人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第四章4.3对数（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第四章4.3对数
一、单选题
1．已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
4．lg8＋3lg5的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．物理学规定音量大小的单位是分贝()，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息 交流情感，人正常谈话的音量介于40与60之间，飞机起飞时的音量约为120，则120声音的声波强度I1是40声音的声波强度I2的（ ）
A．3倍 B．103倍 C．106倍 D．倍
7．设实数，则（ ）.
A． B． C． D．
8．已知，则满足下列关系式（ ）
A． B． C． D．
9．已知点在函数的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
10．2021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ）
（参考数据：，）
A．125年 B．175年 C．255年 D．1050年
二、双空题
11．求值：_________，__________.
三、填空题
12．计算：__________.
13．计算______.
14．设，且，则___________.
15．已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为_________．
16．已知函数，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点、，使成立，则的最小值为______.
17．已知函数，则___________.
18．若数列满足，且，则 ___.
四、解答题
19．计算下列各式:(1)；
(2).
20．已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求的解析式；
（2），求实数x的值；
21．求的值.
22．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）53=125；
（2）4-2=；
（3）log3=-3.
23．代数式有意义时，求x的取值范围．
24．计算：
（1）；
（2）．
25．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
26．计算：
（1）；
（2）.
27．计算下列各式的值
（1）
（2）．
28．（1）计算：；
（2）计算：.
29．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
30．⑴若，试求的值；
⑵计算：．
31．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
（1）从中任取1球；
（2）从中任取2球.
32．已知（且）.
（1）判断的奇偶性；
（2）讨论的单调性.
33．计算的值.
34．计算下列各题
（1）；
（2）
35．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
36．计算：
（1） ；
（2） ；
（3）已知， 求的值.
37．已知函数．
（1）求；
（2）求函数的单调递减区间．
38．计算下列各式的值：
（）．
（）．
39．设，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
40．已知函数，且，求的值.
41．（1）已知，求的值；
（2）计算：.
42．计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求的值．
43．（1）求值：若，求的值；
（2）化简：.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【详解】
试题分析：∵函数，作出的简图，如图所示，由图象可得当在上任意取一个值时，都有四个不同的与的值对应．再结合题中函数有个不同的零点，可得关于的方程有两个不同的实数根，且．∴应有，解得.故选 C．
考点：根的存在性及根的个数判断．
【思路点睛】方程有个不同实数解，即要求对应于等于某个常数，有个不同的，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到个与之对应，就出现了个不同实数解故先根据题意作出的简图，由图可知，只有满足条件的在区间时符合题意，再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布，采用数形结合的方法解决，属于压轴题．
2．C
【分析】
首先利用换底公式化，，再通分化简，利用对数的性质判断正负，其他同理判断大小.
【详解】
，，，
则，
，，即，
且，，即，
同理，即.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查做差法比较对数大小，关键是利用换底公式，换成同底对数后再做差化简.
3．B
【分析】
①②中利用底数的对数等于1，真数为1的对数为0；③中利用对数式与指数式的等价关系；④中由对数的真数大于0，得不可能为负数.
【详解】
对①，因为，，所以，故①正确；
对②，因为，，所以，故②正确；
对③，因为，故③错误；
对④，因为，故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查对数式的概念、对数式与指数式的互化及对数式的基本性质，考查基本运算求解能力.
4．D
【分析】
利用对数的运算性质将化为 即可得答案．
【详解】
，
故选D．
【点睛】
本题考查对数的运算性质，将 化为是关键，属于基础题．
5．D
【分析】
运用代入法，结合对数运算的性质和指数的运算性质进行求解即可.
【详解】
，
故选：D
6．D
【分析】
结合对数运算求得正确答案.
【详解】
依题意，
故，
，
，
，
所以.
故选：D
7．C
【分析】
和中间值和1比较，得到大小关系.
【详解】
， ，
，且 ， ，
故选C.
【点睛】
本题考查指数和对数化简，以及比较大小，一般指对幂函数比较大小，可以根据单调性比较，也可以根据中间值比较大小.
