2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校九年级（上）期末数学试卷（word解析版）

2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校九年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（每小题3分，共24分）.
1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3 D．y＝x3+x+1
2．已知2x＝3y（y＞0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件是随机事件的是（　　）
A．长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形
B．太阳从东边升起
C．平面内两直线相交，对顶角相等
D．明天会下雨
4．下列函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝x C．y＝x2 D．y＝﹣（x+1）2
5．不解方程，判别方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
6．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
7．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
二．填空题（每小题3分，共18分）
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．计算的结果是 　 　．
11．抛物线y＝2（x+5）2﹣3的顶点坐标为 　 　．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠C＝　 　．
13．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的和弦AB所围成的弓形面积等于 　 　．
14．二次函数y＝2（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过A（﹣2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是 　 　．
三．解答题
15．计算：．
16．不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，请用画树状图（或列表）的方法，求一次摸出两个球“都是白球”的概率．
17．某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长．已知2019年教育支出约80亿元，2021年教育支出约为96.8亿元，求2019年到2021年教育支出的年平均增长率．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（﹣1，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣3≤x＜3时，则函数值y的取值范围是 　 　．
19．为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级600名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试．为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表：
分数段 50.5﹣60.5 60.5﹣70.5 70.5﹣80.5 80.5﹣90.5 90.5﹣100.5
频数 18 30 50 a 22
所占百分比 9% 15% 25% b% c
请根据尚未完成的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 　 　，表中c＝　 　；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若成绩小于或者等于70分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 　 　人．
20．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则的长为 　 　．
21．A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．
（1）前40天中，每天接种的人数为 　 　万人．
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
22．【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）
【推论证明】已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．
求证：线段AB是⊙O的直径．
请你结合图①写出推论的证明过程．
【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为 　 　．
【拓展应用】如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝，则DE的长为 　 　．
23．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，过点P作PM⊥PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）．
（1）线段CD＝　 　．
（2）当点P在线段BC上时，PC＝　 　．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在△BCD的内部时，求t的取值范围；
（4）连结CM，当△CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
24．已知抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m为常数，且m≠0）．
（1）抛物线的对称轴为 　 　．
（2）当此函数经过（3，3）时，求此函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围．
（3）当﹣1≤x≤2时，y有最小值﹣3，求y的最大值．
（4）设直线x＝﹣1分别与抛物线交于点M、与x轴交于点N，当点M、N不重合时，过M作y轴的垂线与此函数图象的另一个交点为M′．若MM′＝3MN，直接写出m的值．
参考答案
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3 D．y＝x3+x+1
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是二次函数，故本选项符合题意；
D．是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．已知2x＝3y（y＞0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的基本性质对各选项进行判断．
解：∵2x＝3y，
∴＝，＝．
故选：A．
3．下列事件是随机事件的是（　　）
A．长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形
B．太阳从东边升起
C．平面内两直线相交，对顶角相等
D．明天会下雨
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
B、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；
C、平面内两直线相交，对顶角相等，是必然事件，不符合题意；
D、明天会下雨，是随机事件，符合题意；
故选：D．
4．下列函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝x C．y＝x2 D．y＝﹣（x+1）2
【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可判断．
解：A、∵k＜0，∴y在第四象限内y随x的增大而增大；
B、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大；
C、∵y＝x2，∴对称轴x＝0，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．
D、∵y＝﹣（x+1）2，对称轴为x＝﹣1，a＜0，∴当x＞﹣1，y随着x的增大而减小，所以x＞0时，y随x的增大而减小．
