安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期期末联考理科数学试题（扫描版含答案）

2021-2022 学年度第一学期高三期末联考
理科数学参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 D A D A B C D B B D C C
1.【解析】 U P 1,5,6 ， UP Q 1,4,5,6 ，故选 D.
a2 i 1
2.【解析】 z a
2 1 a2 1 i ，故选 A.
1 i 2
3.【解析】由 y 6.5x 17.5可得m 54 .当 x 6时，预报变量为 y 56.5 .所以样本点 6,m
的残差为54 56.5 2.5，故选 D. D

4.【解析】如图，由已知得 1AE AO，故 AO 2 AB 2 AD，又 B,O,D A O
2 E
C
共线,故 12 2 1,所以 ，故选 A. B
2
1 1 1 1
5.【解析】 f x x log2 x为 0, 上的递增函数，

f log2 log2 3 0，
3 3 3 3
1 1 1 1
2 2 2 5 1
f log 0， f log2 log2 3 5 log2 27 0， 2
2 2 2 2 3 3 3 3 3
3 3 3 5 1
f log2 log2 3 5 log2 81 0，故选 B.
4 4 4 4 4
6.【解析】设饮料圆锥面的底面半径为 r，母线长为 l，由侧面展开图是半圆，故 l 2r，圆锥的
r
高 h 3r 1 3，故圆锥的体积为： V1 r
2h r3 ,设冰球的半径为 R ,则
3 3
R
h l
1 3 3 4 4 3
R 2r r ,体积为V2 R
3 r3。所以冰球与饮料的体积比
3 2 3 3 27
V2 4为： ,故选 C.
V1 V2 5
1 1
7.【解析】当 x 0时, f x e x , f 1 .因为 f x 为偶函数，故 f 1 .
e e
1 1
又 1f 1 f 1 ,所以切线方程为
1
y x 1 ,即 y x 2 ，故选 D.
e e e e
1 / 7
n n 1
8【. 解析】由已知当n 2时，an a1 a2 a1 a a ，又a 1,3 2 an an 1 1
2
n n 1 1 1 1 1 1 1 1 2021故a ,所以 2 . 2 1 ，故选 B. n
2 an n n 1 a1 a2 a2021 2022 1011
e2x e 2x e2x e 2x
9.【解析】由已知 f x sinh xcosh x ，所以 f x f x ，故 f x 为
4 4
e2x e 2x
奇函数；又 f x 在在 0, 上单调递增，所以选 B.
4
2
10.【解析】由已知 ln a6 ln a10 ，得a6a10 1，故a8 1.又a4a8 4，公比q .
2
2 2
当 q 时， an 各项均正，满足Tn T8 ;当q 时， an 偶数项均正，奇数项均负，仍
2 2
满足Tn T8，故选 D.
2
11.【解析】由已知动圆圆心的轨迹为抛物线，其方程为 y 4x .又圆心 P到直线 y x距离为
2 b 2
，则点P在与 y x平行的两条直线上,设方程为 y x b，则 ，所以b 1 .
2 2 2
2 2
故直线为 y x 1或 y x 1 .又 y 4x, y x 1相切，此时 P为切点;又 y 4x, y x 1
相交，此时P为两个交点.故满足条件的P的个数有 3个，故选 C.
12【. 解析】由已知平面PQR即截面PLRMQN所在平面,其顶点分别为所在棱的中点，故 AC / /
平面PQR， BP QR ,BD1 平面PQR，故选 C.
n
13. 【答案】15【解析】由已知 2n 64 , 1 a 64 ,故 n 6,a 1 .所以展开式通项为
r
T Cr (x2 )6 r
1
r 1 6 C
r x12 3r6 (r 0,1, 2, ,n) ,当 r 4时，常数项为C
4
6 15 .
x
7
14. 【答案】 【解析】连掷骰子两次试验结果共有 36 种，要使直线 x 2y 0与圆
12
2 2 a 2b
x a y b 5 相交 ,则 5 ,即满足 a 2b 5 .符合题意的 (a， b)有
5
1,1 , 1, 2 ， 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 4,1 , 4, 2 , 4,3 , 4,4 ，
5,1 , 5, 2 , 5,3 , 5, 4 , 6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 共 21种.由古
21 7
典概型的概率计算公式可得所求概率为 P＝ .
36 12
2 / 7

