2021-2022学年湖南省张家界市慈利县九年级（上）期末数学试卷（word解析版）

2021-2022学年湖南省张家界市慈利县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共8道小题，合计24分）
1．关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（　　）
A．点（﹣2，1011）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
2．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10
3．已知α、β是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则α+β的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若，则＝（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD BC＝DE AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
8．两个反比例函敘和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的个数是（　　）
①△ODB的面积不变；②△OCA的面积不变；③△ODB与△OCA的面积相等；④四边形PAOB的面积不会发生变化
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2022﹣a﹣b＝　 　．
10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为　 　．
11．已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，则4a﹣3b+c＝　 　．
12．某山坡的坡度i＝1：3，若沿该山坡前进100m，则升高了　 　m．
13．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　 　米．
14．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则sin∠BCD的值是 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合）∠ADE＝∠B＝∠α，DE交AB于点E，且tan∠α＝，有以下的结论：①△BDE∽△CAD；②当CD＝9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤5，其中正确的结论是 　 　（填入正确结论的序号）．
三、计算题（本大题共8小题，共60分）
17．计算：sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．
19．以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是 　 　；
（4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有 　 　名．
20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
21．如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（C、D、B三点共线），测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8m
（1）求点D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高．
（注：结果保留根号）
22．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
23．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD＝CE，AD、BE相交于点M，求证：
（1）△AME∽△BAE；
（2）BD2＝AD×DM．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠CAB＝30°，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线CA方向运动，已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）BC＝　 　，AC＝　 　．
（2）当t为何值时，△APQ的面积为；
（3）在运动过程中，是否存在一个时刻t，使所得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当点P关于点Q的对称点P′落在△ACD的内部（不包括边上）时，请求出t的取值范围．（直接写出答案）
参考答案
一、选择题（每小题3分，共8道小题，合计24分）
1．关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（　　）
A．点（﹣2，1011）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
解：A．当x＝﹣2时，y＝＝﹣1011，所以点（﹣2，1011）不在它的图象上，故A说法错误；
B．由反比例函数y＝可知，x≠0，所以它的图象不经过原点，故B说法错误；
C．k＝2022＞0，则图象在第一、三象限，故C说法正确；
D．k＝2022＞0，图象在一、三象限内，y随x的增大而减小，所以当x＞0时，y随x的增大而减小，故D说法错误；
故选：C．
2．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10
【分析】根据配方法即可求出答案．
解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：B．
3．已知α、β是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则α+β的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
解：∵α、β是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣＝1．
故选：C．
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】证明△BAC∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，得到答案．
解：∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∴∠B＝∠DAC，又∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴△BAC∽△ADC，
∴＝＝，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD BC＝DE AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD BC＝DE AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα＝，
∴A′C＝4sinα，
故选：B．
8．两个反比例函敘和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的个数是（　　）
①△ODB的面积不变；②△OCA的面积不变；③△ODB与△OCA的面积相等；④四边形PAOB的面积不会发生变化
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由反比例函数比例系数k的几何意义判断各结论即可．
解：由题意可得，△ODB的面积＝，△OCA的面积＝，矩形CODP的面积＝2，
∴△ODB的面积＝△OCA的面积，
∴四边形PAOB的面积＝矩形CODP的面积﹣△ODB的面积﹣△OCA的面积＝2﹣﹣＝1，
∴①②③④均正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2022﹣a﹣b＝　2021　．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2022﹣a﹣b变形为2022﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
所以a+b＝1，
所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故答案为：2021．
10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为　﹣1　．
【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出a的值．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，
∴|a|﹣1＝0，
即a＝±1，
∵a﹣1≠0
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
11．已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，则4a﹣3b+c＝　15　．
【分析】设a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入求出k，即可求出答案；把a、b、c的值代入，求出即可．
解：（1）设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝15，
∴2k+9k﹣8k＝15，
∴k＝5，
∴a＝10，b＝15，c＝20；
∵a＝10，b＝15，c＝20，
∴4a﹣3b+c
＝4×10﹣3×15+20
＝15．
故答案为：15．
12．某山坡的坡度i＝1：3，若沿该山坡前进100m，则升高了　　m．
【分析】根据题意作出图形，可得BC：AB＝1：3，设BC＝x，AB＝3x，根据勾股定理求出AC，然后根据AC＝100m，求出x的值．
解：某山坡的坡度i＝1：3，若沿该山坡前进100m，设BC＝x，AB＝3x，
则AC＝＝x＝100，
解得：x＝10，
则升高了10m．
故答案为：10．
13．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　8　米．
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到＝代入数值求的CD＝8．
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝即＝
解得：CD＝8米．
14．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为　　．
