函数的概念(二)
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.
对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.
高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.
学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
课程目标 学科素养
能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数会求函数的定义域会求函数的值域 1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；
2.教学难点：求函数的值域。
多媒体
复习回顾，温故知新1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.2.对函数符号y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。当x=2时y=7可以写成f(2)=7想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；二、探索新知探究一 同一个函数前提条件定义域相同对应关系完全一样结论是同一个函数思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．探索二 常见函数的定义域和值域 思考2：求二次函数的值域时为什么分和两种情况？提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y|y≤}．例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( )(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．( )[解析] (1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．例3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )A．{－2,0,4} B．{－2,0,2,4}C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )A．{y|－1≤y≤1} B．RC．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．关键能力·攻重难题型一 函数的值域1、函数的值域是( )A．(－3,0] B．(－3,1] C．[0,1] D．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．[解析] 由，可知当x＝2时，；当x＝0时，，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．题型二 同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y＝与y＝1；(2)y＝与y＝x；(3)y＝·与y＝.[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．[解析] (1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．题型三 复合函数、抽象函数的定义域3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为______________.(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．[解析] (1)由－1<2x＋1<2，得－1PAGE
7分段函数（第二课时）
【教学目标】
1．知识与技能
（1）掌握分段函数的定义
（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值
（3）会运用分段函数的知识解决实际问题
2．过程与方法
（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。
（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。
3．情感、态度与价值观
培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。
【教学重点、难点】
（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题
（2）难点：建立实际问题的分段函数关系
【教学方法】
讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。
【课时安排】 1课时
【教学过程】
一、复习函数的定义及表示方法
1、函数的定义
2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法
二、基础知识
分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.
思考：分段函数对于自变量的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）
三、基础自测
1.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
[解析]:由函数解析式得，解得，且.
故函数的定义域为，选A.
2.若，则（ ）
A. B.
C. D.
[解析]:∵，∴，
又，∴，选C.
3.函数的图象是（ ）
[解析]:因为，所以B选项正确.
4.（2020 江苏徐州高一期中测试）已知函数，则的值为 .
[解析]:∵，
∴，
∴.
【题型探究】
题型一 分段函数的求值问题
例1 已知函数.
（1）求；
（2）若，求的值.
[分析]:分段函数的解析式求函数值或已知函数值列方程求字母的值.
[解析]:（1），
，
；
（2）当时，，可得，不符合题意；
当时，，可得，不符合题意；
当时，，可得，符合题意；
综上可知，.
[归纳提升]：求分段函数函数值的方法
（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现的形式时，应从内到外依次求值.
【对点练习】①已知，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
[解析]: .故选A.
题型二 分段函数的图象及应用
例2 已知函数.
（1）用分段函数的形式表示函数；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的值域.
[分析]: 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.
[解析]:（1）当时，；
当时，.
所以；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（2）知，在上的值域为.
[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.
（2）设函数式：设出函数的解析式.
（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
（4）下结论：最后用“”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.
【对点练习】② 已知函数.
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的值.
[解析]:（1）函数图象如图所示：
（2）由和函数图象综合判断可知，当时，得， 解得；
当时，得，
解得或（舍去）.
综上可知的值为或.
题型三 分段函数的应用问题
例3 如图，在边长为的正方形的边上有一点，沿折线由点（起点）向点（终点）运动，设点运动的路程为，的面积为.
（1）求关于的函数关系式：
（2）画出的图象；
（3）若的面积不小于，求的取值范围.
[分析]:（1）点位置不同的形状一样吗？
（2）注意该函数的定义域.
[解析]:（1）；
（2）的图象如图所示：
（3）即，当时，，
∴，当时，，
∴，∴的取值范围是.
[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略
（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．
（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．
（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
【对点练习】③某市有两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，俱乐部每块场地每小时收费元；俱乐部按月计费，一个月中小时以内（含小时）每块场地收费元，超过小时的部分，每块场地每小时元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于小时，也不超过小时．
（1）设在俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，在俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元，试求与的解析式；
（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
[解析]:（1）由题，
；
（2）时，，解得：，即当时，，
当时，，当时，．
当时，，故当时，选家俱乐部合算．
当时，两家俱乐部一样合算，当时，选家俱乐部合算．
【误区警示】
分段函数概念的理解错误
例4 求函数的定义域．
[错解]:∵时，，时，，
∴当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数 是两个函数．
[正解]：函数的定义域为，即，∴函数的定义域为．
【学科素养】
建模应用能力
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
例5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为元，每生产一件新样式单车需要增加投入元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数，其中，是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．
（1）试将自行车厂的利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为元，可变成本为元．
[解析]:（1）依题设，总成本为，
则；
（2）当时，，
则当时，.
当时，是减函数，则.
综上可知，当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为元．
[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．
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