2021-2022学年北师大版九年级数学下册 3.8圆内接正多边形 同步达标测试题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册 3.8圆内接正多边形 同步达标测试题（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 323.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-24 00:19:28 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．2：3 B．：1 C．： D．1：
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C．2 D．2
4．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠，点B的对应点B′恰好落在边AF的中点上，点C、D的对应点为C′、D′，延长B′C′交EF于点M，则C′M的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．正六边形的边长为2a，则它的面积为（ ）
A．a2 B．a2 C．3a2 D．6a2
6．如图，用n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P是上的一点，则∠CPD的度数是 度．
11．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是 ．
12．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝ ．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为5cm，CF是对角线，则CF是 cm．
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于 度．
15．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
（1）OB＝ ；
（2）直线AC与直线DB的交点坐标是（ ， ）．
16．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
18．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
19．【阅读理解】
[阅读与思考]
如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝ ；
如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝ ；
如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝ ；
[理解与运用]
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝ ；
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝ ；
[归纳与总结]
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是 ．
20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：连接OA、OB．OE，如图所示：
设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，
∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，
∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，
故选：A．
2．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
3．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
4．解：如图，过点H作FA的延长线的垂线HQ，
∵∠BAF＝120°，
∴∠HAQ＝60°，∠HQA＝90°，
∴∠AHQ＝30°，
设AH＝x，∴AQ＝x，QH＝x，
∴BH＝B′H＝AB﹣AH＝6﹣x，
∵AB′＝AB＝3，
∴B′Q＝B′A+AQ＝3+x，
在Rt△B′HQ中，根据勾股定理，得
B′H2＝B′Q2+QH2，
∴（6﹣x）2＝（3+x）2+x2，
解得x＝，
∴B′H＝6﹣x＝＝，
∵∠HAB′＝∠F＝∠HB′M＝120°，
∴∠AHB′+∠AB′H＝60°，∠FB′M+∠AB′H＝60°，
∴∠AHB′＝∠FB′M，
∴△AB′M∽△FMB′，
∴＝，
∴＝，
解得B′M＝7，
∴C′M＝B′M﹣B′C′＝7﹣6＝1．
故选：A．
5．解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB＝＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2a，
∴OG＝2a×＝a，
∴S△OAB＝×AB×OG＝×2a×a＝a2，
∴S六边形＝6S△OAB＝6×a2＝6a2．
故选：D．
6．解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴组成的正多边形为正n边形，
则＝120°，
解得：n＝6，
故选：B．
7．解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r sin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故选：C．
8．解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．
∵BC、CD、MN是切线，
∴BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，
在Rt△CMN中，∵MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，
∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，
∴ax+ay+xy＝a2，
∵S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN＝4，
∴4a2﹣×2a×（a+x）﹣（a﹣x）（a﹣y）﹣×2a×（a+y）＝4，
∴a2﹣（ax+ay+xy）＝4，
∴a2＝4，
∴a＝2或﹣2（负值舍去），
∴AB＝2a＝4，
∴⊙O的半径为2．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
10．解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，
又∵∠CPD＝∠CAD，
∴∠CPD＝45°．
故答案是：45．
11．解：连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝1，
∴PH＝＝＝，
∴P的坐标是（1，），
故答案为：（1，）．
12．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝2，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝2，
故答案为：60°，4，2．
13．解：连接AC，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，边长为5cm，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠ABC＝（6﹣2）×180°＝120°，AB＝BC＝AF＝5cm，∠BCF＝∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∠ACF＝60°﹣30°＝30°，
∴CF＝2AF＝10（cm），
故答案为：10．
14．解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
15．解：（1）∵在正六边形ABCDEF中，∠EFA＝∠BAF＝120°，
∴∠OFA＝∠OAF＝60°，
∴∠AOF＝60°，
∴△AOF是等边三角形，
则AO＝FO＝FA＝2，
∴OB＝OA+AB＝4；
故答案为：4；
（2）如图所示：延长DC、AB相交于点M，作CN⊥BM于N，
则CN∥DB，
同（1）得：△BCM是等边三角形，
∴BM＝BC＝CM＝2，∠BMC＝60°，
∴CM＝CD，
∵CN⊥BM，
∴BN＝MN＝BM＝，
∴CN＝MN＝3，AN＝3，
∵CN∥DB，
∴BG：CN＝AB：AN＝2：3，
∴BG＝2，
∴直线AC与直线DB的交点G的坐标为（4，2）．
故答案为：4，2．
16．解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴＝，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
18．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
19．解：[阅读与思考]
∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，
∵在△ABN和△CAM中
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，
∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，
故答案为：60°；
∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，
∴AD＝AB，
在△ABN和△DAM中，
，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，
∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，
答案为：90°；
∵在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，
∵在△AEM和△BAN中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，
∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，
故答案为：108°；
[理解与运用]
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
所以同理可得：
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；
故答案为：120°；
同理可得：
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝144°；
故答案为：144°；
[归纳与总结]
根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
