人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
一、单选题
1．如图是函数的部分图象，若，则下列判断错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上有两个极小值点
C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数与具有相同的零点
D．在上单调递增
2．已知函数，若函数恰有4个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若集合中含有4个元素，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．已知，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，当函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；
②函数是周期函数，最小正周期为；
③函数在上是增函数；
④函数的图象关于直线对称.
其中所有的正确命题的序号为
A． B． C． D．
8．函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知函数，设，，，则
A．的极小值点是的极小值点 B．极小值点是的极小值点
C．的极大值点是的极大值点 D．的极大值点是的极大值点
10．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A． B． C． D．∪
三、填空题
12．若成立，则的取值范围是_________．
13．已知，，则______．
四、解答题
14．已知向量，，函数，.
(1)若的最小值为11，求实数m的值；
(2)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
15．(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
16．用五点描点法作下列函数的图像：
（1）；
（2）.
17．研究正弦函数的性质
（1）写出其单调增区间的表达式
（2）利用五点法，画出的大致图像
（3）用反证法证明的最小正周期是
18．设函数的最小正周期为，且
（1）求和的值；
（2）给定坐标系中作出函数在上的图像，并结合图像写出函数的单调递减
区间（直接写出结果即可，不需要叙述过程）；
（3）若，求的取值范围．
19．作图题.
（1）已知，在所给坐标系中作出并指出角的正弦线和余弦线；
（2）用五点法作出函数在一个周期内的简图.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调区间；
（2）用五点法作出其简图；
（3）求在区间上最大值和最小值．
21．用“五点法”画函数，的图象．
22．已知函数．
（Ⅰ）求的值和的单调递增区间；
（Ⅱ）函数是奇函数，求函数的值域．
23．如图，已知函数，点A 分别是的图象与轴、轴的交点，分别是的图象上横坐标为、的两点，轴，且点A关于点的对称点恰为点.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求；
（3）若关于的函数在区间上恰好有一个零点，求实数的取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据函数的图象，求得，得到则，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.
【详解】
由函数的图象，可得，
又由，可得，所以，可得，
因为，可得，
所以，解得，
因为，可得，所以，
则，
所以，的最小正周期为，所以A正确；
令，即，可得，
解得，当时，；当时，，
其中和是在上有两个极小值点，故B正确；
由的图象向右平移个单位长度后得，
故向右平移个单位长度后所得函数与有相同的零点，故C正确；
当时，显然不是递增区间，故D错误.
故选：D.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
2．A
【解析】
【分析】
作出函数的图象，根据与的零点分和利用数形结合法讨论求解.
【详解】
如图所示：
因为，
当时，，与的零点为
所以，即，
所以，
当时，，与的零点为 ，
所以的对称轴方程为，。
所以关于对称，
设，
所以，
则，
所以，
故选：A
【点睛】
方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
3．D
【解析】
【分析】
先求出，解方程得直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为，再解不等式得解.
【详解】
.
由题意，在上有四个不同的实根.
令，得或，
即或.
直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为.
据题意是，解得.
故选D.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
4．D
【解析】
【分析】
问题转化为函数，，和的图象的交点问题，结合图象判断即可.
【详解】
依题意，令，则，，，
令，，和，则a，b，c可分别视为函数，
，的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系中画出函数，，和的图像，如图，
观察图象得：当时，，当时，，当时，，
显然不可能，
所以不可能成立的是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的
指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性解决.
5．D
【解析】
利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
【详解】
解：函数，其中，．
当时，取的最大值．
时，取得最大值，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．C
【解析】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质和不等式的解法，求出结果．
【详解】
因为，所以．
因为，所以，解得，
故的取值范围是．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
7．B
【解析】
【分析】
①中,根据题意易得,故①错误; ②中,由可知小正周期为1，故②正确, ③中， 在和上是增函数, 故命题③正确, ④中,, 故命题④错误.
【详解】
∵①中，显然 的定义域为R,由题意知，，则得到，故①错误；
②中，由题意知:,所以的最小正周期为1，，故②正确；
③中，由于,则得为分段函数，且在上是增函数，，故命题③正确；
④中，由题意得，
所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题④错误；
由此可选择②③，
故选B.
【点睛】
本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.
8．C
【解析】
【分析】
的零点个数可转化为与的交点个数，作出两个函数在同一坐标系中图象，观察其交点个数有2个.
【详解】
，如图，由图可知，两个图象有2个交点，∴原函数的零点个数为2个，故选C．
【点睛】
本题考查了函数零点，函数方程，函数的图象，属于中档题.解决函数零点问题时，可以转化为方程的根的问题，也可以转化为两个函数图象交点的问题，一般涉及函数零点个数时，用图象解决比较好.
9．D
【解析】
分别求出，，的解析式，求出函数的单调区间，判断即可．
【详解】
∵，
，
∴在递增，在递减，
在递增，在递减，
在处取极小值，
在递减，在递增，
在递减，在递增，
故在处取极大值，
而，
故在递增，在递减，
故在处取极大值，
故的极大值点是的极大值点，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性、极值问题、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
10．C
【解析】
【分析】
先判断函数奇偶性排除A，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案.
【详解】
易知函数是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A；在原点右侧附近，函数值大于0，排除D；函数在区间上有零点，共计8个，排除B.仅有C符合上述要求.
故选：C.
11．AC
【解析】
【分析】
在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，观察图象可得结果.
