2021-2022学年九年级数学下册北师大版 3.9弧长及扇形面积 同步练习（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《3-9弧长及扇形面积》自主提升训练（附答案）
1．在半径为2的圆中，90°的圆心角所对的弧长为（　　）
A． B． C． D．π
2．如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（　　）
A．2π B．π C．π D．π
3．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（　　）
A．2+ B．+ C．+ D．2+
4．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　）
A． B． C．π D．
5．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠COB＝60°，CO＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．π C． D．
6．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，点B、E是半圆弧的三等分点，若CE的长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．3 C． D．
7．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
8．如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（　　）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
9．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得、恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
10．如图，在扇形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是 　 　．
11．如图，已知半径为4的扇形AOB的圆心角为120°，C、D分别为半径OB、OA的中点，M为AB上一点，连接MC、MD，满足MC＝MD，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
12．如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为 　 　．
13．已知扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则扇形所在圆的半径为 　 　cm．
14．如图，以△ABC各个顶点为圆心，6cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
15．如图，以A为圆心、AB为半径作扇形ABC，线段AC恰好与以AB为直径的半圆弧相交于弧的中点D，若AB＝2，则阴影部分图形的面积是 　 　（结果保留π）．
16．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为100°，AB长为36cm，贴纸部分的宽BD为30cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 　　cm2．（结果保留π）
17．如图扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形ODCF的顶点F，D，C分别在OA，OB，上，过点B作BE⊥FC，交FC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积等于 　 　．
18．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为2π，点D在OA上，连接BD，CD，BC，若点C，O关于直线BD对称，则BC长＝　 　．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按逆时针旋转90°得到△A′BC′，点A经过的路径为弧AA′，若AB＝2，BC′＝，则图中阴影部分的面积为 　 　．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
22．如图，矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2，点K为半圆AKB上一点．
（Ⅰ）求∠HKA的度数；
（Ⅱ）求CH的长；
（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；
（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．
参考答案
1．解：根据弧长的公式l＝，得l＝＝π，
故选：D．
2．解：连接BC，
由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，
∴BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，
∴S扇形ABC＝＝2π，故选：A．
3．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+．故选：D．
4．解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，
∴扇形AEF的面积＝＝．
故选：A．
5．解：如图，由圆的对称性知：S阴影＝S扇形BOC＝＝，
故选：D．
6．解：连接BD，BE，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，∠BEC＝60°，
∵CE＝1，
∴BE＝2，
∴AD＝2BE＝4，
∴AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝AB＝3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣π．
故选：D．
7．解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝π（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：B．
8．解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP＝2，
∵OA'＝OB'＝4，
∴cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝，
∴∠A'OP＝∠B'OP＝60°，
∴∠A'OB'＝120°，A′P＝4×＝2，
∴A′B′＝4
∴S阴＝S扇形OA'B'﹣S△A'OB'＝﹣＝π﹣8，
故选：D．
9．解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵OD＝AO
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC＝×⊙O面积＝×π×22＝π（cm2）；
故选：C．
10．解：连接AD，
∵以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，AB＝6，
∴AD＝AC＝CD＝6，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠DCA＝∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BAD＝＝3π，
故答案为：3π．
11．解：连接OM、MB、MA，如右图所示，
∵C、D分别为半径OB、OA的中点，
∴OC＝OD，
在△OCM和△ODM中，
，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠COM＝∠DOM，
∵∠COD＝120°，
∴∠COM＝∠DOM＝60°，
∵OB＝OM＝OA＝4，
∴△OMB和△OMA都是等边三角形，
∴MC＝OM sin60°＝4×＝2，
∴S阴影＝S扇形OBA﹣S△OCM﹣S△ODM＝﹣＝，
故答案为：．
12．解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝a，
∴＝，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝﹣×2a×2a＝πa2﹣2a2．
故答案为：πa2﹣2a2．
13．解：设该扇形的半径是rcm，则
12π＝，
解得r＝6．
故答案为：6．
14．解：由图知，阴影部分的3个扇形的圆心角组成了三角形的3个内角，
∵三角形的内角和为180°，
又∵6cm为半径，
∴＝18π（cm2），
故答案为：18πcm2．
15．解：连接DO，
∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝2，
∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝1，
∴阴影部分的面积是：（﹣﹣×1×1）+（＝×1×1）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．
16．解：∵AB长为36cm，贴纸部分的宽BD为30cm，
∴AD＝6cm，
∴贴纸的面积为S＝2×（S扇形ABC﹣S扇形ADE）＝2×（﹣）＝350π（cm2），
故答案为：350π．
17．解：连接OC，
∵正方形的边长为1，即OD＝CD＝1，
∴OC＝＝，
∴BD＝OB﹣OD＝﹣1，
∵OA＝OB，OF＝OD，
∴AF＝BD，
∵CF＝CD，
∴阴影部分的面积＝长方形CDBE的面积＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．解：连接BC，OC，OC交BD于W，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为2π，
∴＝2π，
解得：OB＝6，
∴BC＝OB＝6，
故答案为：6．
19．解：∵将△ABC绕点B按逆时针旋转90°得到△A′BC′，点A经过的路径为弧AA′，BC′＝，
∵BC＝BC′＝，AC＝A′C′，
由勾股定理得：AC＝＝＝1，即A′C′＝1，
∵阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积+△BA′C′的面积﹣△ACB的面积﹣△CBC′的面积，
∴图中阴影部分的面积S＝+﹣﹣
＝π﹣，
故答案为：π﹣．
20．解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S扇形FOC＝＝π．
即可得阴影部分的面积为π．
21．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH＝×2×2﹣＝2﹣π．
（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小．
∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
设OP＝m，则PM＝2m，
∵PM2＝OM2+OP2，
∴4m2＝m2+22，
∴m＝，
∴PD＝OD+OP＝+＝2．
22．解：（Ⅰ）连接BH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝4，AH＝2，
∴sin∠ABH＝＝＝，
∴∠ABH＝30°，
∴∠HKA＝∠ABH＝30°；
（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，
∴∠BAH＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB＝8，
∴CH＝AC﹣AH＝6；
（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，
∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，
过H作HE⊥AO于E，则HE＝，
∵AC＝8，CD＝AB＝4，
∴AD＝4，
∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；
（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，
∵OA＝2，
∴AQ＝，
∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．