无锡市普通高中２０２２届高三期终调研考试卷
数 学 ２０２２．０１
注意事项与说明：本卷考试时间为１２０分钟，全卷满分１５０分．
一、单选题：本大题共８小题，每小题５分，共计４０分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的．
１．集合Ａ＝｛ｘ｜－３≤ｘ＜４｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝２ｘ２＋１，ｘ∈Ｒ｝，则瓓ＲＡ∩Ｂ＝ （ ▲ ）
Ａ．［１，４） Ｂ．［４，＋∞） Ｃ．［－３，＋∞） Ｄ．（－∞，－３）∪［４，＋∞）
２． ａ＋３ｉ已知１＋ｉ（ｉ为虚数单位，ａ∈Ｒ）为纯虚数，则ａ＝ （ ▲ ）
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－３ Ｄ．３
３．某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是１．５个，全年比赛失球个数的标准差为１．４；乙队每
场比赛平均失球数是２．３个，全年比赛失球个数的标准差为０．３，下列说法正确的是 （ ▲ ）
Ａ．甲乙两队相比，乙队很少失球
Ｂ．甲队比乙队技术水平更稳定
Ｃ．平均来说，甲队比乙队防守技术好
Ｄ．乙队有时表现很差，有时表现又非常好
４． １已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｘ）·ｌｎ｜ｘ｜，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象可能是 （ ▲ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
５．已知点Ｐ在圆ｘ２＋ｙ２＝１ Ａ ?→ ?→上，点 的坐标为（－２，－１），Ｏ为坐标原点，则ＡＯ·ＡＰ的最小值等于
（ ▲ ）
Ａ．３ Ｂ．５－槡５ Ｃ．４ Ｄ．５＋槡５
６．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ是正方形 ＡＢＣＤ的中心，则直线 Ｂ１Ｍ与平面 Ａ１Ｃ１Ｂ所成角的正
弦值为 （ ▲ ）
Ａ．１３ Ｂ．
槡３
３ Ｃ．
槡６ ２槡２
３ Ｄ．３
２ ２
７． ｘ ｙ已知Ｆ１，Ｆ２是双曲线Ｃ：２－ ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点，Ａａ ｂ １
，Ａ２是双曲线 Ｃ的左、右顶点，
点Ｐ是双曲线Ｃ左支上的一点，以Ａ１Ａ２为直径的圆与ＰＦ２相切于Ｍ点，若Ｍ恰为ＰＦ２的中点，
则双曲线Ｃ的渐近线方程为 （ ▲ ）
Ａ．ｙ＝±槡２ｘ Ｂ．ｙ＝±ｘ Ｃ．ｙ＝±槡３ｘ Ｄ．ｙ＝±２ｘ
高三数学试卷第 １页（共６页）
书
８．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ Ｓ，Ｃ所对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，设△ＡＢＣ的面积为Ｓ，则
ａ２
的最大值为
＋４ｂｃ
（ ▲ ）
Ａ．槡２１６ Ｂ．
槡３
１２ Ｃ．
槡３
１６ Ｄ．
槡２
１８
二、多选题：本大题共４小题，每小题５分，共计２０分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．
９．已知ｅｂ＜ｅａ＜１，则下列结论正确的是 （ ▲ ）
Ａ．ａ２＜ｂ２ Ｂ．ｂ＋ａ＞２ Ｃ．ａｂ＞ｂ２ ２ａ ｂ Ｄ．ｌｇａ＜ｌｇ（ａｂ）
１０．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有 （ ▲ ）
Ａ． ３至少一次正面朝上的概率是４
Ｂ．恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样
Ｃ． １一次正面朝上，一次反面朝上的概率是４
Ｄ． １在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是２
１１．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他
名字命名的：设ｘ∈Ｒ，用［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，则 ｆ（ｘ）＝［ｘ］称为高斯函数，又称为取
整函数．如：ｆ（２．３）＝２，ｆ（－３．３）＝－４．则下列结论正确的是 （ ▲ ）
Ａ．函数ｆ（ｘ）是Ｒ上的单调递增函数
Ｂ．函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－２３ｘ有２个零点
Ｃ．ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数
Ｄ．对于任意实数ａ，ｂ，都有ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）≤ ｆ（ａ＋ｂ）
１２．已知平面直角坐标系中两点Ａ（ｘ１，ｙ１）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），用以下方式度量Ａ，Ｂ两点距离：ｄ（Ａ，Ｂ）＝
｜ｘ１－ｘ２｜＋｜ｙ１－ｙ２｜，则下列说法正确的是 （ ▲ ）
Ａ．在平面直角坐标系中，Ａ（－３，０），Ｎ（２，０），满足ｄ（Ａ，Ｎ）＝ｄ（Ａ，Ｃ）＋ｄ（Ｎ，Ｃ）的点 Ｃ的横坐
标的范围为［－３，２］
Ｂ．在平面直角坐标系中，任意取三点Ａ，Ｂ，Ｃ，ｄ（Ａ，Ｂ）≤ｄ（Ａ，Ｃ）＋ｄ（Ｂ，Ｃ）恒成立
Ｃ．在平面直角坐标系中，点Ｏ是坐标原点，则满足ｄ（Ｏ，Ｐ）＝１的点Ｐ（ｘ，ｙ）所形成的图形是圆
