2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式本章复习提升含解析新人教A版必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式本章复习提升含解析新人教A版必修第一册（Word含答案解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 77.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-25 00:00:00 | ||
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文档简介
本章复习提升
易混易错练
易错点1 多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大
1.()已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围.
2.(2021山西朔州怀仁一中高一上月考,)已知-1易错点2 忽略基本不等式的应用条件而致错
3.(2019安徽宿州期中,)若x<0,则x++2 ( )
A.无最大值,有最小值8
B.无最大值,有最小值-4
C.有最大值8,有最小值-4
D.有最大值-4,无最小值
4.(2021安徽蚌埠第三中学高一上检测,)x>0时,下列函数的最小值为2的是 ( )
A.y=x(2-x) B.y=C.y=x2+-1 D.y=+
5.(2019湖南岳阳期末,)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为 ,+的最小值为 .
易错点3 忽略二次项系数的符号而致错
6.(2019湖南三湘名校联盟期中,)若 x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤ B.-7.()设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 ( )
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m8.(2021黑龙江大庆中学高一上期中,)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的子集个数为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.()若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|m易错点4 在分式不等式中忽略分母不等于0而致错
10.(2021广东汕头金山中学高三上期中,)已知集合A=,B={0,1,2,4,8},则A∩B= ( )
A.{1,2,4,8} B.{0,1,2}C.{1,2} D.{0,1,2,4}
11.(2021浙江精诚联盟高一上10月联考,)不等式≤1的解集是 ( )
A.{x|-11} D.{x|x<-1或x≥1}
12.()解不等式:≤0.
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2021浙江台州实验中学高一上月考,)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为 .
2.(2021山西太原师院附中、师苑中学高一上月考,)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是 .
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.()解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0.
4.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知a∈R,求关于x的不等式ax2-(a2+1)x+a>0的解集.
三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用
5.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是 .
6.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
7.()已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、转化与化归思想在不等式问题中的应用
8.(2020重庆部分地区高一下期末联考,)当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.{m|m<6} B.{m|m≤6}
C.{m|m≥6} D.{m|m>6}
9.(2020北师大附中高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.解析 令得
∴9a-c=y-x.
∵-4≤x≤-1,
∴≤-x≤①.
∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.
①和②相加,得-1≤y-x≤20,
∴-1≤9a-c≤20.
2.解析 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
则解得
∴2a+3b=(a+b)-(a-b).
∵-1∴-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,∴--2<2a+3b<-1,
即-<2a+3b<.
易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.
3.D 若x<0,则-x>0,∴(-x)+≥2=6,当且仅当-x=,即x=-3时等号成立,∴x++2=-+2≤(-6)+2=-4,∴x++2有最大值-4,没有最小值.故选D.
易错警示 本题易因忽视基本不等式的使用前提而错选A.
利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.
4.B 对于选项A,当x>2时,2-x<0,此时y<0,不符合题意;
对于选项B,当x>0时,可得y==x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=1时,等号成立,∴y=的最小值为2,符合题意;
对于选项C,y=x2+-1=x2+2+-3≥2-3=1,
当且仅当x2+2=,即x=0时等号成立,不符合题意;
对于选项D,y=+≥2×=2,
当且仅当=,即=1时取等号,又=1时x不存在,∴等号不成立,∴y的最小值不是2,不符合题意.
5.答案 2;
解析 ∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2.∵+=·=×≥×=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+的最小值为.
易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,本题易忽视两项和为定值的条件.
6.C 当a=0时,原不等式化为-3x≥0,不恒成立,不符合题意;
当a>0时,由对应二次函数的性质可知,要使ax2-3x+a≥0恒成立,只需满足解得a≥;
当a<0时,由对应二次函数的图象及性质可知,不符合题意.
综上可得,a的取值范围是a≥.
7.B 原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n故选B.
8.B 由-x2+x+2>0得x2-x-2<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1∴A={x∈Z|-x2+x+2>0}={0,1},它有22=4个子集.故选B.
易错警示 解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数.
9.答案 -3;-3
解析 由题意知,a≠0,且1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根,
∴解得或
易知a<0,∴
10.B 由≤0,得解得-2≤x<4,所以集合A={x|-2≤x<4}.
又B={0,1,2,4,8},所以A∩B={0,1,2}.
故选B.
11.D 不等式≤1,即-1≤0,所以≤0,
所以解得x≥1或x<-1,
所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.
故选D.
12.解析 ≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1易错警示 把含等号的分式不等式化为整式不等式后,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.
思想方法练
1.答案 {m|2-2解析 设函数y=x2-mx+m+2,其图象的对称轴为直线x=,
设出不等式对应的函数,考虑函数图象的特点,应用函数与方程思想.
①当≤-2,即m≤-4时,
(-2)2-m×(-2)+m+2>0,
根据函数图象列出相应关系式.
