2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2 矩形的判定与性质同步达标测试 (word版含解析）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相互平分且相等
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　）
A．矩形的对角线相等 B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（　　）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．3 B． C．3 D．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　）
A．4 B．2 C．8 D．8
7．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
8．要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠A+∠B＝180° B．∠C+∠B＝180° C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
9．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
10．下列条件中，能判定 ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC⊥BD
11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．4.8 B． C． D．13
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
二．填空题（共8小题，满分32分）
13．长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），则点C的坐标为 　 　．
14．如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝3，则矩形的周长为 　 　．
15．如图，矩形ABCD中，线段AD沿AM折叠，使D点落在BC上，若∠DAM＝30°，则∠MNC＝　 　°．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则DE长为 　 　．
17．在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．经过 　 　秒P、Q两点之间的距离是5cm．
18．如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝　 　（注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝8，BC＝6，则OD的长为 　 　．
20．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
21．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是菱形；
（2）若AB＝6，∠AOB＝60°，求四边形CODE的周长．
22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的周长．
23．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝14，DE＝8，求△ABE的周长．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是矩形；
（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．
25．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
26．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点，，连接DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形；
（2）连接OE，如果BD＝10，求OE的长．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不能判定四边形是矩形；
D、两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故D选项能判定四边形是矩形；
故选：D．
2．解：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
根据矩形和菱形的性质得出：矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等；
故选：A．
3．解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：D．
4．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OD，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．
∴AB＝AD＝4．
故选：A．
7．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定 ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：A、当∠A+∠B＝180°时，AD∥BC，不可判断平行四边形ABCD成为矩形，
∴选项A不符合题意；
B、当∠B+∠C＝180°时，AB∥CD，不可判断平行四边形ABCD成为矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
若∠A＝∠B，则∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；
故选：C．
9．解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．解：A、∵ ABCD中，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、 ABCD中，AB⊥BD，不能判定 ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、 ABCD中，AD＝BD，不能判定 ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
11．解：如图，连接BD，
∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝＝13，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD，
由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小，
此时，S△ABC＝BC AB＝AC BD，
即×12×5＝×13 BD，
解得：BD＝，
∴EF的最小值为．
故选：B．
12．解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，
∵S△ABC＝AB AC＝BC AP，
∴AP＝，
∴AM＝AP＝＝1.2，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
13．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），
∴AB＝CD＝3，OA+OD＝AD＝5，OA＝3，
∴OD＝2，
∴点C的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AOB＝60°，OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝3，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+6．
故答案为：6+6．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根据折叠可知：△ADM≌△ANM，
∴∠DAM＝∠MAN＝30°，
∴∠NAB＝90°﹣∠DAM﹣∠MAN＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠ANB＝90°﹣∠NAB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MNC＝180°﹣∠ANB﹣∠ANM＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
在直角△CED中，DE＝＝＝2，
故答案为：2．
17．解：如图，过点Q作QH⊥AB于H，则QH＝AD＝3cm，
∵PQ＝5cm，
∴PH＝＝＝4（cm），
当点P在点Q右侧时，则3t﹣4＝8﹣2t，
∴t＝，
当点P在点Q左侧时，则3t+4＝8﹣2t，
∴t＝，
故答案为：或．
18．解：∵AB∥CD，
∴∠MNK＝∠1＝70°，
由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，
∵CN∥BM，
∴∠CNM+∠KMN＝180°，
∴∠CNM＝110°，
∴∠KNC＝40°，
故答案为：40°．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝90°，
∵AB＝8，
∴BD＝＝＝10，
∴OD＝BD＝5．
故答案为：5．
20．解：∵S矩形ABCD＝2S△ABC，S矩形AEFC＝2S△ABC，
∴S矩形ABCD＝S矩形AEFC，
即S1＝S2．
故答案为：相等．
三．解答题（共6小题，满分52分）
21．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形CODE是菱形；
（2）解：∵∠AOB＝60°，AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝6＝OC，
∵四边形CODE是菱形，
∴OC＝OD＝DE＝CE＝6，
∴四边形CODE的周长＝6×4＝24．
22．证明：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
22+（3﹣x）2＝x2，
解得 x＝．
∴AF＝，
∴菱形AECF的周长为．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠F．
∵∠F＝45°，
∴∠DAE＝45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB＝∠DAE＝45°．
∴∠DAB＝90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．
∵AB＝14，DE＝8，
∴CE＝6．
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，
∴∠DEA＝∠DAE＝45°．
∴AD＝DE＝8．
∴BC＝8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝8，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝24+8．
24．（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵DB＝DC，E是BC的中点，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形ABED是矩形；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，
∴∠DBE＝60°，
∵DB＝DC，
∴△DBC是等边三角形，
∴BD＝BC＝DC＝2，
∵Rt△BAD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝1，AB＝，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝．
25．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵对角线AC，BD交于点O，
∴点O是BD的中点，
∵四边形ACED是矩形，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD，
∴OE＝5，