Ｄ．在平面直角坐标系中，点Ｍ在ｙ２＝４ｘ上，Ｎ（２，０），则满足ｄ（Ｍ，Ｎ）＝３的点Ｍ共有４个
三、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共计２０分．
(ｘ＋ａ
６
１３．若 ３ ) 的展开式中ｘ２的系数为１６０，则实数ａ的值为 ▲ ．
槡ｘ
１４．已知△ＡＢＣ ?→ １?→ ?→是边长为１的等边三角形，Ｄ在边 ＢＣ上，且ＢＤ＝３ＢＣ，Ｅ为 ＡＤ的中点，则｜ＢＥ｜＝
▲ ．
１５．设等差数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ，若 Ｓ１０＞Ｓ１１＞Ｓ９，则满足 Ｓｎ·Ｓｎ＋１＜０的正整数 ｎ的值为
▲ ．
１６．正四面体 ＡＢＣＤ的棱长为１２，在平面 ＢＣＤ内有一动点 Ｐ，且满足 ＡＰ＝６槡３，则 Ｐ点的轨迹是
▲ ；设直线ＡＰ与直线ＢＣ所成的角为θ，则ｃｏｓθ的取值范围为 ▲ ．
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四、解答题：本大题共６小题，共计７０分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１７．（本小题满分１０分）
已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝２，ａ２＝３，其前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ＋１＋Ｓｎ－１＝２Ｓｎ＋１（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ?）．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
ａ·２ｎｎ
（２）若ｂｎ＝ｌｏｇ２（ ｎ ），求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．
▲ ▲ ▲
１８．（本小题满分１２分）
△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ａ＝槡３，ｔａｎＡ＝３， ▲ ．
请在①ｃｓｉｎＡ＝３ｃｏｓＣ；②（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）２＝ｓｉｎ２Ｃ－ｓｉｎＡ·ｓｉｎＢ这两个条件中任选一个，补充在上面
的横线中并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（１）求角Ｃ；
（２）求△ＡＢＣ的面积．
▲ ▲ ▲
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１９．（本小题满分１２分）
近日，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》．其中提到：在公共门
厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以１０００元罚款．为了研究知晓规定是否
与年龄有关，某市随机抽取１２５名市民进行抽样调查，得到如下２×２列联表：
知晓 不知晓 总计
年龄≤６０ １６ ３４ ５０
年龄＞６０ ９ ６６ ７５
总计 ２５ １００ １２５
ｎ（ａｄ－ｂｃ）２
参考公式：Ｋ２＝
（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ ｂ＋ｄ，其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ．）（ ）
Ｐ（Ｋ２＞ｋ０） ０．１０ ０．０５ ０．０２５ ０．０１０ ０．００５ ０．００１
ｋ０ ２．７０６ ３．８４１ ５．０２４ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８
（１）根据以上统计数据，是否有９９％的把握认为知晓规定与年龄有关？
（２）将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取４位
市民，记被抽取的４位市民中知晓规定的人数为Ｘ，求Ｘ的分布列及数学期望．
▲ ▲ ▲
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２０．（本小题满分１２分）
如图，多面体ＡＢＣＤＥＦ中，底面ＡＢＣＤ为菱形，∠ＢＡＤ＝６０°，ＥＤ⊥平面 ＡＢＣＤ，ＦＢ⊥平面 ＡＢＣＤ，
ＤＥ＝ＡＤ＝２ＢＦ＝２．
（１）求证：ＣＦ∥平面ＡＤＥ；
（２）求二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的正弦值．
▲ ▲ ▲
２１．（本小题满分１２分）
ｘ２ ｙ２ １ ３
已知椭圆Ｃ：
ａ２
＋ ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为２，点Ａ（－１，２）在椭圆Ｃ上，点Ｐ是ｙ轴正半轴ｂ
上的一点，过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ和点Ｐ的直线ｌ与椭圆Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点．
（１）求椭圆Ｃ的标准方程；
２ ｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜（）求 ｜ＰＦ｜ 的取值范围．
▲ ▲ ▲
