人教A版（2019）必修第一册过关斩将第二章2.1等式性质与不等式性质（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册过关斩将第二章2.1等式性质与不等式性质
一、单选题
1．已知，则使成立的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
2．已知，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则对任意实数是的（ ）
A．充分且必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
4．设,则下列不等式中不成立的是
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品的有关数据如下表:
因素 产品A 产品B 备注
研制成本、搭载费用 之和/万元 20 30 计划最大投资 金额300万元
产品质量/千克 10 5 最大搭载质量110千克
预计收益/万元 80 60 ——
则使总预计收益达到最大时,A,B两种产品的搭载件数分别为
A．9,4 B．8,5
C．9,5 D．8,4
7．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．的充要条件是 B．若，则
C．是的充分不必要条件 D．若，则
9．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
10．若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．若,全集,，则（　　　　）
A． B． C． D．
12．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．设且，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，则下列各式一定成立的是
A． B． C． D．
16．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
二、多选题
17．已知，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，为正实数，则
C．若，则
D．若，则
18．已知a>0，b>0，且a+b=１，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导正确的是（ ）
A．若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d； B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
C．若，则ab＜0； D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则
三、双空题
20．某公司有20名技术人员，计划开发，两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件）
类
类 6
今制订计划欲使总产值最高，则类电子器件应开发_______件，最高产值为______万元.
四、填空题
21．若，则的取值范围_____________．
22．下列命题：①；②，；③；④，其中正确的命题个数是__.
23．若，则、、的大小顺序是________．
24．若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．
25．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
26．武广铁路上，高速列车跑出了350km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还不超过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为______．
五、解答题
27．设非负实数，，，证明：.
28．某人准备投资1200万元办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）.
市场调查表：
班级学生数 配备教师数 硬件建设费（万元） 教师年薪（万元）
初中 50 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据物价部门的有关规定：初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费外，初中每人每年可收取600元.高中每人每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个班与30个），教师实行聘任制.初、高中教育周期均为三年，设初中编制为个班，高中编制为个班，请你合理地安排招生计划，使年利润最大.
29．（1）设，试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
30．已知，，，比较与的大小.
31．已知，求下列问题：
（Ⅰ）若，求的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若，求的取值范围．
32．求下列关于的不等式的解集
(1)；
(2).
33．观察以下运算:
⑴若两组数与,且,,运算是否成立,试证明.
⑵若两组数与,且,,对,,进行大小排序(不需要说明理由)；
⑶根据⑵中结论,若,试判定,,大小并证明.
34．（1）已知a b c d均为实数.求证：；
（2）若正数x，y满足，求的最小值.
35．用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;
(2)a与b的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
从充分性和必要性的角度，根据题意，对选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
对于A，根据函数的单调性可知，，是充要条件；
对于B，时，可以得到，对应的结果为当时，；
当时，，所以其为既不充分也不必要条件；
对于C，由，可以得到，
对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；
故排除A，B，C，
经分析，当时，得到，充分性成立，
当时，不一定成立，如2>1，但2=1+1，必要性不成立，
故选：D.
【点睛】
该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.
2．B
【分析】
两式作差后与0比较可得．
【详解】
，
∵，∴，，，
∴，∴．
故选：B．
3．A
【分析】
根据的解析式判断出在上是奇函数，增函数，然后可判断出答案.
【详解】
由可得在上是增函数
因为
所以是奇函数
所以由可得，，
反之，由可得，，
所以对任意实数是的充分且必要条件
故选：A
4．D
【分析】
根据不等式的性质运算辨析，结合作差法证明以及特值法排除.
【详解】
由知,因此,即,从而A中不等式成立；
由得,,因此B中不等式成立；
由知,,又,所以,故C中不等式成立；,D中，不等式不成立.
故选：D.
【点睛】
此题考查不等式的性质的应用，根据不等式的性质比较大小，常用作差法和构造函数利用单调性解决，推翻一个命题可以举出反例即可.
5．D
【分析】
对于选项,差的符号不确定，所以该选项不正确；
对于选项,，所以该选项不正确；
对于选项,，所以该选项正确.
【详解】
对于选项，符号不确定，所以该选项不正确；
对于选项，符号不确定，所以该选项不正确；
对于选项,，所以，所以该选项不正确；
对于选项,，所以，所以，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】
方法点睛：比较实数大小常用的方法有：（1）作差比较法（作差化简差与零比下结论）；（2）作商比较法（作商化简差与1比下结论）.
6．A
【详解】
设“神舟十一号”飞船搭载新产品A,B的件数分别为x,y,最大收益为z万元,则目标函数为z=80x+60y.
根据题意可知,约束条件为，即.
不等式组所表示的可行域为如下图中阴影部分(包含边界)内的整数点,作出目标函数对应的直线l,显然直线l过点M时,z取得最大值.
