人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.5三角恒等变换小结（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.5三角恒等变换小结
一、单选题
二、解答题
1．已知为第二象限角，且，求的值.
2．已知；求的值.
3．在△ABC中；．
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面积，求BC的边长．
4．已知函数最大值为2，最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
5．如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆交于两点.已知两点的纵坐标分别为.
(1)求的值；
(2)求角的大小.
6．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）判断的形状．
（Ⅱ）若，求的最大值．
7．已知，，，是第三象限的角.
（1）求的值；
（2）求的值.
8．计算与化简（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）若，且为第三象限角，求.
（15）； ； .
（16）.
（17）.
（18）.
（19）.
9．已知向量a＝，b＝．
(1)当时，求向量2a＋b的坐标；
(2)若a∥b，且，，求的值．
10．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．
具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为．
则，由向量数量积的坐标表示，有．
设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，于是．
所以，也有；
所以，对于任意角有：．
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：．
11．如图，某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为10m.
(1)制作这样一个热气球，大约需要多少材料？
(2)如果A型材料的价格为280元，试估计用料的总费用.如果直径增加4m，那么需增加多少费用？
12．已知,分别求,,的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
13．已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
14．（1）已知均为锐角，，角的终边上有一点，求；
（2）已知，计算；
15．已知.
（1）求的值；
（2）已知，，且，求的值.
16．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知函数，如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴和的图象分别交于点， ，直线与轴和的图象分别交于点，，设梯形的面积为，求数列的前项和.
（3）若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
17．在中，已知，用正弦定理判断这个三角形的形状．
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期及最值；
（2）令，其中，若为偶函数，求的最小值.
19．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．
【解析】
【分析】
由可求出的值，然后对化简代值计算即可
【详解】
因为为第二象限角，且，
所以，
2．
【解析】
【分析】
根据，解得，再对进行化简计算即可.
【详解】
由，
解得.
所以
.
3．（1）；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求的值，
（2）由（1）利用正弦定理可求，设，，，则由三角形的面积公式解得，即可求得的值．
【详解】
解：（1），
可得，
，，即，为锐角，可得，
．
（2），，，
，
设，，，则由三角形的面积公式，可得，解得，
．
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4．（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)由最大值求出A，周期求出，从而求得函数解析式，令即可求出单调递增区间；(2) 若，则，由正弦函数的单调性可求得，得解.
【详解】
（1）由题意知，，
函数解析式为，
令
解得
∴递增区间为
（2）
∴函数值域为.
【点睛】
本题考查正弦型函数的解析式、单调区间及值域的求解，属于基础题.
5．(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)由已知及三角函数的定义可得,，由同角三角函数的关系求得,，利用两角和的正切公式可得结果；(2)由，结合（1）利用两角和的正切公式可得的正切值，根据可得结果.
【详解】
(1)由已知及三角函数的定义可得,.又由于均为锐角,故可得,.于是,可得,.
从而,可得.
(2)由于 ,
又因均为锐角,故,所以.
【点睛】
三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
6．（Ⅰ）为直角三角形（Ⅱ）
【解析】
【详解】
试题分析：（I）由已知结合正弦定理对已知化简可求B，进而可判断三角形的形状（II）由辅助角公式对已知函数f（x）先化简，然后代入可求f（A），结合（I）中的角B可求A的 范围，然后结合正弦函数的性质即可求解
试题解析：
（Ⅰ）∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
为直角三角形．
（Ⅱ）∵
，
，
，
，
∵，，，，
，
∴．
7．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用两角差的余弦公式可求得的值；
（2）求出的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】
（1）因为，则，
因为是第三象限角，则，
因此，；
（2），因此，.
8．（1）-1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；；；（16）；（17）；（18）；（19）.
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式结合两角差的正弦公式即可得解；
（2）由诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解；
（3）由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得解；
（4）由诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解；
（5）由诱导公式结合两角和的余弦公式即可得解；
（6）由诱导公式结合两角和的正切公式即可得解；
（7）由两角和的正弦、余弦公式可得原式，再利用两角差的正弦、余弦公式即可得解；
（8）由诱导公式结合两角和的余弦公式即可得解；
（9）由诱导公式结合两角差的正弦公式即可得解；
（10）由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得解；
（11）由诱导公式结合两角差的正弦公式即可得解；
（12）由诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解；
（13）由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得解；
（14）由两角差的正弦公式可得，再利用同角三角函数的平方关系即可得解；
（15）由两角和、差的正切公式结合即可得解；
（16）由两角和的正切公式结合即可得解；
（17）由两角差的正切公式结合即可得解；
（18）由同角三角函数的商数关系可得原式，再利用两角差的正切公式结合即可得解；
（19）由两角和的正切公式结合可得原式，再利用两角和的正切公式即可得解.