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２２．（本小题满分１２分）
ｅｘ－１
已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ （ｅ为自然对数的底数）．ｅ＋１
１ ｆｘ ＞ｅ－１（）若不等式 （） ｅ＋１恒成立，求实数ｘ的取值范围；
（２）若不等式ｆ（ｘ）＜ａｘ＋１３－ａｌｎ２在ｘ∈（ｌｎ２，＋∞）上恒成立，求实数ａ的取值范围．
▲ ▲ ▲
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数学参考答案及评分标准 2022.01
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．
1．B 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A
二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．ABD 10．AD 11．BD 12．ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．
1
13．2 14 13． 15． 20 16．圆， 0，6 3
四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分．
17．（1）由题得 Sn 1 Sn Sn Sn 1 1(n≥2)，即 an 1 an 1(n≥2)，
又因为 a2 a1 1，所以 an 1 an 1(n≥1)， ……………………………………3分
所以数列{an}是以 2为首项，1为公差的等差数列，则 an n 1． …………5分
2 b log n 1 2n log n 1 （ ）由题 n 2 2 n，
n n
Tn (log
2
2 log
3 n 1
2 log ) (1 2 3 n)1 2 n
log (2 3 n 1) n(n 1) 2 1 2 n 2
log (n 1) n(n 1) 2 ． …………………………………………………10分2
18．（1）选择①，由正弦定理得， a sinC csin A，
又∵ csin A 3cosC，∴ a sinC a2 cosC，∴ tanC a 3 ． …………………3分
p
又C (0,p)，C ， ……………………………………………………………5分
3
选择②，由题意，角化边得 a2 2ab b2 c2 ab，
1
整理得 cosC ， ……………………………………………………………3分
2
又C (0,p) p，C ． ……………………………………………………………5分
3
（2 3 10 10）∵ tan A 3，∴ sin A ， cos A ， ………………………………7分
10 10
sinC 3 10 10
由正弦定理得， c a 3 ， ……………………………8分
sin A 2 3 2
在△ABC中， sin B sin(A p ) 30 3 10 ， ………………………………10分
3 20
S 1∴ ac sinB 3( 3 1) ． …………………………………………………12分
2 8
高三数学答案 第 1 页（共 4 页）
2 125 16 66 9 34 2
19．（1 K 2 n(ad bc) = ） 7.5 6.635，
(a b)(c d )((a c)(b d ) 25 100 75 50
所以有99%的把握认为知晓规定与年龄有关． …………………………………4分
（2）由 2 2 5 1列联表可知，抽到知晓规定的市民的频率为 ，将频率视为概率，
25 5
1
即从市民中任意抽取到一名知晓规定的市民的概率为 ．
5
1
由于总体容量很大，故 X 可视作服从二项分布，即 X B(4, )， ……………6分
5
k 4 k
所以 P X k 1 4 C k 4 k 0,1,2,3,4 ．
5 5
从而 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
256 256 96 16 1
P
625 625 625 625 625
……………………………………………………………………………………………10分
所以 x的数学期望为 E X 4 1 4 ． ………………………………………12分
5 5
20．（1）证明：∵ DE 平面 ABCD， FB 平面 ABCD，∴ BF ∥DE ，
∵ BF 平面 ADE ， DE 平面 ADE ，∴ BF ∥平面 ADE ．
∵四边形 ABCD为菱形，∴ BC∥ AD，
∵ BC 平面 ADE ， AD 平面 ADE ，∴ BC∥平面 ADE ，
∵ BF BC B， BF 平面 BCF ， BC 平面 BCF ，
∴平面 BCF ∥平面 ADE ，
∵ FC 平面 BCF ，∴CF ∥平面 ADE ． ……………………………………5分
（2）取 BC中点M ，连接 BD．
∵四边形 ABCD为菱形， BAD 60 ，∴△BCD为等边三角形．
∴DM BC， ∵ AD∥ BC，∴DM AD，
∵ E D 平 面 A BCD，∴DA，DM，DE两两垂直．
以 DA,DM ,DE 为正交基底建立空间直角坐标系 D xyz．……………………6分
∴ EC ( 1, 3, 2)， EF (1, 3, 1)，设平面 ECF 的一个法向量为 n (x , y , z )，
1 1 1 1
∴ n1 EC， n EF ， 1
n1 EC x 3y 2z 0，
∴ 取 x 1，得 z 2, y 3，
n1 EF x 3y z 0，
∴平面 ECF 的一个法向量 n1 (1, 3, 2)． …………………………………8分
