人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.1任意角和弧度制5.1.2弧度制（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.1任意角和弧度制5.1.2弧度制
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点A，B分别是圆与直线上的动点，若的最小值为，则t的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是
A． B．
C． D．
3．满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为
A． B． C． D．
6．角的终边相同角是（ ）
A． B． C． D．
7．将化为 的形式是（ ）
A． B．
C． D．
8．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是__________．
10．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ．
11．已知扇形的周长为10，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________ .
三、解答题
12．某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与均为直线段，其中PC平行于绿地的边界记其中
当时，求所需铺设的道路长：
若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当变化时，求铺路所需费用的最大值精确到1元．
13．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
（2）比较两种方案中的扇形面积的大小．
14．（1）若，为第二象限角，求的值；
（2）一扇形的圆心角是，半径为12，求该扇形的弧长及面积.
15．（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
16．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段、，与弧、弧的长度之和为，设圆心角为弧度．
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值．
17．已知函数.
（1）若直线为曲线的切线，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数.在（1）的条件下，若函数为增函数，求实数的取值范围.
18．如图，已知扇形的圆心角为120°，半径长为6.求：
（1）的长l；
（2）与弦所成的弓形的面积S.
19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点在上，点在上，且，求面积的最大值．
20．（1）将写成的形式，其中；
（2）写出与（1）中角终边相同的角的集合并写出在的角.
21．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于x的方程x2mx+m+1＝0的两个实根．求tan（A+B）的值及角C的大小；
22．如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1cm3）
23．已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，且z是方程的根.
（1）求复数z；
（2）复数（，i为虚数单位）满足，求a的取值范围.
24．设P是椭圆C：上异于长轴顶点A1，A2的任意一点，过P作C的切线与分别过A1，A2的切线交于B1，B2两点，已知|A1A2|=4，椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）以B1B2为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.
25．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，若，R=10，求：
（1）扇形的面积；
（2）扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
26．已知函数，其中a，.
（1）当，时，求函数的零点;
（2）当时，解关于的不等式.
27．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若， ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.
28．已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
（1）若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值；
（2）若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
求出圆心到直线的距离，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求出.
【详解】
圆心到直线的距离为，
可得的最小值为，解得.
故选：B.
2．C
【详解】
顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边落在轴上的角的取值集合为，故选C.
3．C
【分析】
由题意可得，分别计算阴影及扇形面积由几何概型求解即可.
【详解】
由题，，，，，
则阴影部分面积为，
扇形的面积为，
所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为.
故选：C
4．A
【分析】
根据扇形弧长公式,则扇形的周长,利用扇形的周长为，圆心角为弧度,可求出半径,在用扇形的面积公式: 即可求出答案.
【详解】
则扇形的周长
即 可得:
故
故选:A.
【点睛】
本题考查了扇形弧长公式和扇形面积公式,能熟练使用这两个公式是解本题的关键.
5．A
【分析】
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【详解】
设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r
则2r+2r＝8，r=2，
∴扇形的面积为r=
故选A
【点睛】
本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
6．A
【分析】
根据终边相同的角求得正确选项.
【详解】
角的终边相同角是，
令，得，A选项正确，其它选项选不正确.
故选：A
7．D
【分析】
根据题意将角除以做有余数的除法，化成，需注意的是
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查终边相同角的表示，属于基础题。
8．A
【详解】
分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.
详解：由题意得扇形的半径为：
又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.
故选：A.
点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.
9．
【解析】
试题分析：设扇形的半径，弧长，根据题意，解得，而圆心角.故答案填.
考点：扇形的弧长、圆心角．
10．
【分析】
由扇形的面积公式直接求解.
【详解】
由扇形面积公式，
可得圆心角，
故答案为：.
【点睛】
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
11．
【详解】
试题分析：设扇形的的半径、弧长分别为，则解得（舍）或．所以答案应填：．
考点：１、扇形的面积；２、弧长公式．
12．（1）； （2）元.
【分析】
（1）在△POC中，运用正弦定理即可得到所求道路长；
（2）在△POC中，运用正弦定理求得PC，OC，由条件可得铺路所需费用为，运用两角和差正弦公式和正弦函数的值域，可得所求最大值．
【详解】
解：在中，，，
则，
由正弦定理可得，可得，
所需铺设的道路长为.
