2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的判定与性质 自主提升训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的判定与性质 自主提升训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 205.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-23 22:25:55 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的判定与性质》自主提升训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
2．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形
D．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形
7．如图，下列四组条件中，能判定 ABCD是正方形的有（ ）
①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．16 C．34 D．25
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S正方形ABCD＝8+．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．平行四边形ABCD对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形为正方形．则添加条件可以是 （只需添加一个）．
12．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为 ．
13．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为 ．
14．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是 ．
15．如图，四边形ABCD是正方形，G是AB上的任意一点，CE⊥DG于点E，AF∥CE，且交DG于点F．求证：EF＝DF﹣AF．
16．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
17．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD
（1）判断四边形OCED是什么特殊四边形？并证明你的结论
（2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由．
18．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF
（1）求证：△EBF≌△DFC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）①△ABC满足 时，四边形AEFD是菱形．（无需证明）
②△ABC满足 时，四边形AEFD是矩形．（无需证明）
③△ABC满足 时，四边形AEFD是正方形．（无需证明）
19．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．
20．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
2．解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
3．解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．
4．解：连接AN，DN，如图所示：
∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，
∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，
∴∠ANE＝∠DNF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN
在△ANE和△DNF中
∴△ANE≌△DNF（ASA），
∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形ABCD，
∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．
故选：A．
5．解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；
B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；
C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；
D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；
故选：C．
6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．解：①AB＝BC，∠A＝90°；
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC＝BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
③OA＝OD，BC＝CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA＝OD，所以AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA；
由∠BOC＝90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD＝∠CDB＝∠DCA，所以OC＝OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确．
故选：D．
8．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
9．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝＝，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝+．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（+）2+（）2＝8+，
所以S正方形ABCD＝8+．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
11．解：∵平行四边形ABCD对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
当对角线AC＝BD或∠BAD＝90°时，
平行四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：对角线相等或∠BAD＝90°，
12．解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝BD＝1，
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
13．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，BF＝AE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．
故答案为14．
14．解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°
∴MN2＝MC2+NC2
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2，
∴MC＝NC，
∴BM＝DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS）
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF，
∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAF，
在△MAN和△MAF中，
，
∴△MAN≌△MAF（SAS），
∴∠AMN＝∠AMB，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
15．证明：∵CE⊥DG于点E，AF∥CE，
∴∠DFA＝∠CED＝90°，
又∵∠CDE+∠FDA＝90°，
∠DAF+∠FDA＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△CDE和△DAF中，
，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴DE＝AF，
又∵EF＝DF﹣DE，
∴EF＝DF﹣AF．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
17．解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）当AB＝AD时，四边形OCED是正方形，
理由如下：
∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴菱形OCED是正方形．
18．解：（1）∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△EBF≌△DFC（SAS），
（2）∵△EBF≌△DFC，
∴EB＝DF，EF＝DC．
∵△ACD和△ABE为等边三角形，
∴AD＝DC，AE＝BE，
∴AD＝EF，AE＝DF
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）①若AB＝AC，则平行四边形AEFD是菱形；
此时AE＝AB＝AC＝AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；
②若∠BAC＝150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD＝90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
即△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AEFD是矩形；
③综合①②的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．
故答案是：①AB＝AC；
②∠BAC＝150°；
③AB＝AC，∠BAC＝150°．
19．（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
21．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
22．①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4 是定值．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
2．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形
D．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形
7．如图，下列四组条件中，能判定 ABCD是正方形的有（ ）
①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．16 C．34 D．25
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S正方形ABCD＝8+．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．平行四边形ABCD对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形为正方形．则添加条件可以是 （只需添加一个）．
12．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为 ．
13．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为 ．
14．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是 ．
15．如图，四边形ABCD是正方形，G是AB上的任意一点，CE⊥DG于点E，AF∥CE，且交DG于点F．求证：EF＝DF﹣AF．
16．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
17．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD
（1）判断四边形OCED是什么特殊四边形？并证明你的结论
（2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由．
18．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF
（1）求证：△EBF≌△DFC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）①△ABC满足 时，四边形AEFD是菱形．（无需证明）
②△ABC满足 时，四边形AEFD是矩形．（无需证明）
③△ABC满足 时，四边形AEFD是正方形．（无需证明）
19．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．
20．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
2．解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
3．解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．
4．解：连接AN，DN，如图所示：
∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，
∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，
∴∠ANE＝∠DNF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN
在△ANE和△DNF中
∴△ANE≌△DNF（ASA），
∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形ABCD，
∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．
故选：A．
5．解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；
B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；
C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；
D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；
故选：C．
6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．解：①AB＝BC，∠A＝90°；
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC＝BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
③OA＝OD，BC＝CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA＝OD，所以AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA；
由∠BOC＝90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD＝∠CDB＝∠DCA，所以OC＝OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确．
故选：D．
8．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
9．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝＝，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝+．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（+）2+（）2＝8+，
所以S正方形ABCD＝8+．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
11．解：∵平行四边形ABCD对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
当对角线AC＝BD或∠BAD＝90°时，
平行四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：对角线相等或∠BAD＝90°，
12．解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝BD＝1，
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
13．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，BF＝AE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．
故答案为14．
14．解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°
∴MN2＝MC2+NC2
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2，
∴MC＝NC，
∴BM＝DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS）
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF，
∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAF，
在△MAN和△MAF中，
，
∴△MAN≌△MAF（SAS），
∴∠AMN＝∠AMB，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
15．证明：∵CE⊥DG于点E，AF∥CE，
∴∠DFA＝∠CED＝90°，
又∵∠CDE+∠FDA＝90°，
∠DAF+∠FDA＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△CDE和△DAF中，
，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴DE＝AF，
又∵EF＝DF﹣DE，
∴EF＝DF﹣AF．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
17．解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）当AB＝AD时，四边形OCED是正方形，
理由如下：
∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴菱形OCED是正方形．
18．解：（1）∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△EBF≌△DFC（SAS），
（2）∵△EBF≌△DFC，
∴EB＝DF，EF＝DC．
∵△ACD和△ABE为等边三角形，
∴AD＝DC，AE＝BE，
∴AD＝EF，AE＝DF
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）①若AB＝AC，则平行四边形AEFD是菱形；
此时AE＝AB＝AC＝AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；
②若∠BAC＝150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD＝90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
即△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AEFD是矩形；
③综合①②的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．
故答案是：①AB＝AC；
②∠BAC＝150°；
③AB＝AC，∠BAC＝150°．
19．（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
21．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
22．①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4 是定值．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．