8．B
【分析】
把指数式化成对数式,利用对数的运算性质可以求出满足的关系式.
【详解】
,
所以有.
故选：B
【点睛】
本题考查了对数式与指数式的互化,考查了对数运算的性质,考查了数学运算能力和数感能力.
9．A
【分析】
先由已知条件确定m、n的关系，再依次验证4个选项即可
【详解】
∵点在函数y＝lgx的图象上
∴n＝lgm
对于A：，∴A正确
对于B：lg（10m）＝lg10+lgm＝1+lgm＝1+n≠10n，∴B不正确
对于C：，∴C不正确
对于D： ，∴D不正确
故选：A．
【点睛】
本题考查对数运算，要求熟练应用对数运算法则．属简单题
10．B
【分析】
根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则求得答案.
【详解】
设所经过的时间为t年，根据题意
所以.
故选：B.
11．. .
【分析】
由指数式和对数式运算法则直接计算即可得出答案.
【详解】
,
.
故答案为:;19.
【点睛】
本题考查了指数式和对数式的基本运算,掌握指数式和对数式的运算法则是解题的关键,属于基础题.
12．
【分析】
利用指数、对数的运算性质以及特殊角的的三角函数值即可求解.
【详解】
，，
所以
故答案为：.
13．19
【分析】
由即可得解.
【详解】
故答案为：19
【点睛】
本题考查指数、对数式的基本运算，属于基础题.
14．
【分析】
首先指数式化为对数式，再根据对数运算公式计算.
【详解】
因为，所以，，
所以.
所以，所以.
故答案为：
15．18
【详解】
试题分析：先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．
解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．
又3a+9b=3a+32b≥2=2，
因为a+2b≥2=2≥2=4，
所以3a+9b≥2=18．
即3a+9b的最小值为18．
故答案为18．
点评：本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．
16．
【解析】
【详解】
在长度为2的闭区间上，有
，
.
故.
当时，.
下面证明：在任何长度为2的闭区间上总存在两点、，使.
当时，在上是增函数.
令，. 则
.
当时，在上是减函数.
令，. 则
.
综上，的最小值为.
17．0
【分析】
根据题意，先求出的值，再结合解析式计算可得答案．
【详解】
因为，所以.
故答案为：0
18．12
【详解】
试题分析：，所以数列是等比数列，公比为10，所以
考点：等比数列及对数运算公式
19．（1）；（2）
【分析】
(1直接计算得到答案.
(2直接计算得到答案.
【详解】
(1)
(2)
【点睛】
本题考查了指数，对数的计算，意在考查学生的计算能力.
20．（1）；（2）2或16.
【分析】
（1）由已知得，，从而求解析式即可；
（2），即或3，即可求实数x的值；
【详解】
（1）由已知得，，，（且）
解得，；
故；
（2），即或3，
∴或3，
∴或16.
21．
【分析】
根据，，再根据对数的运算即可得出答案.
【详解】
解：因为，
，
所以.
22．（1）log5125=3；（2）；（3）
【分析】
根据进行转化即可
【详解】
（1）∵53=125，∴log5125=3.
（2）∵，∴.
（3）∵，∴
23．
【分析】
首先根据对数的概念得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题意可得解得．
故答案为：
24．
（1）；
（2）．
【分析】
(1)根据指数幂的运算法则计算；
(2)根据对数的运算法则计算﹒
（1）
原式
；
（2）
原式．
25．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算法则即可直接求出答案；
（2）根据诱导公式对所求式子进行化简，然后结合齐次式即可直接求出答案.
【详解】
（1）原式；
（2）因为，
所以.
26．（1）；（2）
【分析】
（1）利用对数的运算性质即可得出.
（2）利用指数的运算性质即可得出.
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式.
【点睛】
本题考查了对数与指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.
27．
（1）
（2）6
【分析】
（1）根据对数的运算法则及指数、对数恒等式计算可得；
（2）将根式化成分数指数幂，再根据指数幂的运算法则计算可得；
（1）
解：
．
（2）
解：
．
28．（1）41；（2）112.
