2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 6》2矩形的判定与性质 解答题专题提升训练(word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 6》2矩形的判定与性质 解答题专题提升训练(word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-23 21:22:24 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF．请你判断：AE与CF的关系，并加以证明，（友情提示：不要漏解!）
2．如图，已知矩形ABCD，对角线BD的垂直平分线分别交AD，BC和BD于点E，F，O．EF，DC的延长线交于点G，且OD＝CG，连接BE．
（1）求证：△DOE≌△GCF；
（2）求证：BE平分∠ABD．
3．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．如图．
（1）∠BEC＝ °；
（2）在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．
（1）求证：AN＝BN；
（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．
5．如图，已知矩形ABCD中，E、F是AB上两点，且AF＝DE，求证：∠DEB＝∠CFA．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）连接DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，求的值．
7．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OB．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BA延长线上，且AE＝AB，连接DE，求证：DE＝AC．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
10．已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长．
11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
12．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F．
（1）求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
13．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．
14．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？
16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
17．如图，将 ABCD的边DA延长到点F，使DA＝AF，CF交边AB于点E．
（1）求证：BE＝AE；
（2）若2∠D＝∠BEF，求证：四边形AFBC是矩形．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线上，且BE＝BC，DE＝DC，AB、DE相交于点O，连接AE．求证：四边形AEBD是矩形．
19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
20．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
21．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠ACD＝90°，CF＝3，DF＝4，求AD的长度．
23．已知：如图，点E为 ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
参考答案
1．解：AE与CF相等且平行；或相等且共线．理由如下：
（1）数量关系：AE＝CF．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE＝CF．
（2）当点E与点F不在BD的中点时，AE∥FC．
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
（3）当点E和点F在BD的中点时，AE与CF共线．
2．证明：（1）∵EF是BD垂直平分线，
∴∠EOD＝90°，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∴∠DEO＝∠GFC，∠DEO＝∠BFO，∠FCG＝90°，
∴∠EOD＝∠FCG，
在△DOE和△GCF中，，
∴△DOE≌△GCF（AAS）；
（2）由（1）得：△DOE≌GCF，
∴OE＝CF，
∵EF是BD垂直平分线，
∴OB＝OD，
在△DOE和△BOF中，，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF，
∵AD＝BC，
∴AE＝CF＝OE，
∴BE平分∠ABD．
3．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝45°，
故答案为：45；
（2）△ADE≌△ECF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．
∵FE⊥AE，
∴∠AEF＝90°．
∴∠AED+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠FEC＝∠EAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°．
∴∠BEC＝45°．
∴∠EBC＝∠BEC．
∴BC＝EC．
∴AD＝EC．
在△ADE和△ECF中，，
∴△ADE≌△ECF（ASA）．
4．解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OB，
∵AN∥BD，BN∥AC，
∴四边形OANB是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴ OANB是菱形，
∴AN＝BN，
（2）由（1）可知：
BN＝OB＝OD，
∴BD＝2BN，
∵DN⊥NB，
∴∠DNB＝90°，
∴∠BDN＝30°，
∵BN∥AC，
∴∠DFO＝∠DNB＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．
答：∠DOC的度数为120°．
5．证明：∵ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D．
∵AF＝DE，
∴AE＝DF．
∴△ABE≌△DCF．
∴∠AEB＝∠DFC．
∴∠DEB＝∠CFA．
6．（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC．
即∠ADB＝90°．
∴四边形ADBE为矩形．
（2）解：∵在矩形ADBE中，AO＝，
∴DE＝AB＝5．
∵D是BC的中点，BC＝8，
∴AE＝DB＝4，
∴．
7．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6
∴AE＝3
8．（1）证明：在 ABCD中，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵ ABCD是矩形，
∴CD＝AB，CD∥BE，
∵AE＝AB，
∴CD＝AE，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC．
9．解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝OD＝AD＝1，
答：OE的长度为 1．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC＝AB，DC∥AB，
∴∠CDF＝∠DBA．
∵∠ECD＝∠DBA，
∴∠ECD＝∠CDF，
∴EC∥BF，
∵AF⊥BD于点F，∠CED＝90°，
∴∠BFA＝∠CED＝90°．
在△ECD和△FBA中，，
∴△ECD≌△FBA（AAS），
∴EC＝BF，
又∵EC∥BF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝5，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝90°＝∠BAD，
∵∠ABF＝∠ABD，
∴，
∴EC＝BF＝．
11．解：（1）OE＝OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCB，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
