 ______.
38．________ (填“”或“”)．
五、解答题
39．已知函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若函数的图象在直线上方，求的取值范围；
（3）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
40．已知二次函数的最小值为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值．
41．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当时，－5≤≤1.
（1）求常数a，b的值；
（2）求f(x)的单调递增区间及对称轴方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
由，，依次成等差数列求得，再根据的外接圆半径和正弦定理分别表示出和，利用辅助角公式表示出，求出最大值即可.
【详解】
由，，依次成等差数列得，
所以,即，
由正弦定理得，，，
又，所以
，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，
即的最大值是
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用、两角差的正弦公式、辅助角公式和三角函数的最值问题，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.
2．B
【详解】
分析： 分别计算出函数在内的减区间，求交集可得函数在区间内的公共减区间为，则的最大值为.
详解：对于函数，令，解得,
当时，令，则；
对于函数，令，解得，
当时，令，则.
易得当函数与均在区间单调递减时，
的最大值为，的最小值为，
所以的最大值为，
故选B.
点睛：（1）本题解题的核心关键在于求解函数的公共减区间，分析当取最大值，取最小值时，取得最大值；（2）求三角函数单调区间的两种方法：①代换法，就是将比较复杂的三角函数汗自变量的代数式整体当作一个角（或），利用复合函数的单调性列不等式求解，②图像法，画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
3．C
【详解】
试题分析：根据题中所给的函数，结合着函数的性质，可知A，B两项的函数的最小正周期都是，对于C项，令，则有，故C项的周期为，对于D项，令，则有，故D项的函数的最小正周期为，所以本题的答案为C．
考点：函数的周期性．
4．B
【详解】
作出函数的图象，
由图象可知，若方程恰有5个不同的实数根，则．
设，则，
由图象可知．
所以.选B．
点睛：函数图象在函数与方程中的应用
（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
5．D
【详解】
试题分析：选项是奇函数，选项是非奇非偶函数，选项是偶函数且在上单调递增，选项既是偶函数又在区间上单调递减．
考点：（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性．
6．A
【分析】
由对称性求得，由平移求得的表达式，再求出的范围，结合正弦函数性质得值域．
【详解】
∵函数的图像关于直线对称，
，又，可得，
故，，
∵，∴，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】
利用奇偶函数的定义可得为奇函数，求出的取值范围即可.
【详解】
因为
所以为奇函数，所以排除B，D，
又，所以排除C.
故选：A
8．C
【分析】
先化简已知得，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时的值，得到结果.
【详解】
由题得
其中
当，即，
即时，函数取到最大值.
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题目.
9．D
【分析】
用辅助角公式化简函数的解析式，结合选项根据奇函数的定义选出正确答案.
【详解】
.
当时，是奇函数.
【点睛】
本题考查了辅助角公式，考查了奇函数的定义.也可以这样求解：
，要想为奇函数，只需
，故选D.
10．B
【分析】
根据偶函数及单调性的定义,结合函数图像即可判断.
【详解】
对于A选项, 为奇函数,所以错误;
对于B选项, 是偶函数,且在上单调递增,所以B正确;
对于C选项, 是偶函数,但在上单调递减,所以C错误;
对于D选项,不具备奇偶性,所以D错误.
故选:B
【点睛】
本题考查了函数奇偶性及单调性的简单应用,结合函数图像即可判断,属于基础题.
11．A
【分析】
由条件利用正弦函数的图象的对称性，可得f（0）=f（），由此求得|φ|的最小值．
【详解】
函数f（x）=sin（2x+ ）的图象关于直线对称，
则f（0）=f（），即sin =sin（+ ），
即 sin =sin（+ ）=cos +（﹣）sin ，∴tan =，∴| |的最小值为.
故答案为A
【点睛】
本题主要考查三角函数图像的对称性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
12．D
【分析】
利用函数的周期公式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的周期的求法，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
13．D
【分析】
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论．
【详解】
解： 将函数的图象向左平移个单位， 可得的图象，
根据所得到的函数图象关于轴对称， 可得，即，．
函数的最小正周期为，
则函数的最小正周期不可能是，
故选．
【点睛】
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，属于基础题．
14．C
【分析】
计算得，又由题知，在上仅有一个零点，所以可得，则有，求解不等式组即可得的取值范围.
