湖南省娄底市2021-2022学年高三上学期期末教学质量检测数学试题（扫描版含解析）

娄底市2021年下学期高三教学质量检测
数学参考答案
一、二、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 C B A A C B D B AB BD ABC AB
1.C　【解析】联立解得则M∩N＝{(1，2)}，故选C.
2．B　【解析】因为向量a，b共线，所以1×(－2)＝(2m－1)(2－m)，所以m＝0或m＝，因为m≠0，所以实数m的取值为.
3．A　【解析】∵z＝(3－i)·i＝1＋3i，∴z在复平面内对应的点为(1，3)，位于第一象限．故选A.
4．A　【解析】f＝为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除D，又f＝1，排除B，C，所以选A.
5．C　【解析】因为Tr＋1＝C＝Cx30－3ryr，所以a2＝C＝405.
6．B　【解析】将f(x)＝cos的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos的图象．因为x∈，所以<ωx－＋<ωπ＋，
因为g(x)在上单调递减，所以ωπ＋≤π，即0<ω≤，所以ω的最大值为，故选B.
7．D　【解析】双曲线的实半轴长为a＝2，右焦点为F2，
所以|MD|－＝|MD|－＝－2a
≤－2a＝－4＝－3，
当且仅当M，F2，D三点共线时取等号．
8．B　【解析】b＝2log4＝2log2＝，c＝2－＝，故b>c.
2<2＝2<3，即2<3，所以log42因为a＝log2＝log43，所以c在同一坐标系内分别作出函数y＝2x，y＝x2的图象得，当0x2成立，
运用此结论得，2>＝3，即2>3，
所以log42>log43，所以>log43，所以b>a，所以b>a>c.
9．AB　【解析】2011年中国与沿线国家贸易出口额最小，进口额最小的是2016年，所以A正确；
由已知的数据计算得，B正确；
2014年到2016年的出口额为6370.4，6145.8，5874.8，所以C错误；
又2011年至2016年的贸易顺差额依次为：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，2016年开始下降，所以D错误．故选AB.
10．BD　【解析】当n＝1时，3a1＝1，即a1＝，
当n≥2时，3nan＝n－(n－1)＝1，
所以an＝，当n＝1时，a1＝，也满足，所以an＝，所以A不正确；
故bn＝＝＝＝，
故Sn＝
＝，
因为Sn＝关于n为单调递增，所以B正确；
所以≤Sn<，但n只能取正整数，所以Sn不可以取到的任意一个值，所以C不正确；
若Sn<λ对一切正整数n都成立，则λ≥，所以D正确．
11．ABC　【解析】因为AB＝BC＝2，AC＝2，
所以cos∠ABC＝＝－，所以∠ABC＝，
过D作DE⊥BC于E.
因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AB，
假设DB，DE不重合，因为DB⊥AB，所以AB⊥平面DBC，
所以AB⊥BC，这样与∠ABC＝矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即DB⊥平面ABC，所以平面DAB⊥平面ABC，所以A，B正确；
三棱锥D－ABC的体积为××2×2×sin×4＝，所以C正确；
设三角形ABC的外心为F，过F作FO⊥平面ABC，设O为外接球的球心，
则FA＝FB＝2，OA＝OD，
所以＝，
所以＝，
解得OF＝2，所以外接球的半径为OA＝＝2，
所以三棱锥D－ABC的外接球的表面积为4π·OA2＝32π，所以D不正确．
12．AB　【解析】当x≤0时，f＝ln，单调递减，
当x>0时，f＝＋，f′＝x－＝，
当x>1时，f′>0，f单调递增，
当0所以在x＝1时，f取得最小值，f＝，
画出f的图象，
令f＝m，则方程为2m2－m＋t＝0，要想方程2f2－f＋t＝0有3个不同的实数根，结合f的图象可知需要满足：2m2－m＋t＝0有两个不同的实数根m1，m2，
满足：m1＝且0≤m2<或满足：m1>且m2<0，
令g＝2m2－m＋t，则2×－＋t＝0，即t＝－3，
当2m2－m－3＝0时，另外一个根为－1，不符合m1＝且0≤m2<1；
当m1>且m2<0时，必须所以t<－3，
综上，t<－3.故选AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6　【解析】由已知条件得，＋＝＋＝＋4≥2＋4＝6，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
14．(3，2)　【解析】点F的坐标为，因为|MF|＝3＋＝4，所以p＝2.
抛物线方程为y2＝4x，将x＝3代入方程，可得y0＝2(负值舍去)，
所以点M坐标为(3，2)．
15.　【解析】三角形的面积为的概率为＝.