所以所求的角恰好等于正n边形的内角．
故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．
20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．2：3 B．：1 C．： D．1：
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C．2 D．2
4．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠，点B的对应点B′恰好落在边AF的中点上，点C、D的对应点为C′、D′，延长B′C′交EF于点M，则C′M的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．正六边形的边长为2a，则它的面积为（ ）
A．a2 B．a2 C．3a2 D．6a2
6．如图，用n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P是上的一点，则∠CPD的度数是 度．
11．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是 ．
12．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝ ．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为5cm，CF是对角线，则CF是 cm．
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于 度．
15．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
（1）OB＝ ；
（2）直线AC与直线DB的交点坐标是（ ， ）．
16．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
18．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
19．【阅读理解】
[阅读与思考]
如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝ ；
如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝ ；
如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝ ；
[理解与运用]
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝ ；
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝ ；
[归纳与总结]
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是 ．
20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：连接OA、OB．OE，如图所示：
设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，
∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，
∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，
故选：A．
2．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
3．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
4．解：如图，过点H作FA的延长线的垂线HQ，
∵∠BAF＝120°，
∴∠HAQ＝60°，∠HQA＝90°，
∴∠AHQ＝30°，
设AH＝x，∴AQ＝x，QH＝x，
∴BH＝B′H＝AB﹣AH＝6﹣x，
∵AB′＝AB＝3，
∴B′Q＝B′A+AQ＝3+x，
在Rt△B′HQ中，根据勾股定理，得
B′H2＝B′Q2+QH2，
∴（6﹣x）2＝（3+x）2+x2，
解得x＝，
∴B′H＝6﹣x＝＝，
∵∠HAB′＝∠F＝∠HB′M＝120°，
∴∠AHB′+∠AB′H＝60°，∠FB′M+∠AB′H＝60°，
∴∠AHB′＝∠FB′M，
∴△AB′M∽△FMB′，
∴＝，
∴＝，
解得B′M＝7，
∴C′M＝B′M﹣B′C′＝7﹣6＝1．
故选：A．
5．解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB＝＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2a，
∴OG＝2a×＝a，
∴S△OAB＝×AB×OG＝×2a×a＝a2，
∴S六边形＝6S△OAB＝6×a2＝6a2．
故选：D．
6．解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴组成的正多边形为正n边形，
则＝120°，
解得：n＝6，
故选：B．
7．解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r sin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故选：C．
8．解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．
∵BC、CD、MN是切线，
∴BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，
在Rt△CMN中，∵MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，
∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，
∴ax+ay+xy＝a2，
∵S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN＝4，
∴4a2﹣×2a×（a+x）﹣（a﹣x）（a﹣y）﹣×2a×（a+y）＝4，
∴a2﹣（ax+ay+xy）＝4，
∴a2＝4，
∴a＝2或﹣2（负值舍去），
∴AB＝2a＝4，
∴⊙O的半径为2．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
10．解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，
又∵∠CPD＝∠CAD，
∴∠CPD＝45°．
故答案是：45．
11．解：连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝1，
∴PH＝＝＝，
∴P的坐标是（1，），
故答案为：（1，）．
12．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝2，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝2，
故答案为：60°，4，2．
13．解：连接AC，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，边长为5cm，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠ABC＝（6﹣2）×180°＝120°，AB＝BC＝AF＝5cm，∠BCF＝∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∠ACF＝60°﹣30°＝30°，
∴CF＝2AF＝10（cm），
故答案为：10．
14．解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
15．解：（1）∵在正六边形ABCDEF中，∠EFA＝∠BAF＝120°，
∴∠OFA＝∠OAF＝60°，
∴∠AOF＝60°，
∴△AOF是等边三角形，
则AO＝FO＝FA＝2，
∴OB＝OA+AB＝4；
故答案为：4；
（2）如图所示：延长DC、AB相交于点M，作CN⊥BM于N，
则CN∥DB，
同（1）得：△BCM是等边三角形，
∴BM＝BC＝CM＝2，∠BMC＝60°，
∴CM＝CD，
∵CN⊥BM，
∴BN＝MN＝BM＝，
∴CN＝MN＝3，AN＝3，
∵CN∥DB，
∴BG：CN＝AB：AN＝2：3，
∴BG＝2，
∴直线AC与直线DB的交点G的坐标为（4，2）．
故答案为：4，2．
16．解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴＝，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
18．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
19．解：[阅读与思考]
∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，
∵在△ABN和△CAM中
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，
∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，
故答案为：60°；
∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，
∴AD＝AB，
在△ABN和△DAM中，
，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，
∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，
答案为：90°；
∵在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，
∵在△AEM和△BAN中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，
∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，
故答案为：108°；
[理解与运用]
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
所以同理可得：
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；
故答案为：120°；
同理可得：
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝144°；
故答案为：144°；
[归纳与总结]
根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
所以所求的角恰好等于正n边形的内角．
故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．
20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