【详解】
计算得，又由题知，在上仅有一个零点，
又，所以，
由得，
所以，解得：，
所以当时得；
当时得；
当时得；
故得：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数的运算，三角函数的图象性质，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
15．B
【分析】
利用倍角公式把已知函数解析式变形，再由周期公式求周期，由的范围求得函数值域，再由奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
【详解】
解：
，
的最小正周期．
，，
则函数的值域为，，．
又的定义域为，且，
则为偶函数．
故选：B．
16．A
【分析】
利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
【详解】
.
故选：A.
17．C
【分析】
根据已知关系式和单调性可知为偶函数且在上单调递增，关于对称且在上单调递增；分段讨论可得解析式；分别在恒成立、恒成立和二者均存在的情况下，根据函数图象可确定函数值的大小关系，从而得到结果.
【详解】
为偶函数
又在上单调递减 在上单调递增
关于对称
又在上单调递减 在上单调递增
当时，
当时，
①若恒成立，则，可知关于对称
又与关于对称；与关于对称
，
②若恒成立，则，可知关于轴对称
当时，；当时，
可排除
当，即时，
当，即时，
若，则，可排除
③若与均存在，则可得示意图如下：
与关于对称且
综上所述：
故选
【点睛】
本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数奇偶性和单调性的关系、函数对称性的应用、分段函数图象的应用等知识；关键是能够通过分类讨论得到不同情况下函数的解析式，进而确定函数的大致图象，根据单调性和对称性得到函数值的大小关系.
18．C
【分析】
由已知确定函数的周期，再确定函数在上的单调性，然后由周期变形，利用单调性比较大小．
【详解】
∵是奇函数，且，∴的周期为4，
∴，，.
∵时，单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
19．B
【分析】
根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解.
【详解】
由题意，函数的一段图象，
可得，所以，
又由，解得.
故选：B.
20．C
【分析】
利用二倍角公式、辅助角公式化简表达式，再根据三角函数值域的求法，求得的值域.
【详解】
依题意，由于，所以，所以，.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于基础题.
21．A
【详解】
试题分析：因为函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以函数的周期为6，所以并且函数的时取得最大值，所以函数的单调增区间为 ．故选A．
考点：由的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性
22．AD
【分析】
根据两向量平行的充要条件即可判断选项A；
又，，从而可判断选项B、C；
若，则，解出的值即可判断选项D．
【详解】
解：显然，当时，有，即，所以，选项A正确．
，
因为，，所以，故，
所以当时，取最大值为，选项B错误，
，
因为，，所以，故，
所以当时，取最大值为，选项C错误，
若，则，即，
所以，又，所以，选项D正确．
故选：AD．
23．BD
【分析】
根据三角函数的周期性及奇偶性，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A 选项，因为的最小正周期为，所以不是以为周期；
B选项，因为的最小正周期为，是以为周期；
又显然是偶函数，满足题意；
C选项，因为，，所以不是以为周期；
D选项，，所以是以为周期；又，所以是偶函数，满足题意.
故选：BD.
24．ABC
【分析】
先化简函数，对于选项A,求出函数的最小正周期判断得解；对于选项B,利用复合函数的单调性分析判断；对于选项C,利用三角函数的奇偶性分析判断；对于选项D,利用函数的奇偶性判断得解.
【详解】
由题意，可得，
对于选项A,,所以选项A正确；
对于选项B,在上是减函数，所以函数在区间上是增函数
,所以选项B正确；
对于选项C,,所以函数是偶函数，所以其图像关于直线对称，所以选项C正确；
对于选项D,由于函数是偶函数 ,所以选项D错误；
故选ABC
【点睛】
本题主要考查诱导公式化简，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．3
【分析】
显然当时函数的最大值为3，此时，化简即可.
【详解】
由，
可得函数的最大值是3，
此时，
所以，
所以值的集合是.
故答案为：3，.
26．
【分析】
根据函数的限制条件，得出不等式组，即可求解.
【详解】
函数有意义，须，解得，
函数的定义域为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查函数的定义域，属于基础题.
27．
【分析】
由题意利用三角函数的奇偶性，求得的值.
【详解】
因为函数是偶函数，，
又，
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题考查三角函数的奇偶性，若是奇函数，则，；若是偶函数，则，；
28．
【分析】
根据余弦函数的单调递增区间求得的取值范围，这个取值范围包含区间，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由，且，
解得，
所以，
解得：，，又，
由，得，
由于，故，所以.
故答案为：.
29．①②③
【分析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数，①正确；
分别在和两种情况下求得解析式，结合偶函数的对称性可得图象，结合图象可判断出②③④⑤的正误.
