人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第三章3．2函数的基本性质（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第三章3．2函数的基本性质
一、填空题
1．关于函数，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x时，是增函数；当x时，是减函数；
③的最小值是；
④在区间、上是增函数；
⑤无最大值，也无最小值．
其中所有正确命题的序号是__________．
二、解答题
2．北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过的部分，水价为5元/；超过但不超过的部分，水价为7元/．如果北京市一居民年用水量为，其要缴纳的水费为元．假设，试写出的解析式，并作出的图像．
3．
已知奇函数在定义域 上是减函数，满足f(1-a)+f(1-2a)〈0，求 的取值范围.
4．已知函数，其中．
（1）当时，写出函数的单调区间；(直接写出答案，不必写出证明过程)
（2）当时，求函数的零点；
（3）当时，求函数在上的最小值．
5．若函数的定义域为，函数的定义域为，求集合．
6．已知函数的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数．
（1）试判断函数是否是函数在上的限制函数；
（2）设是在区间上的限制函数且在区间上的值恒正，求证：函数在区间上是增函数；
（3）设，试写出函数在上的限制函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，说明理由．
7．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)用定义法证明函数在上单调递减；
(3)求在上的最大值和最小值.
8．己知函数(b，c为常数)，f(1)=4，f(2)=5.
(1)求函数f(x)的解析式；.
(2)用定义证明∶函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.
9．已知函数，为自然对数的底数.
（1）判断在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在，使为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
10．2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
11．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明．
12．已知函数.
（1）求证：函数为奇函数；
（2）用定义证明：函数是上单调递增.
13．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f(x)＝1＋.
(1)求f(2)的值及y＝f(x)的解析式；
(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0]上的单调性．
14．已知函数是上的奇函数，且单调递减，解关于的不等式，其中且.
15．已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.
（1）求点的“特征直线”的方程；
（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；
（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.
16．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（Ⅰ）求当时，函数的解析式；
（Ⅱ）作出函数的图象，并写出函数的增区间（不需要证明）；
（Ⅲ）若函数，求函数的最小值．
17．设函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明.
18．设是实数，
（1）证明：f(x)是增函数；
（2）试确定的值，使f(x)为奇函数．
19．已知函数．
（1）画出函数图象．（直接画出图象不需过程）
（2）写出函数f（x）的单调区间和值域．（直接根据图象写出答案）
（3）当a取何值时，方程f（x）=a有两不等实根？只有一个实根？无实根？（直接根据图象写出答案）
20．已知.
（1）判断的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若实数满足不等式，求的取值范围.
21．已知函数，定义域为.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）用定义法证明：函数在区间上是减函数.
（3）解关于不等式.
22．请解决下列问题：
（1）已知奇函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？
（2）已知偶函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？
23．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．①③④
【解析】
【分析】
根据偶函数定义确定①成立，根据对勾函数性质得②错误，根据对勾函数性质以及偶函数性质得③成立，⑤错误；根据复合函数性质得④成立.
【详解】
定义域关于原点对称，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故①正确；
令（），在上是减函数，在上是增函数，②不正确；
，又是偶函数，所以函数的最小值是，③正确；
当或时函数是增函数，根据复合函数知是增函数，④正确；
由③知，⑤不正确．
故答案为：①③④．
2．，图像见解析
【解析】
分别讨论和的情况,由题意即可求得解析式,进而画出图像即可
【详解】
解：如果,则；
如果,则,
所以,
注意到在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此在每个区间上的图像都是直线的一部分,
因为,.
由此可作出函数图像如图所示,
【点睛】
本题考查分段函数在实际中的应用,考查函数的图像
3．
【解析】
【详解】
试题分析:根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到函数的定义域可得一不等式组，解出即可．
试题解析:
∵ 是奇函数 又∵在定义域 上是减函数
解得
4．（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2），．（3）
【解析】
（1）因为，当时，，画出其函数图象，即可求得答案；
（2）当时，，分别讨论和时函数的零点，即可求得函数的零点；
（3） 化简，分别讨论，函数的单调性，进而求得函数最小值；
【详解】
（1）当时，
画出图象
根据图象可得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，，
①当时，令，即，
此方程，无实数解．
②当时，令，即，解得；
由①②，得的零点为，．
（3）
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取到最小值，且．
当，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取到最小值，且．
综上所述，．
【点睛】
本题主要考查了带有绝对值函数的单调区间和零点，及其函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数图象特征和函数最值的求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．M＝{x|－2【解析】
【分析】
利用对数函数和根式函数的定义域求解，利用集合的交集和并集运算即求.
【详解】
由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，
∴(x－4)(x＋2)<0，即－2∴M＝{x|－2由1－≥0，得≥0，
∴x≥3或x<1，
∴N＝{x|x<1或x≥3}．
∴M∩N＝{x|－26．（1）在上的限制函数为；（2）证明见解析；（3）的递增区间是，递减区间是，理由见解析.
【解析】
(1)根据限制函数的定义，即可得出结论；
(2）对任意的上恒为正值，所以，根据限制函数的定义，推出，即，进而证出函数的单调性；
(3）设，通过化简得，得到，然后推出，由解得增区间，由，可得减区间.