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
；
（14）由题意，
所以，
又为第三象限角，所以；
（15）；
；
；
（16）；
（17）；
（18）
；
（19）
.
【点睛】
本题考查了诱导公式及和差角三角函数公式的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
9．；(2)．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据向量坐标的运算计算即可；（2）根据两向量平行的坐标公式计算.
试题解析：(1)因为，所以a＝，于是向量2a＋b＝；
(2)因为a∥b，所以，又因为，所以，
所以.
点睛：本题考查了向量平行的坐标运算，以及正弦和差公式及余弦函数的性质，属于中档题.解题时注意向量平行公式的应用，处理时要注意分析，否则容易造成失分，在辅助角公式的使用时，注意特值的特殊性，以及余弦函数图像性质的熟练应用.
10．（1）正确；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据单位向量的定义可得出结论；
（2）根据向量相等及坐标运算，化简计算即可证明结论.
【详解】
（1）因为对于非零向量是方向上的单位向量，又且与共线，
所以正确；
（2）因为为的中点，则，
从而在中，，
又
又M是AB的中点
，
所以，化简得，．
结论得证.
11．(1)m2
(2)用料的总费用是元，当直径增加4m，需增加的费用是元.
【解析】
【分析】
(1)直接利用球的表面积公式计算即可作答.
(2)利用(1)的结论求出总费用，再算出增加的面积，即可得增加的费用.
(1)
依题意，半径r=10m的球的表面积是：(m2)，
所以制作这样一个热气球，大约需要m2的材料.
(2)
当A型材料的价格为280元，由(1)知，总费用(元)，
当直径增加4m时，半径( m)，则增加的面积为( m2)，
因此，增加的费用为(元)，
所以用料的总费用是元，当直径增加4m，需增加的费用是元.
12．详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为 ，则函数值的和为 ，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.
试题解析：由，得
,,
.
归纳猜想一般性结论为
证明如下：
【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
13．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）首先利用诱导公式得到，从而得到，再利用求解即可.
（2）首先根据题意得到，，再利用两角差余弦公式求解即可.
【详解】
（1）因为，所以，
又因为，所以．
因为，且，
所以．
（2）由（1）中，，可得．
因为，所以，
而，所以，
又因为，所以，且，
于是
．
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出，，，即得的值；
（2）化简得，把代入即得解.
【详解】
（1）因为为锐角，所以.
因为角的终边上有一点，所以，
，
所以.
（2）.
【点睛】
本题主要考查同角的平方关系和商数关系的应用，考查三角函数的坐标定义，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．（1）；（2）.
【解析】
（1）先求出，再化简即得解；
（2）先求出，再求出，求出，即得解.
【详解】
（1）由已知得，所以
（2）由，可得，
则.
因为，所以，
又，则，
因为，，
则，则，
所以.
【点睛】
易错点睛：本题容易得出两个答案，或.之所以得出两个答案，是没有分析缩小的范围，从而得到.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.
16．（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为，由已知得，解得得，，代入等比数列公式求解.
（2）根据题意，分别求得的纵坐标为，的纵坐标为，又，再代入梯形面积公式求得，然后用错位相减法求.
（3）由（2），得，所以对任意正整数恒成立，可转化为对任意正整数恒成立求解.
【详解】
（1）设数列的公比为，则，由已知，得，两式相除，得，，或（舍），∴，
故数列的通项公式为.
（2）的纵坐标为，
的纵坐标为，
又，
∴梯形的面积为，
∴
①
又 ②
①-②，得
，
∴.
（3）由（2），得，∴，
∵，
当时，取最小值-28，
所以，故实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了数列的实际应用及等比数列的通项公式，错位相减法求和，还考查了抽象概括，运算求解的能力，属于中档题.
17．答案见解析
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得，利用正弦的二倍角公式可得
，进而即可判断三角形的形状.
【详解】
由题意知，，
由正弦定理，得，
即，
所以或，
得或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
18．（1），最小值为，最大值为2
（2）
【解析】
【分析】
（1）化简得到计算得到答案.
（2）先得到，函数为偶函数得到，计算得到答案.
【详解】
（1）
最小正周期为，最小值为2，最大值为2
（2）为偶函数
则，当时，有最小值为
【点睛】
本题考查了三角函数周期，最值，奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质和三角恒等变换的灵活运用.
19．（1）；（2）78
【解析】
【分析】
（1）根据可得的范围，再根据为整数得到的值.
（2）根据项的符号特征可得最大．
【详解】
(1)由已知，得，
.
解得.
又，∴.
(2)∵，∴数列是递减数列．
又∵，，
∴当时， 取得最大值，为.
【点睛】
一般地，等差数列的前项和的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果满足，，则有最小值且最小值为；如果满足，，则有最大值且最大值为.
试卷第页，共页
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