【详解】
的定义域为，
且，
为偶函数，①正确；
当时，；
当时，；
又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如下图所示：
由图象可知：在上单调递减，②正确；
在上有，和三个零点，③正确；
，，不是的周期，且由图象可知不具备周期性，④错误；
由图象可知：，⑤错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
关键点点睛：本题考查含绝对值的正弦函数相关问题的求解，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到的表达式，并根据函数奇偶性确定的图象，采用数形结合的方式判断出各个选项的正误.
30．
【分析】
根据最小正周期的公式即可求解.
【详解】
解：，
，
故的最小正周期为：.
故答案为：.
31．
【分析】
根据正弦函数的周期公式可求得，再由正弦函数的对称中心可求得.
【详解】
解：因为函数的最小正周期为，所以.所以.
又因为函数的一个对称中心是，所以，.又，故.
故答案为：.
32．
【分析】
当时，，满足第一段解析式，代入后再结合是偶函数求得答案．
【详解】
为偶函数，当时，，
则当时， ，，
即当时.
【点睛】
本题考查由奇偶性求函数解析式，属于一般题．
33．
【分析】
直接由特殊角的三角函数值得到答案.
【详解】
因为，且
所以.
故答案为：
34．
【分析】
首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调减区间为，增区间为，由此可得函数的最小值点，从而求得，，代入后求得函数的最小值．
【详解】
∵,
∴，
∴当 时函数单调减，当时函数单调增，
∴函数的减区间为，增区间为，
∴当时，函数取得最小值，此时，，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查用导数解决三角函数中的最值问题，体现了导数的工具性，解题的关键是根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后再求出函数的最值，但解题时要注意三角函数的周期性．
35．
【分析】
化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可．
【详解】
由知，
当时，在和上单调递增，
在和上均单调递增，
，
，
的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题．
36．
【分析】
利用单位圆的半径为1，结合三角函数将向量的模以及它们的夹角表示出来，最终将所求范围转化为三角函数的值域问题．
【详解】
解：如图：设圆心为，由圆的性质以及，可设，，
连接，，，则，且，即，，
所以，因为，
由二次函数的性质可知：当时，，当时，取得最小值，
故的取值范围是．
故答案为：．
37．
【分析】
可判断函数为偶函数且在上为增函数，故原不等式等价于，解该不等式可得所求的的取值范围.
【详解】
函数的定义域为.
因为，故函数为上的偶函数.
当时，有，故在上为增函数，
又的图象在处不间断，故在上为增函数.
所以即也就是或.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数不等式，注意根据函数的奇偶性和单调性去掉对应法则，而单调性的讨论要利用导数的符号来判断，本题属于中档题.
38．
【分析】
根据诱导公式及函数单调性比大小.
【详解】
，
.
因为在上单调递增，
又，
所以，
所以，
故答案为：.
39．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得；（2）函数的图象在直线上方，等价于对任意的成立，即，利用复合函数的单调性求出的最小值即可得结果；（3），令，则，，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.
【详解】
（1）∵，所以，
即，∴，对任意恒成立，所以，.
所以， .
（2）函数的图象在直线上方，
等价于对任意的成立，即.
.
令，在上单调减，
而，所以，由此 .
（3），令，
则，.
①当,即时，在递增，从而，舍去；
②当即时，在上递减，在递增，
从而，则；
③即,时，在递减，从而，则舍去.
综上： .
【点睛】
本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
40．（1）；（2）.
【分析】
（1）设，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，由此可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
（1）设，由于该函数有最小值，则，
由已知条件可得，解得，故；
（2）.
①当时，函数在区间上单调递减，则；
②当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，.
当时，因为，故当时，.
当时，因为，故当时，.
综上所述，.
41．（1）；（2）单调增区间(k∈Z)；对称轴方程.
【分析】
（1）首先求sin在的值域，结合a>0且－5≤≤1即可求a，b的值；
（2）利用三角函数的单调区间，结合复合函数单调性知＋2kπ ≤ 2x＋≤＋2kπ为单调增，同时由正弦函数的对称轴方程知，即可求单调递增区间及对称轴方程；
【详解】
（1）由x∈，知：≤ 2x＋≤π，
∴－≤sin≤1，又a > 0，时有－5≤≤1，
∴，即
（2）＝－4sin－1，
由＋2kπ ≤ 2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ ≤ x ≤＋kπ，k∈Z，
∴的单调递增区间为(k∈Z)，
令，得：，
∴对称轴方程为：；
【点睛】
本题考查了三角函数，利用三角函数的性质求参数、单调区间、对称轴方程，注意复合函数的单调性判断，属于中档题；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页