【详解】
（1）对任意，因为，
所以，在上的限制函数为
（2）对于任意的，当时，
因为在区间上恒为正值，所以，
由于或成立，
所以，即，
所以在上是增函数．
（3）设，则，
所以，即．
由，解得，
因而，当时，递增，即的递增区间是；
当时，通减，即的递减区间是．
【点睛】
关键点点睛：根据限制函数的定义，找出所给函数的限制函数是解题的关键，寻找函数的限制函数时，要理解所给限制函数的定义.
7．(1)偶函数，证明见解析.
(2)证明见解析
(3)最大值8；最小值-1
【解析】
【分析】
（1）利用奇偶性的定义即可判断及证明；
（2）利用函数单调性的定义证明得函数的单调性；
（3）利用函数的对称性及单调性求得函数的最值.
(1)
函数为偶函数，
证明：函数定义域为R，关于原点对称，，
故函数为偶函数.
(2)
证明：任取，且，
则，
因为，则，即，
即，所以，故函数在上的单调递减.
(3)
根据函数的单调性及对称性得：当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值.
8．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可；(2)首先设任意的，，且，然后利用作差法比较和大小，再结合函数单调性的定义即可证明.
(1)
由题意可知，，解得，，
故函数f(x)的解析式为：.
(2)
设任意的，，且，
则，
因为，，且，所以，，即，
从而，即，
故函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.
9．（1）在定义域上是减函数；证明见详解；（2）存在，.
【解析】
（1）先判断函数单调性，再由函数单调性的定义证明，即可得出结论；
（2）先假设存在，使为奇函数，由求出，再验证，即可得出结果.
【详解】
（1）在定义域上是减函数；证明如下：
因为，定义域为，
任取，则
，
因为，指数函数是增函数，所以，，
则，
所以在定义域上是减函数；
（2）假设存在，使为奇函数，因为定义域为，
所以有，则，
此时，因此，
即满足为奇函数，
因此，存在，使为奇函数.
【点睛】
方法点睛：
用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤：
（1）取值：任取，且；
（2）作差：计算；
（3）定号：通过化简整理，得到的正负；
（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.
10．（Ⅰ）；（Ⅱ）米
【解析】
【分析】
(Ⅰ)设出抛物线的顶点式方程，然后结合抛物线所经过的点的坐标即可确定抛物线的方程；
(Ⅱ)将原问题转化为求解不等式的问题，结合(Ⅰ)中求得的解析式即可确定距池边水平距离的最大值.
【详解】
（Ⅰ）由已知可设抛物线方程为
又抛物线过（0，0）和（2，-10） 代入解得，
所以解析式为：
（Ⅱ）要使得某次跳水成功，必须，亦即，
即， 解不等式得，
距池边的水平距离至多米．
【点睛】
本题主要考查函数模型及其应用，二次函数解析式的求解，结合二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．（1）；（2）在上单调递增；证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，代入数据，即可求得a值；
（2）利用定义法即可证明在上的单调性.
【详解】
（1）∵，∴，∴．
（2）在上是单调递增的，证明如下：
任取，且，
则，
∵，∴．又，∴，
∴，即，
∴在上单调递增．
12．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据对数的运算性质，求得函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义，即可判定函数的奇偶性，得到证明；
（2）由（1）利用函数的单调性的定义，即可判定函数的单调性，得到证明.
【详解】
由题意，化简，故
（1）函数的定义域为，关于原点对称；
，故函数为奇函数；
（2）任取，且，
则
因为，故，故
所以函数是上单调递增.
【点睛】
本题主要考查了利用定义法判定函数的奇偶性和函数的单调性，其中解答中牢记函数的单调性和奇偶性的定义和判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
13．（1）f(2)＝，f(x)＝（2）单调递减．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据奇偶性得f(2)＝f(－2)，再代入解析式可得函数值；利用偶函数性质将所求区间转化到已知区间，并代入可得x>0时解析式，最后按分段函数形式书写（2）先设，再作差，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断
试题解析：解：(1)由函数f(x)为偶函数，知f(2)＝f(－2)＝1＋＝；
又x>0时，－x<0，由函数f(x)为偶函数，知f(x)＝f(－x)＝1＋＝1－，
综上，f(x)＝
(2)在(－∞，0]上任取x1，x2，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝－＝；
由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，知f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．
14．.
【解析】
【分析】
先由是上的奇函数，将化为，
再由单调递减得到.再由分类讨论的思想，分别讨论，， 三种情况，即可得出结果．
【详解】
解：因为是上的奇函数，
所以可化为.
又单调递减，且，所以，即.
①当时，，而，所以；
②当时，，解得或；
③当时，，而，所以.
综上，当或时，不等式无解；当时，不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查含参数的不等式的解法，以及函数奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质以及不等式的性质即可，属于常考题型.
15．（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）计算的斜率为1，再计算直线方程得到答案.
（2）根据与渐近线垂直得到，线段的方程为，得到，代入方程得到，，计算得到.