16.π　【解析】设球心O到平面ABCD的距离为h，AD，BC的中点分别为F，E，
由已知条件得，四边形ABCD所在的截面圆的圆心G必在线段EF的延长线上，
因为GA＝GB，所以AF2＋GF2＝BE2＋EG2，
所以＋GF2＝＋，解得，GF＝，GA＝＝，
因为OP＝OA，所以＝，
因为GA＝GB，所以OG＝＝1，
所以球O的半径为＝＝，
所以球O的体积为＝π.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】(1)因为x2－19x＋70＝0，所以x＝5或14，(2分)
所以a2＝5，a5＝14；或a2＝14，a5＝5.(4分)
(2)设公差为d，
若a2＝5，a5＝14，则d＝3，
所以通项公式为an＝a2＋d＝3n－1；(7分)
若a2＝14，a5＝5，则d＝－3，
所以通项公式为an＝a2＋d＝－3n＋20.(10分)
18．【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得，＝，
所以AC＝，(2分)
所以△ABC的面积为AB·AC·sin∠BAC
＝AB··sin∠BAC(4分)
＝×2×·sin＝＋1.(6分)
(2)因为＝，所以可设BC＝2x，AC＝3x，
在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos∠ABC，(8分)
因为∠ABC＝，AB＝2，
所以＝＋22－2·2x·2cos，(10分)
解得x＝，
所以三角形的周长为5x＋2＝2＋2＋2.(12分)
19．【解析】(1)由已知得，家庭的可支配收入不存入银行的概率为1－20%＝80%.(4分)
(2)由已知得，X的值分别为10×5%×95%＋10××5%＝0.465，
10×2%＝0.2，10×3%＝0.3，(7分)
所以X的分布列为
X 0.465 0.2 0.3
P 60% 20% 20%
(10分)
所以数学期望为
E＝0.465×60%＋0.2×20%＋0.3×20%＝0.379(万元)．(12分)
20．【解析】(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为D1C1⊥平面BB1C1C，B1R 平面BB1C1C，
所以B1R⊥D1C1，(1分)
因为B1Q＝BR，B1C1＝BB1，
所以tan∠BB1R＝tan∠B1C1Q，所以B1R⊥C1Q，
因为C1Q∩D1C1＝C1，所以B1R⊥平面C1D1Q，(3分)
因为B1R 平面PB1R，所以PB1R⊥平面C1D1Q.(4分)
(2)以D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
P(0，0，a)，A(4，0，0)，S(0，5，a)，
所以＝，＝，(6分)
设平面APSB的法向量为n＝，
所以不妨设n＝，其中a∈，(7分)
由(1)得，平面C1D1Q的法向量为，
因为B1，R，所以＝，(8分)
则cos θ＝＝＝，(10分)
若cos θ＝，则＝，解得，a＝4，(11分)
因为0≤a≤4，所以cos θ＝成立．(12分)
21．【解析】(1)依题意得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1. (4分)
(2)联立椭圆C的方程＋＝1，与直线AB的方程y＝kx＋1，消去y得，
x2＋8kx－8＝0，(5分)
设A，B，
得x1＋x2＝－，x1x2＝－，(6分)
设M，所以x0＝＝－，y0＝kx0＋1＝，
所以直线MO的斜率为＝－，MO的方程为 y＝－x，(8分)
F的坐标为(1，0)，
过F且与AB垂直的直线方程为 y＝－，
由 y＝－与 y＝－x联立消去y得，P点的横坐标为4，(10分)
直线m的方程为 y＝，直线l的方程为y＝kx，
由 y＝与y＝kx联立消去y得，Q点的横坐标也为4，
所以直线PQ⊥x轴．(12分)
22．【解析】(1) 因为f(x)＝cos x－，所以f′＝－sin x＋，
因为x∈时，y＝－sin x，y＝分别单调递减，
所以f′＝－sin x＋在区间单调递减，(1分)
因为e2<8 ，所以f′＝e－－>e－－＝－>0，
因为 e3>16，所以f′＝e－－<－<0，
根据零点存在定理可得，f′(x)存在唯一零点x0∈，
使得f′(x0)＝e－x0－sin x0＝0，(3分)
所以当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
所以x0是函数f(x)在区间内唯一的极大值点．(5分)
(2)f′＝－sin x＋，x∈(0，2π)，
当x∈时，f′＝－sin x>0恒成立，
所以f(x)在x∈上单调递增．(6分)
当x∈时，f″＝－－cos x单调递增，
f″(0)＝－1－cos 0＝－2<0，
f″＝－e－－cos＝－e－>－e－>－>0，
根据零点存在定理可知，存在唯一x1∈使得f″(x1)＝－e－x1－cos x1＝0，
∴f′(x)＝e－x－sin x在上单调递减，在上单调递增，(8分)
f′(x1)＝e－x1－sin x1＝－cos x1－sin x1＝－sin<0，
f′(0)＝1>0，f′(π)＝e－π>0，(10分)
根据零点存在定理可知，存在x2∈，x3∈使得f′(x2)＝0，f′(x3)＝0，
所以f′(x)>0在、分别成立，f′(x)<0在上成立，(11分)
所以函数f在上的极值点的个数为2.(12分)