故选：D．
5．不解方程，判别方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＞1，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
解：a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴方程x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【分析】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．
解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
7．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝．
解得x＝6．
即蜡烛火焰的高度是6cm．
故选：A．
8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共18分）
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
10．计算的结果是 　3　．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案．
解：原式＝＝3，
故答案为：3．
11．抛物线y＝2（x+5）2﹣3的顶点坐标为 　（﹣5，﹣3）　．
【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
解：∵抛物线y＝2（x+5）2﹣3，
∴顶点坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠C＝　20°　．
【分析】连接BD，求出∠ABD＝20°可得结论．
解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠C＝∠ABD＝20°，
故答案为：20°．
13．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的和弦AB所围成的弓形面积等于 　2π﹣4　．
【分析】直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案；
解：由题意得，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×2×4＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
14．二次函数y＝2（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过A（﹣2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是 　﹣1＜h＜0　．
【分析】根据抛物线开口向上，距离对称轴越远的点的y值越大求解．
解：如图，
∵抛物线开口向上，﹣2＜0＜2，y2＜y1＜y3，
∴抛物线对称轴直线x＝h在点A，C之间，
即﹣2＜h＜2，
∵y3＞y1，
∴2﹣h＞h﹣（﹣2），
解得h＜0，
∴点B在对称轴右侧，
∵y1＞y2，
∴h﹣（﹣2）＞0﹣h，
解得h＞﹣1，
∴﹣1＜h＜0．
故答案为：﹣1＜h＜0．
三．解答题
15．计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝2﹣2×﹣1+
＝2﹣﹣1+
＝1﹣+．
16．不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，请用画树状图（或列表）的方法，求一次摸出两个球“都是白球”的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的情况数，其中一次摸出两个球“都是白球”的有2种，
则一次摸出两个球“都是白球”的概率是＝．
17．某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长．已知2019年教育支出约80亿元，2021年教育支出约为96.8亿元，求2019年到2021年教育支出的年平均增长率．
【分析】设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x，利用2021年教育支出金额＝2019年教育支出金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x，
依题意得：80（1+x）2＝96.8，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（﹣1，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣3≤x＜3时，则函数值y的取值范围是 　﹣2≤y＜6　．
【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+1）2﹣2，将点（1，0）代入上式即可求解；
（2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围．
解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+1）2﹣2，
x＝1时，y＝a（1+1）2﹣2＝0，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣2；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2，
当x＝3时，y＝6，
∴当﹣3≤x＜3时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，
故答案为：﹣2≤y＜6．
19．为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级600名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试．为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表：
分数段 50.5﹣60.5 60.5﹣70.5 70.5﹣80.5 80.5﹣90.5 90.5﹣100.5
频数 18 30 50 a 22
所占百分比 9% 15% 25% b% c
请根据尚未完成的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 　200　，表中c＝　11%　；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若成绩小于或者等于70分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 　144　人．
【分析】（1）根据各个组的频数、频率，由频率＝可求出样本容量，进而求出c的值；
（2）求出a的值即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中，“需要加强锻炼和提高”的学生所占的百分比，估计总体中“需要加强锻炼和提高”学生所占的百分比，进而求出需要加强锻炼和提高的人数．
解：（1）18÷9%＝200（人），c＝22÷200＝11%，
故答案为：200，11%；
（2）200﹣18﹣30﹣50﹣22＝80（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）600×＝144（人），
故答案为：144．
20．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则的长为 　π　．
【分析】（1）连接OD，由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1＝∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）根据∠3＝∠CAD＝30°，可以求出∠BOD＝120°，根据弧长公式求弧BD即可．
【解答】（1）证明：如图所示：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）解：由（1）得：∠3＝∠CAD＝30°，
∵∠3＝∠B，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OB＝2，
∴＝＝π．
故答案为：π．
21．A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．
（1）前40天中，每天接种的人数为 　3　万人．