解得m>-2,
又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-4Δ=(-m)2-4(m+2)<0,
根据函数图象特点,得到对应方程根的情况,列出相应关系式.
解得2-2又∵-4∴2-2③当≥4,即m≥8时,
42-m×4+m+2>0,
根据函数图象列出相应关系式.
解得m<6,
又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-22.答案
解析 由题意,可得x=-2和x=-是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a>0,
由不等式的解集得到相应方程的根,应用函数与方程思想.
所以解得
通过根与系数的关系求得参数之间的关系式.
则不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,即2ax2-5ax+2a<0,
因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)<0,
解得思想方法 函数与方程思想在本章中的体现:
(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的解的情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.
3.解析 原不等式等价于<0.
由于对应方程两根的大小不确定,所以需
对两根大小进行分类讨论.
①当a>0时,>-,原不等式的解集为;
②当a<0时,<-,原不等式的解集为;
③当a=0时,原不等式的解集为 .
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为 .
4.解析 对不等式的二次项系数是不是0进行讨论.
(1)当a=0时,原不等式可化为-x>0,解得x<0.
(2)当a>0时,原不等式可化为(x-a)>0,
要得到原不等式的解集,需对对应方程两根和a的大小进行分类讨论.
①当0a,原不等式的解集为;
②当a=1时,原不等式可化为(x-1)2>0,其解集为{x|x≠1};
③当a>1时,a或x<.
(3)当a<0时,原不等式可化为(x-a)<0,
要得到原不等式的解集,需对对应方程两根和a的大小进行分类讨论.
①当-1②当a=-1时,原不等式可化为(x+1)2<0,其解集为 ;
③当a<-1时,>a,原不等式的解集为.
综上,当a=0时,解集为{x|x<0};
当0当a=1时,解集为{x|x≠1};
当a>1时,解集为;
当-1当a=-1时,解集为 ;
当a<-1时,解集为.
思想方法 在本章中,分类讨论思想主要用于解含参数的不等式,主要有以下几种情况:
(1)二次项系数为参数且没有给出具体范围时,要分大于0,等于0,小于0三类讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.答案
解析 由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.
作出二次函数的图象,结合不等式得出参数满足的条件.
由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.
6.解析 (1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即解得-3(3)由方程的两个根都大于零,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,即解得0作出二次函数的图象,结合根的分布情况得出参数满足的条件.
7.解析 (1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4综上可知,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,
只需在x=1,x=3时的函数值均为负即可,
即解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是.
结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.
思想方法 数形结合思想在本章主要体现在“三个二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数的图象形象直观地研究二次不等式的解集与一元二次方程的根.
8.A 当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立 当x>0时,不等式m将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
当x>0时,x+≥2=6(当且仅当x=3时取“=”),
因此=6,
所以m<6,
故选A.
9.解析 (1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实根,
由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想.
所以-m=x1+x2=5,n=x1x2=4,
故m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,
所以a≤-1.
思想方法 转化与化归思想在本章中主要表现在恒成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数的转化.
11
易混易错练
易错点1 多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大
1.()已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围.
2.(2021山西朔州怀仁一中高一上月考,)已知-1
3.(2019安徽宿州期中,)若x<0,则x++2 ( )
A.无最大值,有最小值8
B.无最大值,有最小值-4
C.有最大值8,有最小值-4
D.有最大值-4,无最小值
4.(2021安徽蚌埠第三中学高一上检测,)x>0时,下列函数的最小值为2的是 ( )
A.y=x(2-x) B.y=C.y=x2+-1 D.y=+
5.(2019湖南岳阳期末,)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为 ,+的最小值为 .
易错点3 忽略二次项系数的符号而致错
6.(2019湖南三湘名校联盟期中,)若 x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤ B.-
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n
A.2 B.4 C.6 D.8
9.()若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|m
10.(2021广东汕头金山中学高三上期中,)已知集合A=,B={0,1,2,4,8},则A∩B= ( )
A.{1,2,4,8} B.{0,1,2}C.{1,2} D.{0,1,2,4}
11.(2021浙江精诚联盟高一上10月联考,)不等式≤1的解集是 ( )
A.{x|-1
12.()解不等式:≤0.
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2021浙江台州实验中学高一上月考,)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为 .
2.(2021山西太原师院附中、师苑中学高一上月考,)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是 .
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.()解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0.
4.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知a∈R,求关于x的不等式ax2-(a2+1)x+a>0的解集.
三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用
5.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是 .
6.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
7.()已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、转化与化归思想在不等式问题中的应用
8.(2020重庆部分地区高一下期末联考,)当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.{m|m<6} B.{m|m≤6}
C.{m|m≥6} D.{m|m>6}
9.(2020北师大附中高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.解析 令得
∴9a-c=y-x.
∵-4≤x≤-1,
∴≤-x≤①.
∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.