由，解得，故M(9,4).
所以目标函数的最大值为zmax=80×9+60×4=960,此时搭载产品A有9件,产品B有4件.故选A．
7．D
【分析】
根据不等式的性质及特殊值判断即可；
【详解】
解：因为，所以，故A错误；
当时，，故B错误；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：因为，所以，又，所以，故D正确；
故选：D
8．C
【分析】
利用举反例，作差法及简易逻辑的判定方法判断出正误．
【详解】
．当时，有成立，而此时不满足，
反之，，当时，，不满足，故错误；
．若，则 ，所以 ，，
所以”，故错误；
．时，成立，反之当时，，但不满足，因此是的充分不必要条件，正确；
．若，则，所以，因此不正确．
故选：．
9．C
【分析】
为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.
【详解】
导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．
由题意可得．
故选：C.
10．D
【分析】
利用不等式的性质，即可判断AC选项；根据对数函数的单调性，可判断B选项；根据幂函数的单调性，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，，，则，即，故A错误；
对于B，由，则为增函数，由，所以，故B错误；
对于C，，则，又，所以，故C错误；
对于D，由，则在为增函数，由，则，故D正确.
故选：D.
11．A
【分析】
题目给出了,且题中含有,等式子,可利用均值不等式求解.根据均值不等可得,结合交集与补集的定义即可得出答案.
【详解】
则:
故选:A.
【点睛】
本题考查了集合之间的基本运算以及基本不等式的知识,解答本题的关键在于明确基本不等式的内容.
12．B
【分析】
根据指数、对数与幂函数与分式函数的单调性逐个判断即可.
【详解】
依题意,,,,,
故选:B
【点睛】
指数函数为增函数,对数函数为增函数,幂函数在定义域内为增函数.
13．B
【分析】
举特值可知ACD不正确；根据不等式的性质可知B正确.
【详解】
对于A，当时，不成立，故A不正确；
对于B，因为，，所以，所以，故B正确；
对于C，当时，不成立，故C不正确；
对于D，当时，不成立，故D不正确.
故选：B
14．C
【分析】
由不等式的性质和指数函数、幂函数的单调性即可判断.
【详解】
对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：C.
15．C
【分析】
由于，所以已知条件即是.结合指数函数和幂函数的性质，利用特殊值，对四个选项逐一进行判断.
【详解】
由于，所以已知条件等价于.对于选项，故A选项错误.已知条件中可能是负数，故B选项错误.根据为减函数可知，C选项正确.当时，，故D选项错误.综上所述，选C.
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和幂函数的单调性.由于题目是选择题，故可用特殊值进行排除.属于基础题.
16．B
【分析】
本题可通过判断出A错误，然后通过、判断出C错误，最后通过判断出D错误，即可得出结果.
【详解】
A项：若，，则，A错误；
B项：若，，则，B正确；
C项：若，，，则，C错误；
D项：若，，，则不存在，D错误，
故选：B.
17．ACD
【分析】
对A,B,C利用作差法逐一判断即可，对D利用基本不等式判断即可.
【详解】
对于A，因为，为正实数，且，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，，均为正实数，且，所以，所以，故B错误；
对于C，因为，为正实数，，所，所以，C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：比较大小的方法：
(1)作差法,其步骤：作差 变形 判断差与0的大小 得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商 变形 判断商与1的大小 得出结论．
(3)构造函数法：构造函数,利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论．
18．ACD
【分析】
直接利用二次函数最值判断，利用对数的运算和基本不等式判断，利用基本不等式判断，利用“1”的巧用判断．
【详解】
对于，故正确；
对于B：因为实数，，，所以
所以，故错误；
对于：由B得到，所以
所以，根据“或”命题的性质可知正确；
对于：，
当且仅当，即时等号成立，故正确；
故选：．
19．AD
【分析】
利用不等式的基本性质判断.
【详解】
A. 因为a＞b，c＜d，所以-c＞-d，则a-c＞b-d,故正确；
B. 当a=2，b=1，c=-1，d=-2时，ac=bd，故错误；
C. 因为，所以，则ab＞0，故错误；
D. 因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以，所以，则，故正确.
故选：AD
20．20 330
【分析】
先阅读题意，再设应开发类电子器件件，则开发类电子器件件，再结合题意列不等式求解即可.
【详解】
解：设应开发类电子器件件，则开发类电子器件件.根据题意，得，解得.
由题意，得总产值，当且仅当时，取最大值330.
所以欲使总产值最高，类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
【点睛】
本题考查了不等式的实际应用，重点考查了阅读能力及处理实际问题的能力，属基础题.
21．5＜＜10.
【分析】
用已知形式表示未知，设，解出的值，再分别求出范围，利用同向不等式可加性求解.