15.【解析】由已知 f x 2Asin x .由图象可知取 A 2 ,
4
1
T 4 2
5 1
周期 ,所以 ,由 f 2 ,取 ,则 ， f x 2sin2 12
x 或
3 12 2 2 6
1 5 1 5
f x 2 sin x cos x
2 12

2 12
x x 1
或 f x 3 sin cos 或 f x 2cos x （写出一个即可）
2 2 2 3
1 1 y 2 x2
16. 【答案】 y x或 y x（写出一个即可得 2分） 1（3分）
2 2 5 20
【解析】如图，设双曲线C的两个焦点分别为 F1,F2，由已知 P,F1 关于渐近线对称，
所以OQ PF1 ，故PF1 PF2 .因为 P 3, 4 ，所以c OP 5 .
y
F1
又 F1到渐近线距离为FQ1 b，所以 OQ a . Q
O x
故 PF1 2b,PF2 2a，由双曲线定义知：PF1 PF2 2a， P
F2
1 9 16
故b 2a .所以渐近线方程为 y x ,又 1，所以a2 5,b2 20，
2 a2 b2
y 2 x2 1 1 y 2 x2
所以双曲线的方程为 1 .故 y x或 y x； 1
5 20 2 2 5 20
17.【解析】（1）由已知得：b1 a2 2a1 2，故b1 4 6 ............................................. 1分
由bn a2n，所以bn 1 a2n 2 2a2n 1 2 a2n 2 2bn 4 ， .................................... 3分
故bn 1 4 2 bn 4 ，所以 bn 4 是首项为6，公比为 2的等比数列 ......................... 5分
（2）由（1）可得 bn 3 2
n 4 ，即a2n 3 2
n 4 ................................................... 6分
T b b b 3 2 22记 n 1 2 n 2n 4n 3 2n 1 4n 6 ................................ 8分
1
又a2n 2a2n 1 ，所以a2n 1 a2n
2
3
故 S2n a1 a2 a3 a2n 1 a2n Tn 9 2
n 6n 9 ............................................ 10分
2
18. 【解析】（1）在 ABC中，由正弦定理得：7sin A 12sinBcosC 7sinC cosB，
又sin A sin B C sinBcosC cosBsinC，
所以 12cosB 7 sinBcosC 0， ..................................................................................... 2分
因为 ABC是锐角三角形，所以sinBcosC 0 .................................................................. 3分
3 / 7
7
故 cos B . ........................................................................................................................... 5分
12
（2）在 ABC中，由余弦定理得：b2 a2 c2 2ac cos B ............................................. 6分
2 7又b ac 6，cos B ，代入上式得：a2 c2 13 .................................................. 8分
12
2
a c a2所以 c2 2ac 25，故a c 5 .................................................................. 11分
所以 ABC的周长为：5 6 . .............................................................................................. 12分
19. 【解析】（1）取 AB的中点O，连接OE ,OF，因为E,F分别是PA,CD的中点，
所以OE / /PB,OF / /BC，故OE / /平面PBC,OF / /平面PBC , .................................... 2分
因此，平面OEF / /平面PBC ，又EF 平面OEF，所以EF / /平面PBC . ............ 4分
（2）连接OP，因为PA PB，所以OP AB，因为平面PAB 平面 ABCD，
所以OP 平面 ABCD，可得OF ,OB,OP两两垂直. .......................................................... 6分
以OF ,OB,OP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系.
z
P
不妨设 BC 1，则 AB 2，PA PB 2，
故OP 1，OB OF 1 . E
1 1 A O B y
所以B 0,1,0 ，F 1,0,0 ，E 0, , ，
2 2 D xF C
3 1
所以BF 1, 1,0 BE 0, , .............................................................................. 8分
2 2

