金台区2021-2022学年度第一学期期末检测题
高二理科数学（选修2-1）
2022.1
注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。
2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.为了防控新冠病毒肺炎疫情，满洲里市疾控中心检测人员对外来入满人员进行核酸检
测，人员甲、乙均被检测，设命题为“甲核酸检测结果为阴性”，命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（ ）
A． B． C． D．
5.某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6.若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7.如图，在正方体中，与直线和都垂直，则直线与
的关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．垂直不相交 D．垂直且相交
8.下列命题中，真命题的个数为（ ）
A．是为双曲线的充要条件；
B．若，则；
C．若则；
D．椭圆上的点，距点最近的距离为；
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，已知矩形，为平面外一点，且平面，，
分别为，上的点，且，
，，
（ ）
A. B. C．1 D.
11.如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点,若且，则抛物线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且
时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“矩形的对角线相等”的否命题是_________________________.
14.已知点,平面过原点,且垂直于向量，则点到平面的距离是_________.
15.如图，把椭圆的长轴分成8等份，
过每个分点，作轴的垂线交椭圆的上半部分于
七个点，是椭圆的一个
焦点，则=_________.
16.如图，三棱锥中，、、两两垂直，
且.给出下列四个命题：
①；②；
③和的夹角为；
④三棱锥的体积为.
其中所有正确命题的序号为______________.
解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
注意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.
17.（本小题满分17分）
已知：（为常数），：代数式有意义．
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.（本小题满分17分）
如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，E为PD的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，菱形的面积
为，求二面角的余弦值.
19.（本小题满分18分）
已知离心率为的椭圆： 经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的直线：交椭圆于两点，求面积的最大值.
20.（本小题满分18分）
“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，，，立柱.
（1）求立柱及横梁的长；
（2）求抛物线的方程和桥梁的拱高.
图① 图②
高二理科数学检测题 第2页 共3页
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高二理科数学（选修2-1）
2022.1
注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。
2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D D D B B A A B D C
考查内容：命题的否定；
命题来源：课本14页，习题1题改编；
课标要求：能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
考查内容抛物线的性质；
命题来源：课本74页，2题改编；
课标要求：了解抛物线的简单几何性质。
考查内容：两向量的夹角；
命题来源：课本38页，5题改编；
课标要求：掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
考查内容：“或”，“且”，“非”的定义；
命题来源：课本15页；
课标要求：通过对典型数学命题的梳理，理解“或”，“且”，“非”的意义。
考查内容：双曲线的渐近线的定义；
命题来源：课本80页；
课标要求：了解双曲线的几何图形与标准方程，以及它们的简单几何性质。
考查内容：点与椭圆的位置关系；
命题来源：课本86页，2题改编；
课标要求：经历从具体的情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。
考查内容：异面直线的位置关系；
命题来源：课本47页，5题改编；
课标要求：能用向量语言表述直线与直线的垂直、平行以及夹角关系。
考查内容：双曲线、椭圆等知识；
命题来源：分别选自96页，2题；5页2题；38页3题；69页例6；
课标要求：通过对典型数学命题的梳理，理解真假命题的意义。
考查内容：圆锥曲线的基本计算；
命题来源：课本70页，6题改编；
课标要求：通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
考查内容：空间向量的基本运算；
命题来源：课本32页，4题改编；
课标要求：掌握空间向量的线性运算及坐标表示。
考查内容：抛物线的定义；
命题来源：课本73页，例3，改编；
课标要求：了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
考查内容：轨迹法的证明及双曲线的性质；
命题来源：课本63页证明过程；
课标要求：了解双曲线的简单应用。
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
考查内容：否命题的定义；
命题来源：课本5页，1（2）题改编；
课标要求：能正确写出命题的否命题。
答案：否命题：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
考查内容：点到平面的距离公式；
命题来源：课本50页，练习2题；
课标要求：能用向量方法解决点到平面的距离问题。
答案：
考查内容：椭圆的性质（对称性）；
命题来源：课本67页；
课标要求：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。
答案：28
考查内容：空间向量的坐标运算；
命题来源：课本42页4题改编；
课标要求：掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
答案：①②③
解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
注意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.
17.（本小题满分17分，书写分1分）
考查内容：命题的真假性及“条件”的简单应用
命题来源：课本10页1题，18页2题改编；
课标要求：通过对典型数学命题的梳理，理解“充分必要条件”，“‘或’‘且’‘非’的真假性”的意义。
解：：等价于：， ………2分
即：. ………3分
：代数式有意义等价于：， ………5分
即. ………6分
（1）时，即为， ………7分
若“”为真命题，则，得：. ………9分
故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，. ………10分
（2）记集合，, ………12分
若是成立的充分不必要条件，则， ………14分
因此：， ，故实数的取值范围是． ………16分
18.（本小题满分17分，书写分1分）
考查内容：线面平行的判定，二面角的求解；
命题来源：课本43页夹角的计算；
课标要求：借助长方体，通过直观感知，了解空间中线面平行的判断方法，并能进行简单的证明；能用向量方法解决简单的夹角问题。
解：（1）连接交于点，连接， ………1分
则、E分别为、的中点，
所以， ………3分
又平面平面,
所以平面. ………5分
（2）由菱形的面积为，，易得菱形边长为，
取中点，连接，因为，所以，
以点为原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. ………7分
则,
所以, ………8分
设平面的法向量，由,
得，令，则, ………10分
所以一个法向量， ………11分
因为，，，平面PAD，
所以平面PAD， ………12分
所以平面的一个法向量, ………13分
所以， ………15分
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.……16分
（本小题满分18分，书写分1分）
考查内容：椭圆的标准方程，几何性质及直线与椭圆的位置关系；
命题来源：2020年全国卷Ⅲ改编；
课标要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
解：（1）因为,所以设，则， ………2分
即，椭圆E的方程为. ………3分
代入点A的坐标得， ………4分
所以椭圆E的方程为. ………5分
（2）设点B，C的坐标分别为，
由 得：， ………6分
即， ………7分
，， ………8分
，. ………9分
………11分
………12分
点A到直线的距离， ………14分
所以，的面积
， ………16分
当且仅当，即时等号成立.
所以当时，面积的最大值为. ………17分
（本小题满分18分，书写分1分）
考查内容：抛物线的标准方程的求解及简单应用；
命题来源：课本73页例4改编；
课标要求：了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，并能解决一些简单的数学问题
与实际问题。
解：（1）由题意，知, ………1分
因为ABFM是等腰梯形，由对称性，知:
, ………2分
,
所以MF = CE = 36m. ………4分
（2） 由（1）知点M的横坐标为-18，
则N的横坐标为 -（18-5）= -13. ………6分
设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，
由图形，知. ………8分
设抛物线的方程为
………10分
两式相减，得2p(y2-y1)=182-132=155, ………11分
解得：2p=100,故抛物线的方程为x2= -100y. ………13分
因此，当x= -18时， ………15分
………16分
所以桥梁的拱高OH = 3.24 + 4 = 7.24 m . ………17分
1