【详解】
由题设，，
则，解得，所以，
，
所以.
故答案为：5＜＜10.
【点睛】
此题考查不等式的相关性质，通过已知代数式的范围求未知代数式的范围，一定用已知代数式表示出未知代数式，切不可通过加减关系分别求出两个字母的范围再求解.
22．2
【分析】
根据不等式的性质依次判断可得结论.
【详解】
解：①，∴；不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变.∴①对.
②，，当时，不等式不成立，②不对.
③；当时，不等式不成立，∴③不对.
④，∴④对.
正确的是①④.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，属基础题.
23．
【解析】
试题分析：，，由，则，故，故填.
考点：不等关系与不等式.
【思路点晴】本题考查不等关系与不等式，意在考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力，属中档题.本题中将分子有理化是关键，利用分子有理化即可得出，，利用分式的性质通过比较分母的大小即可得出结论.
24．①④⑥
【分析】
利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.
【详解】
因为，则，所以，即，故①正确；
由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误；
因为，所以，则，所以，即，则③错误；
由，不等式边同时乘，得，故④正确；
由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误；
由可得，，故⑥正确；
因此，正确结论的序号是①④⑥.
故答案为：①④⑥.
25．A【详解】
试题分析：由题意得，，，所以．
考点：作差法比较大小．
26．
【解析】
【分析】
根据题意列出式子即可.
【详解】
根据题意得到三者的速度关系得到：
故答案为：.
【点睛】
这个题目考查了实际应用问题，主要是读懂题意，列出相应的不等关系即可.
27．证明见解析
【详解】
证 设，
问题等价于证明：，
当时，不等式显然成立；
故即证：，其中.
而.
设，探究与在的大小，
即比较与在的大小，
.
注意
，
所以命题得证.
28．开办18个初中班和12个高中班，年利润最大.
【分析】
设初中个班，高中个班，年利润为，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解.
【详解】
设开办初中班个，高中班个，
根据题意，
设年利润为，那么，
即（万元），如图：
把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，
随变化的一簇平行直线，由图象可以看到，当直线经过可行域上的点时，最大，
解方程组得，，
即点的坐标为，
所以（万元），
由此可知，开办18个初中班和12个高中班，年利润最大.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于常考题.
29．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）通过作差化简原式等价于，通过分为和两种情形得结果；
（2）将用，线性表示，结合不等式的性质即可得结果.
【详解】
（1）
．
∵，∴当时，，
，
得；
当时，，，
得．
（2）设，
则
解得，．
则．
∵，，
∴，．
∴．
即．
30．
【分析】
作差再进行因式分解，利用，结合的取值范围，即可大小比较．
【详解】
由题意，，
∵，
∴，，，
即.
【点睛】
本题主要考查大小比较，考查作差法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
31．（Ⅰ）8；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）由，可得，结合基本不等式，即可求得的最大值；
（Ⅱ）根据函数的解析式及，求得且，进而得到，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由，可得，
所以，
当且仅当时，即时取最大值.
（Ⅱ）由函数，且，
可得且，
令，
可得，解得，
即，
即的取值范围为.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
32．(1)见解析；(2)见解析.
【分析】
（1）分别对与0的大小关系进行分类讨论求解；
（2）分别对与0的大小关系进行分类讨论求解.
【详解】
解:(1)当时,解得；
当时,解得；
当时,,不等式无解；
当时,为任意实数.
综上,当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为.
(2)当时,解得;当时,解得；
当时,为任意实数；
当时,,不等式无解.
综上：当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为.
【点睛】
此题考查解含参数的不等式，关键在于分类讨论，对参数进行合理的分类讨论求解.
33．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.
【分析】
（1）利用差比较法，计算证得，由此证明不等式成立.（2）根据题目所给需要观察的第二个不等式，得到.（3）利用分析法，将所要证明的不等式，三项同时取以为底的对数，化简为证明，根据（2）的结论可证明上式成立.由此证得原不等式成立.
【详解】
⑴成立,证明如下:
∵
又,,∴,即.
⑵.
⑶当时, ,
证明如下:
∵∴要证 ,只需证 ,即证明,
不妨令,则有,
又,时,,
即有,
∴当时,有 .
【点睛】
本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查利用分析法来证明不等式成立，属于中档题，需要有较强的运算能力.
34．（1）证明见解析；（2）最小值为.
【分析】
（1）利用作差法可证得所证不等式成立；
（2）设，得出，可得出，利用基本不等式可证得结论成立.
【详解】
证及解：（1），
∴
（2）设，则，且，
由得，，即，从而
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
35．(1);(2);(3)
【分析】
由题意转化为不等关系即可
【详解】
（1）；
（2）；
（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则
【点睛】
本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页