①和②相加,得-1≤y-x≤20,
∴-1≤9a-c≤20.
2.解析 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
则解得
∴2a+3b=(a+b)-(a-b).
∵-1
即-<2a+3b<.
易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.
3.D 若x<0,则-x>0,∴(-x)+≥2=6,当且仅当-x=,即x=-3时等号成立,∴x++2=-+2≤(-6)+2=-4,∴x++2有最大值-4,没有最小值.故选D.
易错警示 本题易因忽视基本不等式的使用前提而错选A.
利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.
4.B 对于选项A,当x>2时,2-x<0,此时y<0,不符合题意;
对于选项B,当x>0时,可得y==x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=1时,等号成立,∴y=的最小值为2,符合题意;
对于选项C,y=x2+-1=x2+2+-3≥2-3=1,
当且仅当x2+2=,即x=0时等号成立,不符合题意;
对于选项D,y=+≥2×=2,
当且仅当=,即=1时取等号,又=1时x不存在,∴等号不成立,∴y的最小值不是2,不符合题意.
5.答案 2;
解析 ∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2.∵+=·=×≥×=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+的最小值为.
易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,本题易忽视两项和为定值的条件.
6.C 当a=0时,原不等式化为-3x≥0,不恒成立,不符合题意;
当a>0时,由对应二次函数的性质可知,要使ax2-3x+a≥0恒成立,只需满足解得a≥;
当a<0时,由对应二次函数的图象及性质可知,不符合题意.
综上可得,a的取值范围是a≥.
7.B 原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n
8.B 由-x2+x+2>0得x2-x-2<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1
易错警示 解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数.
9.答案 -3;-3
解析 由题意知,a≠0,且1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根,
∴解得或
易知a<0,∴
10.B 由≤0,得解得-2≤x<4,所以集合A={x|-2≤x<4}.
又B={0,1,2,4,8},所以A∩B={0,1,2}.
故选B.
11.D 不等式≤1,即-1≤0,所以≤0,
所以解得x≥1或x<-1,
所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.
故选D.
12.解析 ≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1
思想方法练
1.答案 {m|2-2
设出不等式对应的函数,考虑函数图象的特点,应用函数与方程思想.
①当≤-2,即m≤-4时,
(-2)2-m×(-2)+m+2>0,
根据函数图象列出相应关系式.
解得m>-2,
又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-4
根据函数图象特点,得到对应方程根的情况,列出相应关系式.
解得2-2
42-m×4+m+2>0,
根据函数图象列出相应关系式.
解得m<6,
又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2
解析 由题意,可得x=-2和x=-是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a>0,
由不等式的解集得到相应方程的根,应用函数与方程思想.
所以解得
通过根与系数的关系求得参数之间的关系式.
则不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,即2ax2-5ax+2a<0,
因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)<0,
解得
(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的解的情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.
3.解析 原不等式等价于<0.
由于对应方程两根的大小不确定,所以需
对两根大小进行分类讨论.
①当a>0时,>-,原不等式的解集为;
②当a<0时,<-,原不等式的解集为;
③当a=0时,原不等式的解集为 .
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为 .
4.解析 对不等式的二次项系数是不是0进行讨论.
(1)当a=0时,原不等式可化为-x>0,解得x<0.
(2)当a>0时,原不等式可化为(x-a)>0,
要得到原不等式的解集,需对对应方程两根和a的大小进行分类讨论.
①当0
②当a=1时,原不等式可化为(x-1)2>0,其解集为{x|x≠1};
③当a>1时,
(3)当a<0时,原不等式可化为(x-a)<0,
要得到原不等式的解集,需对对应方程两根和a的大小进行分类讨论.
①当-1
③当a<-1时,>a,原不等式的解集为.
综上,当a=0时,解集为{x|x<0};
当0
当a>1时,解集为;
当-1
当a<-1时,解集为.
思想方法 在本章中,分类讨论思想主要用于解含参数的不等式,主要有以下几种情况:
(1)二次项系数为参数且没有给出具体范围时,要分大于0,等于0,小于0三类讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.答案
解析 由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.
作出二次函数的图象,结合不等式得出参数满足的条件.
由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.
6.解析 (1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即解得-3
7.解析 (1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4
②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,
只需在x=1,x=3时的函数值均为负即可,
即解得m<,此时0
综上所述,实数m的取值范围是.
结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.
思想方法 数形结合思想在本章主要体现在“三个二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数的图象形象直观地研究二次不等式的解集与一元二次方程的根.
8.A 当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立 当x>0时,不等式m
当x>0时,x+≥2=6(当且仅当x=3时取“=”),
因此=6,
所以m<6,
故选A.
9.解析 (1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实根,
由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想.
所以-m=x1+x2=5,n=x1x2=4,
故m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,
所以a≤-1.
思想方法 转化与化归思想在本章中主要表现在恒成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数的转化.
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同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用