【分析】
（1）由分数指数幂的运算性质，运算即可得解；
（2）先将根式化为分数指数幂，再结合指数幂的运算性质即可得解.
【详解】
解：（1）==；
（2）=.
【点睛】
本题考查了分数指数幂的运算及根式与分数指数幂的互化，重点考查了运算能力，属基础题.
29．
【分析】
由即可解出．
【详解】
令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍．
30．⑴⑵
【分析】
(1) 由已知得，代入即可求解.(2) 利用有理数指数幂性质、运算法则求解.
【详解】
(1)，，
.
(2) .
【点睛】
本题主要考查的是分数指数幂的运算法则及对数换底公式的应用，是基础题.
31．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据基本事件的写法即可写出结果.
（2）根据基本事件的写法，一一列举即可得出结果.
【详解】
（1）条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.
（2）条件为：从袋中任取2球，若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，
结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)共6种.
32．（1）奇函数；（2）增函数.
【分析】
（1）令（），利用换元法求出的解析式，然后利用函数奇偶性的定义再判断的奇偶性即可；
（2）的解析式中有和，分和两种情况分类讨论，判断函数的单调性即可.
【详解】
（1）令（），则，
所以有：，
所以（），
函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数；
（2）当时，，，为增函数，为减函数，
从而为增函数，所以为增函数；
当时，，，为减函数，为增函数，
从而为减函数，所以为增函数；
综上，为增函数.
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，函数奇偶性的判定，函数单调性的判定，还考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
33．.
【分析】
根据指数运算律和分数指数幂的意义即可得到答案.
【详解】
由题意，.
34．（1）；（2）5．
【分析】
（1）利用对数运算公式直接求解；
（2）利用指数运算公式直接求解.
【详解】
（1）利用对数运算公式得
（2）利用指数运算公式得
35．(1)；(2)
【分析】
(1)根据分数指数幂的运算性质，直接运算求解即可；
(2)利用对数的运算性质和换底公式，直接运算求解即可.
【详解】
(1)原式；
(2)原式.
【点睛】
方法点睛：对数运算的一般方法：
(1) 拆：先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并;
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
36．（1）； （2） ； （3）.
【分析】
（1）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；
（2）化根式为分数指数幂，然后利用对数的运算性质化简求值；
（3）由已知可得：x+x﹣1=﹣2，x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2，即可得出．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）由已知可得：x+x﹣1=﹣2==3．
x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
原式==﹣．
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．
37．（1）5；（2）.
【分析】
（1）根据函数，代入求解.
（2）转化，令，，根据复合函数的单调性求解.
【详解】
（1）因为函数，
所以 ，.
（2），
令，，
由复合函数的单调性得：
，
解得.
∴单调递减区间为
【点睛】
本题主要考查对数函数求值以及与对数函数有关的复合函数问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
38．（1）；（2）3.
【分析】
(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值.
【详解】
（）原式（或写成）．
（）原式．
【点睛】
本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
39．(1) ;;(2)1.
【分析】
(1)代入可求出参数的值，根据对数函数的真数大于零，求出函数的定义域；（2）先化简函数的解析式，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
（1）∵，∴，∴.
由得，
∴函数的定义域为.
（2）.
∴当时， 是增函数；当时， 是减函数，
故函数在区间上的最小值是.
【点睛】
研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.
40．
【分析】
根据，对分类讨论先求出的值，再代入求出．
【详解】
解：当时，，
，舍去，
当时，，
，符合题意，
．
【点睛】
本题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题．
41．（1）；（2）.
【分析】
（1）计算出的值，再由可求得结果；
（2）利用指数幂的运算性质、根式的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】
（1）因为，则，
，因此，；
（2）原式
.
42．（1）；（2）2；（3）1.
【分析】
（1）根据分数指数幂的运算性质计算可得；
（02）根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
（2）根据指数和对数的关系及对数的运算法则计算可得；
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）由，得，又由，即，得，
所以.
43．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意，，得，代入可得值；
（2）运用诱导公式，可化简求值.
【详解】
解：（1）由题意，，得，得；
（2）.
答案第1页，共2页
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