由（1）得：四边形BECD为平行四边形，
∴EF＝DF，BF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D＝90°，
即可得出平行四边形ABCD是矩形．
14．证明：（1）∵AB∥CF
∴∠EAD＝∠EFC，∠ADE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌FCE
∴AD＝CF
（2）结论：边形CDBF是矩形．
理由：∵AD＝CF
∵CD是AB边上的中线
∴AD＝BD
∴BD＝CF
又∵BD∥CF
∴四边形CDBF是平行四边形
∵CA＝CB，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°
∴四边形CDBF是矩形．﹣
15．解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，
∴AD＝BC＝12cm．
当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．
①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，
解得，t＝；
②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，
解得 t＝4；
③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，
解得 t＝；
④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，
解得，t＝12．
综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM．
∴NE＝FM，NE∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM．
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF．
∴平行四边形MENF是菱形．
∴EF与MN互相垂直．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∵DA＝AF
∴AF＝BC，且AD∥BC
∴四边形ACBF是平行四边形
∴BE＝AE，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠D＝∠ABC
∵2∠D＝∠BEF，且∠BEF＝∠ABC+∠ECB
∴2∠ABC＝∠ABC+∠ECB
∴∠ECB＝∠ABC
∴CE＝BE
∵四边形ACBF是平行四边形
∴AE＝BE，CE＝EF
∴AB＝CF，且四边形ACBF是平行四边形
∴平行四边形ACBF是矩形．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，
∵BC＝BE，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵DE＝DC，
∴AB＝ED，
∴平行四边形ADBE是矩形．
19．证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
20．证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°，．
在Rt△BFE中，．
22．（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝5，∠AEC＝∠F＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠EAC+∠ACE＝∠ACE+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴CE＝，
∴EF＝CE+CF＝，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）解：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠GCE，
∵∠BEA＝∠GEC，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴GE＝CG，
∵DF∥AC，
∵DG＝CG，
∴FG＝GE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，
∴DG＝CG＝FG＝GE，
∴DC＝EF，
∴四边形DECF是矩形．
24．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF．请你判断：AE与CF的关系，并加以证明，（友情提示：不要漏解!）
2．如图，已知矩形ABCD，对角线BD的垂直平分线分别交AD，BC和BD于点E，F，O．EF，DC的延长线交于点G，且OD＝CG，连接BE．
（1）求证：△DOE≌△GCF；
（2）求证：BE平分∠ABD．
3．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．如图．
（1）∠BEC＝ °；
（2）在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．
（1）求证：AN＝BN；
（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．
5．如图，已知矩形ABCD中，E、F是AB上两点，且AF＝DE，求证：∠DEB＝∠CFA．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）连接DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，求的值．
7．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OB．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BA延长线上，且AE＝AB，连接DE，求证：DE＝AC．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
10．已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长．
11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
12．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F．
（1）求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
13．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．
14．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？
16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
17．如图，将 ABCD的边DA延长到点F，使DA＝AF，CF交边AB于点E．
（1）求证：BE＝AE；
（2）若2∠D＝∠BEF，求证：四边形AFBC是矩形．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线上，且BE＝BC，DE＝DC，AB、DE相交于点O，连接AE．求证：四边形AEBD是矩形．
19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
20．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
21．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠ACD＝90°，CF＝3，DF＝4，求AD的长度．
23．已知：如图，点E为 ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
参考答案
1．解：AE与CF相等且平行；或相等且共线．理由如下：
（1）数量关系：AE＝CF．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE＝CF．
（2）当点E与点F不在BD的中点时，AE∥FC．
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
（3）当点E和点F在BD的中点时，AE与CF共线．
2．证明：（1）∵EF是BD垂直平分线，
∴∠EOD＝90°，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∴∠DEO＝∠GFC，∠DEO＝∠BFO，∠FCG＝90°，