【详解】
在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，
在(0,2π)上，当时，或，
结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使成立的是和.
故选：AC
12．.
【解析】
【分析】
根据反余弦函数的定义域和单调性可解得结果.
【详解】
由反余弦函数的定义域可得，解得，
又因为反余弦函数在上单调递减，
所以，解得，
综上可得的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域和单调性，属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
已知三角函数值求角，再根据角的范围确定角的具体数值.
【详解】
或
又.
故答案为：.
14．(1) . (2)存在，
【解析】
【分析】
(1)求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
(2)由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
【详解】
解：(1)∵
∴
∵
∴
.
令
∴
∵，对称轴为
①当即时，当时，
∴舍去.
②当即时，当时，
∴.
③即时，当时，
∴舍去.
综上，.
(2)令，即
∴或
∵有四个不同的零点.
∴和在上共有四个不同的实根，
∴
∴
∴.
【点睛】
本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
15．(1)见解析(2) 见解析(3) .
【解析】
【分析】
(1)先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)依据的图象上所有的点向左平移个单位长度，的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到的图象；
(3)令，求出即可.
【详解】
解:（1）先列表,后描点并画图
0
x
y 0 1 0 -1 0
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，
所以函数的对称轴方程是.
【点睛】
本题考查五点法作函数的图象，函数的图象变换，考查计算能力，是基础题.
16．（1）图象见解析； （2）图象见解析.
【解析】
【分析】
根据三角函数的五点法作图的规则，列表、描点、连线，即可求解.
【详解】
（1）由题意，利用五点法作出函数的简图：
列表：
0 1 0 -1 0
1 0 1 2 1
描点、连线，可得函数的图象，如图所示，
（2）由函数，
列表：
0 -1 0 1 0
1 0 1 2 1
描点、连线，可得函数的图象，如图所示，
17．（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解；
（2）利用五点法作函数的图象即可；
（3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证.
【详解】
（1）单调递增区间为，
所以单调递增区间的表达式为
（2）列表：
描点，连线，可得函数图象如下：
（3）证明：，
假设存在，使得，即，
令，则，即；
再令，可得，得到矛盾，
综上可知的最小正周期是.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.
18．(1) ，；(2)答案见解析；(3)
【解析】
【详解】
试题分析：
(1)由三角函数的性质结合题意可得，；
(2)结合(1)中函数的解析式绘制函数的图象即可；
(3)求解三角不等式可得的取值范围是
试题解析：
(1)由已知条件可知故
又由得
即
(2)
函数的单调递减区间
(3)由(1)知令
得即
得即
19．答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数线的定义即可作出角的正弦线和余弦线；（2）根据五点作图法的知识，按照“列表”，“描点”，“连线”步骤即可作出函数在一个周期内的简图.
【详解】
（1）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆相交于点，过点作垂直于轴交于点，则角的正弦线和余弦线如图所示，其中是角的正弦线，是角的余弦线；
（2）由题意得，①列表：
0
0 3 0 -3 0
②描点：在平面直角坐标系中描出点，，，，；
③连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，如图所示：
④这样就得到了函数在一个周期内的简图.
20．（1）最小正周期；单调增区间是，减区间是；（2）作图见解析；（3）最小值，最大值．
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得函数的单调递减区间，解不等式可得函数的单调递增区间；
（2）通过列表、描点、连线，可得出函数的简图；
（3）根据的范围得出的范围，结合正弦函数性质得出的最值．
【详解】
（1）
．
所以，函数的最小正周期，
令，解得．
令，解得．
所以，的单调增区间是，减区间是，；
(2)列表：
0
作出函数图象如图：
（3），，
所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值2．
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
21．见解析
【解析】
【分析】
列表，描点，连线是画函数图象的步骤，这里要用到五点法，即先算出=0，，，，时的值，此时对应的y值刚好是函数零点即最大值或最小值，在坐标系中找到这些点，用平滑的曲线连接即可.
【详解】
①列表：
0
x
0 3 0 －3 0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，．
③连线：用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数，的简图，如图所示．
22．（Ⅰ），的单调递增区间是（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(I)化简为
即可求解;(II)由定义在上的奇函数可得，即可求出，进而表示出，利用三角函数性质即可求解.
【详解】
（Ⅰ）因为
，
所以.
令，
则，
所以的单调递增区间是.
（Ⅱ）由是奇函数，得，所以.
又，得，所以，
所以，
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性和三角函数的最值.三角恒等变换的公式运用，注意奇函数性质的使用、求值的运算.
23．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）先利用对称性得到相邻的对称中心和对称轴的横坐标，即得周期，求得，再利用点B坐标代入计算求得，即得函数解析式；
（2）先利用同角三角函数基本关系计算，再代入函数解析式，化简计算即可；
（3）先由，得到在区间上恰好有一个根，再作余弦函数在区间上的图象，结合图象得到或时符合题意，解得参数范围即可.
【详解】
解：（1）∵点A与点关于点对称，点的横坐标为.
又点与点关于直线对称，
函数的最小正周期，，
又代入B点，，，得，符合，
因此；
（2）由，，，
所以，·
所以；
（3）在区间上恰好有一个零点，令，得在区间上恰好有一个根，
当时，设，由于方程恰好仅一根，如图，可知，或时，方程在区间上恰好有一个根，
或，
或，即或，
解得或.
所以实数的取值范围是.
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