北师大版九年级上1.2 矩形的性质与判定 同步练习 (Word版 含解析)

北师大版同步练习 1.2 矩形的性质与判定
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处．若 ，则 等于
A. B. C. D.
2. 四边形 的对角线 ， 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是
A. B. C. D.
3. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是
A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③
C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出②
4. 八年级（）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了 盆红花，那么还需要从花房运来红花
A. 盆 B. 盆 C. 盆 D. 盆
5. 如图，在 中，，点 ， 分别是 ， 的中点， 是斜边 上一点，则添加下列条件可以使四边形 成为矩形的是
A. B.
C. D.
6. 如图，在 中，，， 分别是 ， 的中点， 是 上一点，，连接 ，，若 ，则 的长度为
A. B. C. D.
7. 如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ，顺次连接 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：，；；，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 如图，在 中，，，垂足为 ， 是 的中点．若 ，则 的长为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，已知四边形 为平行四边形，下列条件中：，，，，能说明平行四边形 是矩形有 （填写序号）．
10. 给出下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；④一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形.其中正确的个数是 ．
11. 如图，在矩形 中，，，以 为斜边在矩形的外部作 ，点 是 的中点，则 的最大值是 ．
12. 如图，菱形 中， 交 于 ， 于 ，连接 ，若 ，则 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
13. 如图所示，已知 ，， 分别是 ， 的中点，判断 与 的位置关系，并说明理由．
14. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ，，若 ，求证：四边形 是矩形．
15. 如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，，，且 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的度数．
16. 如图， 中，点 是 边上一个动点，过 作直线 ，交 的平分线于点 ，交 的外角 平分线于点 ．
（1）请说明：；
（2）当点 在 边上运动到何处时，四边形 是矩形 为什么
17. 如图，在 中，点 ，， 分别是边 ，， 的中点， 是边 上的高．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，，求 的度数．
18. 阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形 即为 的“友好矩形”，显然，当 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）若 为直角三角形，且 ，在图②中画出 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若 是锐角三角形，且 ，在图③中画出 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
答案
第一部分
1. C 【解析】思路分析：利用折叠前后对应角相等及矩形的性质求解即可.
四边形 是矩形，
，
由折叠的性质，得 ，，
，
．
故选：C．
2. B
3. A
4. A 【解析】 矩形的对角线互相平分且相等，
一条对角线用了 盆红花，中间一盆为对角线交点，
还需要从花房运来红花 盆．
5. B
6. A 【解析】， 分别是 ， 的中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
是 的中点，
，
．
故选：A．
7. C 【解析】顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
，
新的四边形成为矩形，符合条件；
四边形 是平行四边形，
，．
，
．
根据等腰三角形的性质可知 ，
．
新的四边形成为矩形，符合条件；
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
，，
，即平行四边形 的对角线互相垂直，
新四边形是矩形，符合条件．
符合条件．
8. D 【解析】，
，
，
，
，
故选D．
第二部分
9. ①④
10.
11.
12.
【解析】 四边形 是菱形，
，
于 ，
为直角三角形 斜边上的中线，
，
，
，
，
，
．
第三部分
13. ．理由如下：
如图，连接 ，．
在 中，
， 是 的中点，
，
同理可得 ，
，
是等腰三角形，
在等腰 中，
是 的中点，
．
14. 在平行四边形 中，，
，
为 的中点，
，
又 ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
在平行四边形 中，，
又 ，
，
平行四边形 是矩形．
15. （1） ，，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是矩形．
（2） 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
16. （1） 平分 ，
，
，
，
，
，
同理 ，
；
（2） 结论：当点 在 中点时，四边形 是矩形，
理由：，，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是矩形．
17. （1） 点 ，， 分别是 ，， 的中点，
， 都是 的中位线，
，，
四边形 是平行四边形．
（2） 四边形 是平行四边形，
，
， 分别是 ， 的中点， 是边 上的高，
，，
，，
，，
，
．
，，
．
18. （1） 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
（2） 如图，
此时共有 个“友好矩形”，矩形 和矩形 ．
易知矩形 和矩形 的面积都等于 面积的 倍，
的“友好矩形”的面积相等．
（3） 如图，
此时共有 个“友好矩形”，矩形 、矩形 及矩形 ，其中矩形 的周长最小．
证明：易知这三个矩形的面积相等，令其为 ，
设矩形 、矩形 及矩形 的周长分别为 ，，， 中 ，，，
则 ，，，
，易知 ，且 ，
，即 ，同理可得，，
最小，即矩形 的周长最小．
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