∴∠EOD＝∠FCG，
在△DOE和△GCF中，，
∴△DOE≌△GCF（AAS）；
（2）由（1）得：△DOE≌GCF，
∴OE＝CF，
∵EF是BD垂直平分线，
∴OB＝OD，
在△DOE和△BOF中，，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF，
∵AD＝BC，
∴AE＝CF＝OE，
∴BE平分∠ABD．
3．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝45°，
故答案为：45；
（2）△ADE≌△ECF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．
∵FE⊥AE，
∴∠AEF＝90°．
∴∠AED+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠FEC＝∠EAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°．
∴∠BEC＝45°．
∴∠EBC＝∠BEC．
∴BC＝EC．
∴AD＝EC．
在△ADE和△ECF中，，
∴△ADE≌△ECF（ASA）．
4．解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OB，
∵AN∥BD，BN∥AC，
∴四边形OANB是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴ OANB是菱形，
∴AN＝BN，
（2）由（1）可知：
BN＝OB＝OD，
∴BD＝2BN，
∵DN⊥NB，
∴∠DNB＝90°，
∴∠BDN＝30°，
∵BN∥AC，
∴∠DFO＝∠DNB＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．
答：∠DOC的度数为120°．
5．证明：∵ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D．
∵AF＝DE，
∴AE＝DF．
∴△ABE≌△DCF．
∴∠AEB＝∠DFC．
∴∠DEB＝∠CFA．
6．（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC．
即∠ADB＝90°．
∴四边形ADBE为矩形．
（2）解：∵在矩形ADBE中，AO＝，
∴DE＝AB＝5．
∵D是BC的中点，BC＝8，
∴AE＝DB＝4，
∴．
7．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6
∴AE＝3
8．（1）证明：在 ABCD中，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵ ABCD是矩形，
∴CD＝AB，CD∥BE，
∵AE＝AB，
∴CD＝AE，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC．
9．解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝OD＝AD＝1，
答：OE的长度为 1．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC＝AB，DC∥AB，
∴∠CDF＝∠DBA．
∵∠ECD＝∠DBA，
∴∠ECD＝∠CDF，
∴EC∥BF，
∵AF⊥BD于点F，∠CED＝90°，
∴∠BFA＝∠CED＝90°．
在△ECD和△FBA中，，
∴△ECD≌△FBA（AAS），
∴EC＝BF，
又∵EC∥BF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝5，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝90°＝∠BAD，
∵∠ABF＝∠ABD，
∴，
∴EC＝BF＝．
11．解：（1）OE＝OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCB，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
由（1）得：四边形BECD为平行四边形，
∴EF＝DF，BF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D＝90°，
即可得出平行四边形ABCD是矩形．
14．证明：（1）∵AB∥CF
∴∠EAD＝∠EFC，∠ADE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌FCE
∴AD＝CF
（2）结论：边形CDBF是矩形．
理由：∵AD＝CF
∵CD是AB边上的中线
∴AD＝BD
∴BD＝CF
又∵BD∥CF
∴四边形CDBF是平行四边形
∵CA＝CB，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°
∴四边形CDBF是矩形．﹣
15．解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，
∴AD＝BC＝12cm．
当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．
①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，
解得，t＝；
②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，
解得 t＝4；
③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，
解得 t＝；
④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，
解得，t＝12．
综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM．
∴NE＝FM，NE∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM．
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF．
∴平行四边形MENF是菱形．
∴EF与MN互相垂直．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∵DA＝AF
∴AF＝BC，且AD∥BC
∴四边形ACBF是平行四边形
∴BE＝AE，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠D＝∠ABC
∵2∠D＝∠BEF，且∠BEF＝∠ABC+∠ECB
∴2∠ABC＝∠ABC+∠ECB
∴∠ECB＝∠ABC
∴CE＝BE
∵四边形ACBF是平行四边形
∴AE＝BE，CE＝EF
∴AB＝CF，且四边形ACBF是平行四边形
∴平行四边形ACBF是矩形．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，
∵BC＝BE，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵DE＝DC，
∴AB＝ED，
∴平行四边形ADBE是矩形．
19．证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
20．证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°，．
在Rt△BFE中，．
22．（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝5，∠AEC＝∠F＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠EAC+∠ACE＝∠ACE+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴CE＝，
∴EF＝CE+CF＝，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）解：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠GCE，
∵∠BEA＝∠GEC，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴GE＝CG，
∵DF∥AC，
∵DG＝CG，
∴FG＝GE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，
∴DG＝CG＝FG＝GE，
∴DC＝EF，
∴四边形DECF是矩形．
24．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．