2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式本章达标检测含解析新人教A版必修第一册（Word含答案解析）

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式x2≥2x的解集是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}
2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 (　　)
A.M>N B.M≥N C.M3.已知实数0A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a
C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a
4.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为(　　)
A. B.{x|x>a}
C. D.
5.关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.-16.已知a,b,c∈R,则下列说法中错误的是 (　　)
A.a>b ac2≥bc2
B.>,c<0 aC.a3>b3,ab>0 <
D.a2>b2,ab>0 <
7.已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
8.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值是 (　　)
A.0 B.1 C. D.3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>0 B.b>0
C.c>0 D.a+b+c>0
10.设a,b为非零实数,且aA.a2>ab B.a2C.< D.a311.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<<.其中能成为x>y的充分条件的是 (　　)
A.① B.②
C.③ D.④
12.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a2+b2≥8
B.≥
C.≥2
D.+≤1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.已知a>b,a->b-同时成立,则ab应满足的条件是　　　　.
14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a=　　　　,c=　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分)
15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,若对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　.
16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):
(1)
(2)6-2x≤x2-3x<18.
18.(本小题满分12分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1.
(1)求+的最小值;
(2)是否存在a,b,使得+的值为 并说明理由.
19.(本小题满分12分)已知命题p: x∈R,x2+2m-3>0,命题q: x∈R,x2-2mx+m+2<0.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;
(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.
20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小 并求出最小值.
21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-222.(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,预计在一年内的销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大 最大年利润为多少
答案全解全析
一、单项选择题
1.D　由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.
2.A　M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=+>0,∴M>N.故选A.
3.C　∵01,-1<-a<0,
0a>a2>-a.故选C.
4.A　∵a<-1,∴a(x-a)<0 (x-a)·>0.
∵a<-1,∴>a,∴x>或x5.A　当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然成立;
当m≠0时,原不等式恒成立需满足解得-1综上可得原不等式恒成立的充要条件为-1结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是-16.D　对于A,c2≥0,则由a>b可得ac2≥bc2,故A中说法正确;
对于B,由>,得-=>0,当c<0时,有a-b<0,则a对于C,∵a3>b3,ab>0,∴a3>b3两边同乘,得到>,∴<,故C中说法正确;
对于D,∵a2>b2,ab>0,∴a2>b2两边同乘,得到>,不一定有<,故D中说法错误.故选D.
7.A　解法一:由题意得,2=1,
∴x+y=(x+3)+y-3
=2[(x+3)+y]-3
=2+++2-3
=++1
≥2+1
=5,
当且仅当=,且+=,
即x=1,y=4时等号成立,∴x+y的最小值为5.
解法二:∵x>0,y>0,∴x+1>0,
由+=得y=,
∴x+y=x+=x+=x+2+=(x+1)++1≥2+1=5,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,
∴x+y的最小值为5.
8.B　由题意得==≤=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故+-=-+=-+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.
二、多项选择题
9.BCD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=2×=-1<0,-=2+=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.
10.CD　对于A,当a=2,b=3时,a对于B,当a=-2,b=1时,a12,故B中不等式不一定成立;
对于C,∵a对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·,∵a又+b2>0,∴a311.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,
因此xt2>yt2是x>y的充分条件.
②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.
③令x=-2,y=1,则x2>y2,但xy2不是x>y的充分条件.
④由0<<可得,x>0,y>0,-<0,即<0,所以y-x<0,所以x>y,因此0<<是x>y的充分条件.
故选AD.
12.AB　因为a>0,b>0,且a+b=4,
所以a2+b2≥=8,即a2+b2≥8恒成立,故A正确;
由≤=2得,0由+==,0三、填空题
13.答案　ab<-1或ab>0
解析　因为a->b-,所以-=>0.
又a>b,即a-b>0,所以>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.
14.答案　-6;-1
解析　由题意知a<0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为,,由根与系数的关系得解得
15.答案　{m|1≤m<19}
解析　①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;
若m=1,则y=3>0恒成立.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,
∴解得1综上可知,1≤m<19.
16.答案　2
解析　已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合
题意;
当a≠0时,依题意知
又存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0 ab≤1,
因此ab=1,且a>0,从而b>0.
又∵a>b,∴a-b>0,
∴=
=(a-b)+≥2,
当且仅当a-b=,即a=,b=时,等号成立.
四、解答题
17.解析　(1)由
得故0所以原不等式组的解集为{x|0(2)由6-2x≤x2-3x<18,
得
即 (7分)
所以
所以-3所以原不等式的解集为{x|-318.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)=1,
∴a+b=, (1分)
又a+b≥2(当且仅当a=b时取等号), (2分)
∴≥2,∴ab≤. (3分)
(1)+≥2=≥4,
当且仅当a=b时取等号. (6分)
(2)∵a>0,b>0,∴+≥2=≥,当且仅当2a=3b时等号成立. (10分)
∵<,∴不存在a,b,使得+的值为. (12分)
19.解析　(1)若命题p为真命题,则x2>3-2m对x∈R恒成立,因此3-2m<0,解得m>.
因此,实数m的取值范围是. (4分)
(2)若命题q为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m2-m-2>0,解得m<-1或m>2.
因此,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>2}. (8分)
(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m∈∪{m|m<-1或m>2}=. (12分)
20.解析　(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.
∵=,∴AM=,
∴=AN·AM=. (4分)
由S矩形AMPN>32,得>32,
又x>0,∴3x2-20x+12>0,
解得06, (7分)
即DN的长(单位:米)的取值范围是x06. (8分)
(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y===3x++12≥2+12=24, (10分)
当且仅当3x=,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24. (11分)
故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米. (12分)
21.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立.
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)
当a≠0时,由题意得
解得a≥. (5分)
所以实数a的取值范围是. (6分)
(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}; (7分)
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,
所以不等式的解集为; (8分)
当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1}; (9分)
②当-11,不等式的解集为; (10分)
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为. (11分)
综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-10时,不等式的解集为. (12分)
22.解析　(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为万元,
∴年销售收入为×150%+×50%·Q=(32Q+3)+x, (4分)
∴W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x
=(32Q+3)-x=(32Q+3-x)
=(x≥0). (7分)
(2)由(1)得,W===--+50. (9分)
∵x+1≥1,∴+≥2=8, (10分)
∴W≤42,当且仅当=,即x=7时,W有最大值42,即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.(12分)
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