设平面BEF的法向量为m x, y, z ，则 m BF 0,m BE 0 .
x y 0
故 ，取 x y 1，则 z 3，得m 1,1,3 .......................................... 10分
3y z 0
3 3 11
又因为平面 ABCD的法向量为n 0,0,1 ,故cos m,n . ................... 11分
11 11
3 11
由已知二面角E BF C为钝角,故二面角E BF C的余弦值为 . ................... 12分
11
20. 【解析】（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件 A ，
小张与小马比赛小张获胜胜记为事件B ,
小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且 A,B,C 相互独立.
设“比赛完 3局时，三人各胜 1局”记为事件M ，则
P(M ) P(A C B) P(A B C) P(A) P(C) P(B) P(A) P(B) P(C)
4 / 7
2 1 1 1 1 2 2
......................................................................................................... 5分
3 3 2 3 2 3 9
（2） X 的可能取值为 1，2 ................................................................................................... 6分
P(X 1) P(A C B) P(A B C) P(A) P(C) P(B) P(A) P(B) P(C)
2 1 1 1 1 1 1
..................................................................................................... 8分
3 3 2 3 2 3 6
5
P(X 2) 1 P(X 1) ........................................................................................... 10分
6
则 X 的分布列为
X 1 2
1 5
P
6 6
1 5 11
则 E(X ) 1 2 .............................................................................................. .12分
6 6 6
2
21. 【解析】（1）设动点M 的坐标为 x, y ，由已知得 x 4 2 x 2 y2 ........ 2分
2 2
2 2
化简得 x 2y 8 ，故曲线C的方程为 x y 1 ....................................................... 4分
8 4
2 2 2
（2）由已知 y x m m 0 与 x 2y 8联立，
2
消去 y整理得：x2 2mx m2 4 0 ,由已知得 0 ,且m 0 ,解得：m 2 2,0 0, 2 2
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则 x1 x2 2m x1x2 m
2 4 ① ......................... 6分
设P x0 , y0
y y y y
，由已知 k k 0，即 0 1 0 2PA PB 0，
x0 x1 x0 x2
2
又 2y x m， y x m，代入上式化简得： 1 1
2 2 22
2
y m 2x x x x x x 2x x 0 ② 0 0 1 2 0 1 2 1 22
由①②联立得： 2y0 x0 m 2x0 y0 4 2 0 ............................................................. 8分

又因为m 2 2,0 0,2 2 时恒成立，故 2y0 x0 0
x0 y0 2 2
x0 2 x 2
解得 0 或 ， ................................................................................................. 10分
y0 2 y0 2
5 / 7
所以P 2, 2 或P 2, 2 在椭圆C上。
故曲线C上存在定点P 2, 2 或P 2, 2 ，使得直线PA,PB的斜率和为零 ........... 12分
2
22. 【解析】（1）已知函数 f (x) ax (a 2)x ln x，定义域为 (0, )，
1 2ax2 (a 2)x 1 (ax 1)(2x 1)
f (x) 2ax (a 2) ， ...................................... 2分
x x x
1 1
①当0 a 2时， ，
a 2
1 1 1 1 1 1
x (0, ) ( , ) ( , )2 2 2 a a a
f ' (x) 0 0
f (x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
1 1 1 1
f x 在 0, ， , 上单调递增，在 , 上单调递减；
2 a 2 a
1
4(x )2
'
②当a 2时， f (x) 2 0，函数 f (x)在 0, 单调递增； ...................... 4分
x
1 1
③当a 2时，
a 2
1 1 1 1 1 1
x (0, ) ( , ) ( , )a a a 2 2 2
f ' (x) 0 0
f (x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
1 1 1 1
f x 在 0, ， , 上单调递增，在 , 上单调递减.
a 2 a 2
1 1 1 1
综上所述, 0 a 2时， f x 在 0, ， , 上单调递增，在 , 上单调递减；
2 a 2 a
a 2时， f (x)在 0, 单调递增；

1 1 1 1
a 2时， f x 在 0, ， , 上单调递增，在 , 上单调递减 ................. 6分
a 2 a 2
（2）若存在 x [1, )，使得 f (x) e 0成立，即使得 fmin (x) e .
由（1），可知当a 1时， f (x)在[1, )上单调递增， fmin (x) f (1) 2，
不满足 fmin (x) e； ........................................................................................................... 8分
6 / 7
1
当0 a 1时， 1
a
1 1 1
x (1, ) ( , )
a a a
f ' (x) 0
f (x) 递减 极小值 递增
1 1 1 1
fmin (x) f ( ) 1 ln a， 1 ln a e，即 ln a e 1 ................. 10分
a a a a
1 1 1 x 1
令 g(x) ln x （0 x 1）， g (x) 0，
x x x2 x2
1
g(x) ln x 在 0,1 上单调递减
x
1 1 1
又 g( ) e 1，由 ln a e 1，得0 a .
e a e
1
综上，实数a的取值范围为 (0, ] . ................................................................................. 12分
e
7 / 7