【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可．
解：设AB＝AC＝1，BC＝，
过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
则BD＝BC＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则sin∠BCD的值是 　　．
【分析】先利用勾股定理求出AB，再利用同角的余角相等说明∠BCD与∠A的关系，最后利用∠A的正弦得结论．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5．
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
∴sin∠BCD＝sinA＝＝．
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合）∠ADE＝∠B＝∠α，DE交AB于点E，且tan∠α＝，有以下的结论：①△BDE∽△CAD；②当CD＝9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤5，其中正确的结论是 　①②③　（填入正确结论的序号）．
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由CD＝9，则BD＝15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝180°﹣α﹣∠BDE，
∵∠BED＝180°﹣α﹣∠BDE，
∴∠BED＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD；
故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE＝∠B＝α，tan∠α＝，
∴，
∴，
∴cosα＝，
∵AB＝AC＝15，
∴BG＝12，
∴BC＝24，
∵CD＝9，
∴BD＝15，
∴AC＝BD．
∵∠ADE+∠BDE＝∠C+∠DAC，∠ADE＝∠C＝α，
∴∠EDB＝∠DAC，
在△ACD与△DBE中，
，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正确；
③当∠BED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠BED＝90°，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α，
∵tan∠α＝，AB＝15，
∴，
∴BD＝12．
当∠BDE＝90°时，△BDE∽△CAD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠CAD＝90°，
∵∠C＝α且cosα＝，AC＝15，
∴cosC＝，
∴CD＝．
∵BC＝24，
∴BD＝24﹣＝，
即当△DCE为直角三角形时，BD＝12或．
故③正确；
④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC＝24，
设CD＝y，BE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2﹣24y+144＝144﹣15x，
即（y﹣12）2＝144﹣15x，
∴0＜x≤，
∴0＜BE≤．
故④错误．
故正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
三、计算题（本大题共8小题，共60分）
17．计算：sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可得sin60°、tan30°、cos30°、tan45°的值，代入原式可得答案．
解：原式＝（）2﹣×+1
＝．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
解：（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）
＝（m+1）2，
∵无论m取何值，（m+1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，
∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，
解得：m＝﹣3或m＝﹣1
19．以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝　50　，n＝　10　；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是 　72°　；
（4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有 　180　名．
【分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值；
（2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
解：（1）m＝15÷30%＝50，
n%＝5÷50×100%＝10%，
故答案为：50，10；
（2）补全的条形统计图如图所示；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（4）估计“总线”专业的毕业生有：600×30%＝180（名），
故答案为：180．
20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据第四个月的进馆人次数＝第三个月的进馆人次数×（1+增长率），可求出第四个月的进馆人次数，再与1000进行比较后即可得出结论．
解：（1）设进馆人次的月平均增长率是x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率是20%．
（2）能，理由如下：
720（1+20%）＝864（人次），864＜1000，
∴能够接纳．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
21．如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（C、D、B三点共线），测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8m
（1）求点D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高．
（注：结果保留根号）
【分析】（1）作DE⊥AC于点E，根据sinC＝即可得DE；
（2）由∠C＝45°可得CE，由tan∠EAD＝可得AE，即可得AC的长，再在Rt△ABC中，根据sinC＝即可得AB的长．
解：（1）如图，作DE⊥AC于点E，
再Rt△CDE中，sinC＝，
∴＝，
∴DE＝4，
答：点D到CA的距离为4 m；
（2）在Rt△CDE中，∠C＝45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝4，
∵∠ADB＝75°，∠C＝45°，
∴∠EAD＝∠ADB﹣∠C＝30°，
∴在Rt△ADE中，tan∠EAD＝，
∴＝，
∴AE＝4，
∴AC＝AE+CE＝4+4，
在Rt△ABC中，sinC＝，
∴＝，
∴AB＝4+4，
答：旗杆AB的高为（4+4）m．
22．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（n，﹣4）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
23．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD＝CE，AD、BE相交于点M，求证：
（1）△AME∽△BAE；
（2）BD2＝AD×DM．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得出AB＝BC、∠ABD＝∠C，结合BD＝CE即可证出△ABD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质可得出∠CBE＝∠BAD，通过角的计算可得出∠EAM＝∠EBA，再结合∠AEM＝∠BEA即可证出△AME∽△BAE；
（2）根据相似三角形的性质可得出∠AME＝∠BAE＝60°，由对顶角相等可得出∠BMD＝60°，再结合∠ABD＝60°、∠BDM＝∠ADB，即可证出△ABD∽△BMD，根据相似三角形的性质可证出BD2＝AD×DM．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°．
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠BAD，
∴∠EAM＝∠EBA．
又∵∠AEM＝∠BEA，
∴△AME∽△BAE．
（2）∵△AME∽△BAE，
∴∠AME＝∠BAE＝60°，
∴∠BMD＝60°．
又∵∠ABD＝60°，∠BDM＝∠ADB，
∴△ABD∽△BMD，
∴BD2＝AD×DM．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠CAB＝30°，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线CA方向运动，已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）BC＝　3　，AC＝　6　．
（2）当t为何值时，△APQ的面积为；
（3）在运动过程中，是否存在一个时刻t，使所得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当点P关于点Q的对称点P′落在△ACD的内部（不包括边上）时，请求出t的取值范围．（直接写出答案）
【分析】（1）根据矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；
（3）分三种情况，利用翻折的性质解答即可；
（4）根据对称的性质解答即可．
【解答】（1）解：∵矩形ABCD，AB＝3，∠CAB＝30°，
∴BC＝3，AC＝6；
故答案为：3；6；
（2）解：过点Q作QH⊥AB，垂足为H，
由题意知，AP＝t，AQ＝6﹣2t，
在Rt△AQH中，∠QAP＝30°，
∴QH＝AQ＝3﹣t，
∴，
解得：t1＝1，t2＝2；
（3）解：①当沿PQ翻折时，则AP＝AQ，则，
解得：t＝，
②当沿AP翻折时，则AQ＝QP，过点Q作QM⊥AB，垂足为M，
则AM＝AP＝t，
在Rt△AQM中，∠QAM＝30°，
∴，
解得：t＝2，
③当沿AQ翻折时，则AP＝PQ，
过点P作PM⊥AC，垂足为M，
则AM＝AQ＝3﹣t，
在Rt△AMP中，∠PAM＝30°，
∴3﹣t＝，
解得：t＝，
综上所述，t的值为12﹣6或2或；
（4）由题意知，AP＝t，AQ＝6﹣2t，
∴P'在△ACD中，满足，
∴1.5＜t＜2．