广东省中山一中2012-2013学年高二上学期段考 数学理试题

中山一中2012—2013学年度上学期第一次段考
高 二 数 学(理科) 试 卷
满分150分，时间120分钟
一、选择题：（每小题5分，共40分，只有一个答案正确）
1. 已知命题“若,则”为真，则下列命题中一定为真的是（　　）
A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则
2.在中，＝　　　　　　　　　　　（　　 ）
A．　　　　　　　B． 　　　　C． 　 D．
3.在数列中，则的值为　　　　　（　　）
A.　 49　　　　　　B. 50 　　　　　C. 51 　 　 D.52
4．已知关于的不等式的解集是，则实数之值为
A. B. C. D.
5．已知条件，条件，则是的 .......（ ）
A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件
C． 充分必要条件 D． 既非充分又非必要条件
6．在等比数列中，则（）
．3 ． C．3或 ．或
7.等差数列满足＞0，3=7，若前n项和取得最大值，则n=（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
⒏设、满足，则的取值范围是21世纪教育网
A． B． C． D．
二、填空题：(每小题5分，共30分)
9．命题“( ，”的否定是_______________ _________.
10.已知,,则 ,(用填写)
11．已知数列{}的前项和，则其通项
12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 　 吨.
13.已知数列满足则的最小值为__________.
14．在△ABC中，内角的对边分别是，若，，则角= 21世纪教育网
班级 登分号 姓名 统考号
密 封 线 内 不 要 答 题
中山一中2012—2013学年度上学期第一次段考
高 二 数 学(理科) 答 卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
答案
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. ________ 10. ________ __ ______
11. _____________ ___ 12. _________ __ ___
13. _______________ 14._____ ____
三.解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（本小题满分12分）在△ABC中，内角的对边分别是，其中且2是和等比中项,
(1)求△ABC的面积；
(2)若是和的等差中项，求的值。
21世纪教育网
16．（本小题满分14分）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式； （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
17．（本小题14分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本与搭载
费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
18．（本小题满分12分）已知没有实根,

(1)若为假命题,求m的取值范围;
(2)为假命题，求m的取值范围。
19．（本小题满分14分）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米
(1) 当BC长度为2米时, AC为多少米？
(2)为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？


密 封 线 内 不 要 答 题
20．(本小题满分14分)在数列中，，。
（1）令,求证是等比数列,并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和。
（3）求数列的前项和。
21世纪教育网
中山一中2012—2013学年度上学期第一次段考
高 二 数 学(理科) 答 案
三、解答题：
15．（本小题满分12分）在△ABC中，内角的对边分别是，其中且2是和等比中项,
(1)求△ABC的面积； (2)若是和的等差中项，求的值。
15.解: (1)因为2是和等比中项,所以,…………………………………3分
所以=,………………………………………6分
(2)因为是和的等差中项，所以,……………………………………8分
由余弦定理得
,……11分
所以的值为……………………………………………………………………12分
16．（本小题满分14分）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：（I）设的公比为
由已知得，……………………………21世纪教育网………………..3分
解得……………………………………………………………………………….5分
（Ⅱ）由（I）得，，则，…………………….7分
设的公差为，则有解得…………………10分
从而………………………………….12分
所以数列的前项和……….14分
17．（本小题14分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本与搭载
费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
17.解：设搭载产品A x件，产品B y件，总预计收益为z万元……………1分
预计总收益z＝80x＋60y…………………………………………………………2分
则，………21世纪教育网………………………………………………5分
作出可行域，如图.
……………8分
作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z取得最大值，…10分
由 解得，即M(9,4)……………………………………12分
所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)………………………………………………13分
答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元……14分
18．（本小题满分12分）已知没有实根,

(1)若为假命题,求m的取值范围;(2)为假命题，求m的取值范围。
18．（本小题满分12分）
解：(1) 若为假命题,则, ……………………………….………1分
所以……………………………….………..……3分
所以,………………………………………………………………...……4分
(2)由(1)知道当时,
当时, , 解得, …………6分
…………7分
若 …………9分
若 …………11分
综上所述，m的取值范围为 …………12分
19．（本小题满分14分）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米
(1) 当BC长度为2米时, AC为多少米？ (2)为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
19.解：(1) 如图， AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米………21世纪教育网……1分
在△ABC中，依余弦定理得：
即. ……………………………………….…………4分
解得, 答:AC为米………………………………………………………..6分
(2)如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米
在△ABC中，依余弦定理得：
即……………………………………………..8分
化简， …………………….. …………………………10分
所以, ………………………………..12分
当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值
答: AC最短为米,这是BC长度为米………………………14分
20．(14分) 在数列中，，。
（1）令,求证是等比数列,并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和。
（3）求数列的前项和。
解：（1）由条件得，…………………2分
又，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．…………………3分
从而，………………………………………………………………………4分
即．所以………………………………………………………5分
（2）由得…………………………………………………6分
，
，………………………………………7分
两式相减得 ： ，…………………8分
所以 ．……………………………………………21世纪教育网………10分
（3）由得
　　　 ………………………………………………………12分
　　　所以．………………………………14分