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
【分析】（1）由图象求出即可；
（2）①把（1）中所得的a的值代入y＝x2+x，求得y值，与125比较即可得出答案；②由题意前40天B市接种人数少于A市，由待定系数法求得当40≤x≤100时A市接种人数的函数关系式，结合y＝y＝x2+x可得关于x的一元二次方程，解方程并根据x的取值范围作出取舍即可．
解：（1）（125﹣5）÷40＝3，
故答案为：3；
（2）①把a＝40代入y＝x2+x，
得y＝×402+×40＝86＜125，
答：第a天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；
②由题意前40天B市接种人数少于A市，
设A市接种人数与时间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，125），（100，215）代入，得：，
解得：，
∴y＝x+65（40≤x≤100），
∴当A，B两市接种人数恰好相同时，x+65＝y＝x2+x，
解得：x1＝﹣25（舍去），x2＝52，
答：第52天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同．
22．【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）
【推论证明】已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．
求证：线段AB是⊙O的直径．
请你结合图①写出推论的证明过程．
【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为 　　．
【拓展应用】如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝，则DE的长为 　1+　．
【分析】（1）连接OC，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）连接AB，由圆周角定理可得出∠ADB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）连接AE，过点C作CF⊥ED于点F，由圆周角定理可得出∠EAC＝∠EDC＝30°，∠CED＝∠DAC＝45°，由直角三角形的性质求出CE和CD的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠ACB＝90°，
∴OC＝OA＝OB＝AB，
∴点C在以AB为直径的⊙O上；
（2）解：连接AB，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴AB＝2，∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝＝1，
∴AD＝＝＝；
故答案为：；
（3）连接AE，过点C作CF⊥ED于点F，
∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
由（2）可知A，E，C，D在以AC为直径的圆上，
∵∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝∠EDC＝30°，
∵∠DAC＝45°，
∴∠CED＝∠DAC＝45°，
∵AB＝AC＝2，
∴CE＝，，
∴EF＝FC＝1，CF＝，
∴DF＝，
∴DE＝EF+DF＝1+．
故答案为：1+．
23．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，过点P作PM⊥PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）．
（1）线段CD＝　4　．
（2）当点P在线段BC上时，PC＝　5t﹣5　．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在△BCD的内部时，求t的取值范围；
（4）连结CM，当△CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB，得BD＝CD＝AB＝3，即得CD＝＝4；
（2）用P运动的路程减去AC即得PC的长度；
（3）当t＜1时，若M落在BC上，可得PM＝8t，由△CPM∽△CAB，即有＝，解得t＝，故点M落在△BCD的内部，应满足0＜t＜，当1＜t＜2时，同理可得点M落在△BCD的内部，应满足＜t＜2，
（4）①当t＜1时，若∠CMP＝90°，即M落在CD上，由△CPM∽△CAD，有＝，可解得t＝，若∠PCM＝90°，＝，可解得t＝，故＜t＜时，△CPM为锐角三角形，②当1＜t＜2时，同理可得＜t＜．
解：（1）∵AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB，
∴BD＝CD＝AB＝3，
CD＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）如图：
∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动，运动时间为t（s），
∴PC＝5t﹣AC＝5t﹣5，
故答案为：5t﹣5；
（3）当t＜1时，若M落在BC上，如图：
∵sinA＝＝＝，
∴＝，
∴PQ＝4t，
∵PM＝2PQ，
∴PM＝8t，
∵PM⊥PQ，PQ⊥AB，
∴PM∥AB，
∴△CPM∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得t＝，
由图可知，点M落在△BCD的内部，此时应满足0＜t＜，
当1＜t＜2时，若M落在AC上，如图：
由（2）知PC＝5t﹣5，
∴BP＝BC﹣PC＝10﹣5t，
同理可得PQ＝8﹣4t，PM＝16﹣8t，
而＝，即＝，
解得t＝，
由图可知，点M落在△BCD的内部，此时应满足＜t＜2，
综上所述，点M落在△BCD的内部0＜t＜或＜t＜2；
（4）①当t＜1时，
若∠CMP＝90°，即M落在CD上，如图：
由（3）知PM＝8t，
∵PM∥AB，
∴△CPM∽△CAD，
∴＝，即＝，
解得t＝，
若∠PCM＝90°，如图：
∵∠CPM＝∠A，∠PCM＝∠ADC＝90°，
∴△CPM∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得t＝，
∴＜t＜时，△CPM为锐角三角形，
②当1＜t＜2时，
若∠PCM＝90°，如图：
同理可得：＝，即＝，
解得t＝，
若∠CMP＝90°，即M在CD上，如图：
同理可得＝，即＝，
解得t＝，
∴＜t＜时，△CPM为锐角三角形，
综上所述，当△CPM为锐角三角形时，t的范围是＜t＜或＜t＜．
24．已知抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m为常数，且m≠0）．
（1）抛物线的对称轴为 　直线x＝1　．
（2）当此函数经过（3，3）时，求此函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围．
（3）当﹣1≤x≤2时，y有最小值﹣3，求y的最大值．
（4）设直线x＝﹣1分别与抛物线交于点M、与x轴交于点N，当点M、N不重合时，过M作y轴的垂线与此函数图象的另一个交点为M′．若MM′＝3MN，直接写出m的值．
【分析】（1）由y＝m（x﹣1）2+2﹣m，即可求对称轴；
（2）将点（3，3）代入y＝mx2﹣2mx+2，即可求解；
（3）分两种情况：a＞0和a＜0分别求y的最大值即可；
（4）由题意求出M（﹣1，3m+2），N（﹣1，0），M'（3，3m+2），根据题意列出方程4＝3|3m+2|，求出m的值即可．
解：（1）∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，
∴对称轴为直线x＝1，
故答案为：直线x＝1；
（2）∵函数经过（3，3），
∴3＝9m﹣6m+2，
∴m＝，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x≥1时y随x的增大而增大；
（3）当a＞0时，
当x＝1时，y有最小值，
∴﹣m+2＝﹣3，
∴m＝5，
当x＝﹣1时，y有最大值，
∴3m+2＝17，
∴y的最大值为17；
当a＜0时，
当x＝﹣1时，y有最小值，
∴3m+2＝﹣3，
∴m＝﹣，
当x＝1时，y有最大值，
∴﹣m+2＝，
∴y的最大值为；
综上所述：当a＞0时，y的最大值为17；当a＜0时，y的最大值值为；
（4）由题意可知M（﹣1，3m+2），N（﹣1，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴M'（3，3m+2），
∴MM'＝4，MN＝|3m+2|，
∵MM′＝3MN，
∴4＝3|3m+2|，
∴m＝﹣或m＝﹣．