AE ( 2,0,2),AF ( 1, 3,1) ，设平面 AEF 的一个法向量为 n2 (x2 , y2 , z2 )．
n2 AE 2x 2z 0，
∴ 取 x 1，得 y 0， z 1，
n2 AF x 3y z 0，
∴平面 AEF 的一个法向量为 n2 (1,0,1)． ……………………………………10分
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n n
cos n ,n 1 0 2 1
15
∴ 1 2 1 2 ， sin n1,n2 1 cos
2 n1,n2 = ，
n1 n2 1 3 4 1 1 4 4
二面角 A EF C 15 的正弦值为 ． …………………………………………12分
4
c 1
，
a 2 a 2，
21．（1）设椭圆 C的焦距为 2c 1 9 ，由已知可得 2 2 1， 解得 b 3，
a 4b
2 c 1，a b2 c2，
x2 y2
所以椭圆 C的标准方程为 1． ………………………………………… 4分
4 3
（2）由已知直线 l的斜率 k存在且 k 0，设直线 l的方程为 y k (x 1)，
代入椭圆方程得 3 4k 2 x2 8k 2x 4k 2 12 0 ，（＊）
显然 0恒成立，设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
x x 8k
2
x x 4k
2 12
则 1 2 2 ， 1 2 2 ． …………………………………………6分3 4k 3 4k
过点 M，N作 y轴的垂线，垂足分别为M ， N ，设原点为 O，
PM PN
则 x1 x2 ． ………………………………………………………7分PF
因为点 P(0, k)是 y轴正半轴上的一点，当点 P在椭圆外时, k 3 ，
8k 2 8
所以 k 3，此时 x1 x2 x1 x2 ，3 4k 2 3
2 4k
因为 k 2 3 3 8，所以 4 2 4 5，所以 x1 x2 ( ,2)； ……………………9分k 5
当点 P在椭圆内时, 0 k 3 ，所以 3 k 0，
2 2
x x x x x x 4x x 8k
2 4 4k 12 12 k 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 ，
3 4k
2
3 4k
2 3 4k 2
设 k 2 1 t，则 k 2 t 2 1，且1 t 2 12t 12t 12，所以 x1 x2 ．3 4(t 2 1) 4t 2 1 4t 1
t
1 1 15
因为函数 y 4x 在 1,2 单调递增，所以 4t 3,
x t 2
，
x x 12t 12 8所以 1 2 2 ( ,4)． ……………………………………………11分4t 1 4t 1 5
t
P 8k
2 8
当点 是椭圆上顶点时, k 3 ，此时 x1 x2 x1 x2 3 4k 2
，
5
PM PN 8
综上， 的取值范围是 , 4 ． ………………………………………12分
PF 5
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x
22 1 f (x) e 1 2．（ ）因为 x 1 ，e 1 ex 1
x
则 f (x) 2e x 0 ，所以 f (x)在 R 上单调递增，(e 1)2
e 1
所以 f (x) f (1) 的解为 x 1； …………………………………………………3分
e 1
1 x
（2）因为 F (x) f (x) (ax a ln 2) e 1 x ax
1
a ln 2
3 e 1 3
x x x x 2x x
所以 F x
e (e 1) e (e 1) a ae 2(a 1)e a 2 2 ．………………………4分 ex 1 ex 1
at 2 2(a 1)t a
令 ex t 0，则 F t 2 (t 0)， t 1
令 g(t) at 2 2(a 1)t a， t 0．
①当 a 0时，因为 g(0) a 0，且对称轴在 y轴左边，所以 g(t) 0．则 F t 0，
即 F x 0，所以当 x (ln 2, )时，存在 F (3) F (ln 2) 0，不满足题意； ……5分
2 2
②当 a 0时， x (ln 2, )时，存在 F (3) 0，不满足题意； …………6分
3 e3 1
③当 a 0时，因为 4(a 1)2 4a2 4 8a，
a 1所以当 ≥ 时，D≤0，所以 g(t)≥0．则 F t ≤0，且 F (ln 2) 0，当 x (ln 2, )时，
2
F (x) 0，满足题意； ……………………………………………………………7分
当 0 1 a 时， 0，此时 g(t)有 2个零点，设为 t1， t2 ，且 t1 t2，
2
t t 2因为 1 2 2 0， ta 1
t2 1，所以 0 t1 1 t2 ．
因为 F (x)在 ( , ln t1)， (ln t2 , )上单调递减，在 (ln t1, ln t2 )上单调递增，由题意，
ln t2 ≤ ln 2，即 t2 ≤ 2，所以 0 t1 1 t2 ≤2， ………………………………………9分
所以方程 at 2 2(a 1)t a 0在 (0,2]上有不等的两根，
因为 0 t 1 t，只需g(2)≥0， 解得 a 4 , 1 1 2 ． ………………………………11分 9 2
4 1
综上，当 a ,
时，不等式 f (x) ax a ln 2在 x (ln 2, )上恒成立．…12分
9 3
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