在中，可得
，，
可得，，
则铺路所需费用为
，
当，，取得最大值1，
则铺路所需费用的最大值为元．
【点睛】
本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．
13．（1）； （2），.
【分析】
（1）根据题意，求得方案一和方案二对应的圆心角和半径，利用弧长公式，即可求解；
（2）由（1）中的扇形的圆心角和半径，利用扇形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，
方案一：可得，所以扇形的周长为；
方案二：可得，所以扇形的周长为，
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值.
（2）由（1），根据扇形的面积公式，可得
方案一：扇形面积为；
方案二：扇形面积为.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．（1）；（2），.
【分析】
（1）根据可求出，根据诱导公式可求出.
（2）利用扇形弧长公式和面积公式直接计算即可.
【详解】
（1）∵，为第二象限角，
∴，
∴；
（2）由题意得，，
∴，.
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系和扇形弧长面积的计算，属于基础题.
15．（1）时针：，；分针：，.（2）不正确，理由见解析
【分析】
（1）算出时针每小时转过的度数乘以4便是经过4小时时针转过的度数；分钟每分钟转过的度数乘以便是经过4小时分针转过的度数，然后将度数转换成弧度即可；
（2）可假设经过后，时针和分针第次重合，则有，可以求出，并且最后一次相遇经过的时间为，这样即可求出一天内时针和分针重合的次数，从而判断出这种说法的正误．
【详解】
解：（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角，
经过4小时，时针转了，分针转了，分别等于弧度和弧度；
（2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合，则：
；
，；
最后一次相遇经过了；
此时，即时针和分针相遇22次；
重合24次的说法不正确．
【点睛】
考查对时针和分针运动情况的掌握，度数和弧度数的关系及转换，弄清楚分针和时针相遇时转过圈数的关系．
16．
（1）；
（2）时铭牌的面积最大，最大面积为.
【分析】
（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；
（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.
（1）
解：根据题意，可算得，．
因为，所以，
所以，.
（2）
解：根据题意，可知
，
当时，.
综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.
17．（1）1；（2）答案见解析；（3）.
【分析】
（1），设切点，则，得到，得出答案.
（2）由，然后对的符号进行分类讨论，得出函数的单调性.
(3) 当时，记函数，由得出函数的单调性，进一步得出函数的符号，从而可以打开绝对值，得到，由条件可得在上恒成立.
求出答案.
【详解】
解：（1）对求导得，
设直线与曲线切于点，
则，，解得，
所以的值为1.
（2）①若，
当时，，当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②若，
当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3）记函数，
下面考察函数的符号.
对函数求导得，
当时，恒成立，
当时，，
从而
∴在上恒成立，故在上单调递减，
∵，∴，
又曲线在上连续不间断，
所以由函数的零点存在性定理及其单调性知：
存在唯一的，使，
∴时，，当时，.
∴，
∴
由函数为增函数，且曲线在上连续不断知，
在上恒成立.
①当时，在上恒成立，
即，在上恒成立，
记，，则，，
当变化时，变化情况如下表：
3
- 0 +
极小值
∴，
故“在上恒成立”只需，即
②当时，，
当时，在上恒成立，
综合①②知，当时，函数为增函数.
故实数的取值范围是
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决切线问题，讨论含参数的函数单调性问题和根据单调性求参数的范围，解答本题的关键是打开绝对值，设函数，由得出函数的单调性，进一步得出函数的符号，从而可以打开绝对值，得到，再由函数为增函数，可得在定义域恒成立，属于难题.
18．（1）.（2）
【分析】
（1）根据弧长公式直接求解；
（2）先根据扇形面积公式求扇形面积，再减去三角形面积，即得结果.
【详解】
（1）圆心角，半径，
故的长.
（2）.
取中点C，连，则，在中，，∴.
故.
【点睛】
本题考查扇形面积公式以及弧长公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．（1），；（2）
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）直接利用（1）的结论和三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】
（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，
转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．
曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，
转换为直角坐标方程为：x2+y2-2y=0．
（2）点P在C1上，点Q在C2上，且∠POQ=，
则：=，
因为,所以，
所以
当时，此时的面积由最大值，
此时最大值为
【点睛】
本题主要考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20．(1)； (2),满足条件的为，.
