2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.4.2平面向量及运算的坐标表示课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
§2.4.2　平面向量及运算的坐标表示
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．
数学素养
1.通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养．
2．通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养.
课程导图
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点 （通常称 为位置向量）.由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使=xi+yj.
x
0
y
P
因此，a=xi+yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基(i，j)下的坐标，向量a可以表示为a=(x，y).
在平面直角坐标系中，点P的位置被它的位置向量所唯一确定，设点P的坐标为(x，y)，容易看出
即点P的位置向量的坐标(x，y)也就是点P的坐标；反之，点P在平面直角坐标系中的坐标也是点P所决定的位置向量的坐标.
思考
1.若i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量，则i，j的坐标分别是什么？
在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)．
2．相等向量的坐标相同吗？
相等向量经过平移可以具有共同的始点O(O为坐标原点)，这时其终点相同，而终点的坐标即是这些向量的坐标，所以相同．
典例
例1. 在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系，质点在平面内做直线运动，先画出下列位移向量在基示{i，j}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；
(2)向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个单位长度；
(3)向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个单位长度.
解：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2).c=(x3，y3)，则向量a、b、c在基{i，j}下的正交分解，如图
课程导图
加法
设a=(，)、b=(，)点则a=+j，b=+j，根据向量的运算律，可得a+b=
即
减法
设a=(，)、b=(，)点则a=+j，b=+j，根据向量的运算律，可得a+b=
即
减法
设a=(，)、b=(，)点则a=+j，b=+j，根据向量的运算律，可得a+b=即
如图2~43，设点A(，)，B(，)，则

=.
数乘
设λ∈R.则 =即λa=
抽象概括
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积；一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标，
课程导图
典例
例2设点设点A(，)，B(，)，若M是线段AB的中点，求点M的坐标.
解，如图，向量
由向量的线性运算可知
所以中点M的坐标是
中点坐标公式
例2设点设点A(，)，B(，)，若M是线段AB的中点，则点M的坐标公式是
称线段AB的中点坐标公式
典例
例3已知a=(2，1).b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.
解a+b=(2，1)+(-3.4)=(-1.5).
a-b=(2,1)-(-3.4)=(5.=3).
3a+4b=3(2,1)+4(-3.4)-(6.3)+(-12,16)=(-6,19).
典例
例4，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求ABCD的顶点D的坐标.
解_如图2-45，设点D的坐标为(x，y)，由 得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y).
即(-1，2)=(-1-x，-2-y).
1-x=-1,所以解得
所以点D的坐标为(0.-4).
典例
例4，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求ABCD的顶点D的坐标.
解_如图2-45，设点D的坐标为(x，y)，由 得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y).
即(-1，2)=(-1-x，-2-y).
1-x=-1,所以解得
所以点D的坐标为(0.-4).
课程导图
在平面直角坐标系中. a=(，)、b=(，)，b≠0.若a∥b，则存在实数λ.使得a=λb，由共线(平行)向量基本定理，可知

+j =+j
于是
消去λ，得

这就是说，向量a.b(b≠0)共线的充要条件是
例5 已知O是坐标原点， 当k为何值时，A、B、C三点共线？
典例
解依题意，得 -=( -(k,12)=(4-k,-7),
=-=(10、k)-(4.5)=(6,k-5)
要使A，B，C三点共线，只需，共线，即
(4-k)(k-5)―6×(-7)=0.
解得k--2或k-11.
所以当k--2或k-11时，A、B、C三点共线.
学以致用
1.已知向量a，b的坐标，求a+b，a-b的坐标.

(1)a=(-2,4),b=(2,3);(2)a=(4,3),b=(-2,8);
(3)a=(2.3),b=(-2,-3);(4)a=(2.4),b=(0.3).
2.已知a=(2，4)，b=(-1.1)，求2a-3b，4a+2b的坐标.
3.已知A，B两点的坐标，求，的坐标.
(1)A(5,3),B(4,-1);(2)A(-3.4),B(6,3);
(3)A(0,3),B(0,5):(4)A(3、0),B(2,0).