（3））设，，得到所对应的方程为：计算得到，分别证明充分性和必要性得到答案.
【详解】
（1）由题意的斜率为1，所以点的“特征直线”的方程为.
（2）设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为
所以，进而得，线段的方程为
所以满足
所对应方程为：，解得，
因为，所以，进而
（3）设，，
则、的方程分别为，，
解、交点可得，，
所对应的方程为：，
必要性：因为点在线段上
当时，，得，
当时，，得，
所以，进而
①充分性：由，得，
当时，，得，
当时，得，得，
所以点在线段上.
综上所述：点在线段上的充要条件为
【点睛】
本题考查了抛物线中的新定义问题，求直线方程，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
16．（Ⅰ）；（Ⅱ）图象见详解；增区间为和；
（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）设，求出的解析式，再利用奇偶性即可求解.
（Ⅱ）根据二次函数以及函数的奇偶性作出图像，根据图像即可求出单调区间.
（Ⅲ）由（Ⅰ）求出，判断出的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】
（Ⅰ）设，则，由当时，，
则，又因为是定义在R上的奇函数，，
则，
所以，
综上所述，.
（Ⅱ）函数的图象如下：
由图像可知：增区间为和.
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得当，
，
所以函数在单调递增，
所以.
17．(1)，
(2)增函数，证明过程见解析
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义及函数的定义域得出，再结合列方程即可求出和的值，进而求出函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可.
(1)
解：函数是定义在上的奇函数，
，
，
而，得，解得，
此时满足，即函数为定义域上的奇函数；
，
(2)
函数在上为增函数
证明：任取，且，
则
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
18．（1）见解析（2）1
【解析】
【分析】
（1）设x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，结合指数函数的单调性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；
（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），对其变形，解可得a的值，即可得答案．
【详解】
(1)证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，
又由y=2x在R上为增函数，则＞0，＞0，
由x1＜x2，可得﹣＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
故f（x）为增函数，与a的值无关，
即对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，
必有有f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣（a﹣），变形可得2a==2，
解可得，a=1，
即当a=1时，f（x）为奇函数．
【点睛】
证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
19．（1）见解析；（2）增区间：（0，+∞），减区间：（-∞，0]，值域：[0，+∞）；（3）{a|0＜a＜1}；{a|a=0或a≥1]；{a|a＜0}.
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数及定义域，画出函数图象即可．
（2）根据图象即可写出函数的单调区间和值域．
（3）根据图象即可直接判断出a的取值，有两个不等式实数根，一个根和没有根．
【详解】
（1）f（x）的图象如下：
（2）由图象可得函数f（x）的单调增区间：（0，+∞），单调减区间：（-∞，0]，值域：[0，+∞）；
（3）方程f（x）=a有两个不相等实数根：{a|0＜a＜1}
方程f（x）=a有一个实数根：{a|a=0或a≥1]
方程f（x）=a无实数根：{a|a＜0}．
【点睛】
本题考查了函数图象画法，函数单调性与值域的求解，属于基础题．
20．（1）见证明；（2）的取值范围为.
【解析】
【分析】
（1）采取换元思想，计算解析式，结合当，对与做差，判定单调性，即可．（2）在第一问的基础上，结合单调性性质，建立不等式，计算t的范围，即可．
【详解】
（1）令，则，，
∴
任取且，
∵
∵，∴，，，，
即，∴在上是增函数.
（2）不等式化为
∵在上是增函数，∴，∴，
∴的取值范围为.
【点睛】
本道题考查了单调性判定及其性质，属于中等题，结合单调性判定，并结合单调性性质，建立不等式，即可．
21．（1）奇函数，证明见详解；（2）证明见详解；（3）.
【解析】
（1）根据函数解析式，先求，由函数奇偶性的定义，即可得出结果；
（2）任取，作差比较与的大小，根据函数单调性的定义，即可证明结论成立；
（3）由（1）（2）的结果，将不等式变形，根据单调性，即可求解.
【详解】
（1）因为，定义域为关于原点对称，
所以，
因此是奇函数；
（2）任取，
则
，
因为，所以，，，，
因此，即，
所以函数在区间上是减函数；
（3）由可得，
因为是奇函数，所以不等式可化为，
又函数在区间上是减函数，
所以，解得.
【点睛】
方法点睛：
用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤：
（1）取值：任取，且；
（2）作差：计算；
（3）定号：通过化简整理，得到的正负；
（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.
22．（1）奇函数在上也是减函数
（2）偶函数在上是增函数
【解析】
（1）奇函数在上也是减函数，任取，则，计算得到证明.
（2）偶函数在上是增函数，任取，则，计算得到证明.
【详解】
（1）奇函数在上也是减函数，
证明如下：任取，则.
因为在上是减函数，所以.
又为奇函数，所以，于是，即.
所以在上是减函数.
（2）偶函数在上是增函数，
证明如下：任取，则.
因为在上是减函数，所以.
又是偶函数，所以.于是.
所以在上是增函数.
【点睛】
本题考查了函数单调性的判断和证明，意在考查学生的推断能力.
23．（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解
试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
考点：函数模型的选择与应用
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