【分析】
（1）先用角度进行表示，然后利用弧度进行表示即可；（2）根据终边相同角的关系进行表示即可．
【详解】
（1）﹣1480°=﹣5×360°+320°，
用弧度角表示为﹣10π+．
（2）写出与（1）中角α终边相同的角β的集合，
则为{β|β=2kπ+．k∈Z}，
∵β∈[﹣4π，0]，
∴当k=﹣1，β=﹣2π+=﹣，
当k=﹣2，β=﹣4π+=﹣π．
【点睛】
本题主要考查终边相同角的表示和应用，根据终边相同角的关系是解决本题的关键．
21．tan（A+B），C．
【解析】
【分析】
利用韦达定理，两角和的正切公式，求得tan（A+B）的值，可得 A+B的值，从而求得C的值．
【详解】
由题意可得tanA+tanBm，tanA tanB＝1+m，
∴tan（A+B），
∴在△ABC中，A+B，
∴C．
【点睛】
本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，及三角形的内角和公式，属于基础题．
22．1047.2 cm3
【分析】
由题用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可得解．
【详解】
解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，
则由题意得R，由得l＝20π；　
由2πr＝l得r＝10；
由R2＝r2+h2得h＝10；
由
所以该容器最多盛水1047.2cm3
【点睛】
本题考查圆锥的体积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．
23．（1）；（2）
【分析】
（1）复数z是方程的根，解出，.，复数z在复平面内对应的点在第四象限，即可解出z值
（2）化简，由共轭复数和模长公式可得a的不等式，解不等式可得．
【详解】
解：（1）方程的根为，.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴.
（2）由（1）得，
.
，
.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及复数相等、共轭复数和不等式的解法，属中档题．
24．（1）；（2）过定点，证明见解析，定点为.
【分析】
（1）由，以及可得出答案.
(2) 设，设过的椭圆的切线为，与椭圆方程联立由，求出切线的斜率，得出切线方程，由条件求出坐标，在轴上取点，由得出答案.
【详解】
解：（1）由题可知，解得，由得，
椭圆的方程为.
（2）设，由于是异于长轴顶点的任意一点，故切线斜率存在.
设过的椭圆的切线为，联立方程，
得，，
得，由
所以，
则，即
所以，则
解得过点的切线方程为，即
由于分别过的切线分别为，
解得的坐标为.
在轴上取点，则，，
所以.
当时，.
所以，以为直径的圆过轴上的定点为.
【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆方程和圆过定点问题，解答本题的关键是先根据点的坐标求出过点的切线方程,然后求出，在轴上取点，根据得出答案，属于中档题.
25．（1）；（2）扇形弧长，该弧所在弓形的面积.
【分析】
（1）由扇形面积公式，即可求面积.
（2）由扇形弧长公式、弓形的面积扇形面积减去由半径和弦所成三角形的面积，即可求弧长、弓形的面积.
【详解】
（1）由扇形面积公式，知：.
（2）由扇形弧长公式，知：，
该弧所在弓形的面积.
26．（1）-4或1；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
【分析】
（1）将，代入，解方程即可；
（2）将代入，令解得或，讨论与2 的大小关系即可.
【详解】
（1）因为函数，
当，时，
，则，解得或.
所以函数的零点为-4或1；
（2）当时，，
令解得或，
①当时，的解集为
②当时，的解集为，
③当时，的解集为.
综上所述，①当时，的解集为
②当时，的解集为，
③当时，的解集为.
【点睛】
本题考查函数与方程、零点的求法，考查分类讨论的思想和计算能力.
27．（1）；（2），.
【详解】
试题分析：（1）由已知利用弧长公式即可计算得解．
（2）根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．
试题解析：
（1）∵， ,∴
（2）设扇形的弧长为，则，即（）,
扇形的面积，
所以当且仅当时， 有最大值36，
此时,∴
28．
（1）时的最小值为；
（2）时的最大值为
【分析】
（1）用表示扇形周长，再应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）用表示扇形面积，再应用基本不等式求其最大值，注意等号成立条件.
（1）
由题设，，又且，
∴，当且仅当时等号成立，
∴时的最小值为.
（2）
由（1）知：，，
当且仅当时，的最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页