北师大版同步练习 4.5 相似三角形判定定理的证明
一、选择题(共8小题;共40分)
1. 如图,添加下列条件能判定 的是
A. B.
C. D.
2. 甲三角形的三边长分别为 ,,,乙三角形的三边长分别为 ,,,则这两个三角形
A. 一定不相似 B. 不一定相似
C. 一定相似 D. 无法判断是否相似
3. 一个铝质三角形框架的三条边长分别为 ,,,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为 , 的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,则截法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 若 和 满足下列条件,其中能使 与 相似的是
A. ,,,,,
B. ,,,,,
C. ,,,,,
D. ,,,,,
5. 如图,在 中,高 , 相交于点 ,图中与 相似的三角形共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 如图,小正方形的边长均为 ,则下列图中的三角形(阴影部分)与 相似的是
A. B.
C. D.
7. 如图,在 中,,,.点 是边上 一动点,过点 作 交 于点 , 为线段 的中点,当 平分 时, 的长度为
A. B. C. D.
8. 如图,每个小正方形的边长均为 ,则下列图形中的三角形(阴影部分)与 相似的是
A. B.
C. D.
二、填空题(共5小题;共25分)
9. 如图,在 中, 是边 上一点,连接 ,请你添加一个条件,使得 ,这个条件可以是 .(写出一个即可)
10. 如图, 平分 ,,,则当 时,.
11. 如图,
因为 ,,,
,
所以 .
12. 如图,点 , 分别是 的边 , 上的动点,则下面条件中能使 与 相似的有 .
① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥ .
13. 如图, 平分 ,且 ,,则当 时,.
三、解答题(共4小题;共52分)
14. 如图, 与 是等腰直角三角形,, 分别与 , 相交于点 ,,求证:.
15. 如图,在矩形 中,,.动点 从点 出发以 的速度沿 向点 运动,动点 从点 出发以 的速度沿 向点 运动,设运动时间为 .
(1)当 与 相似时,求 的值;
(2)当 时,求 的值,
16. 如图,,,,.求证:.
17. 请回答:
(1)【基础巩固】如图①,在 中, 为 上一点,,求证:;
(2)【尝试应用】如图②,在平行四边形 中, 为 上一点, 为 延长线上一点,,若 ,,求 的长;
(3)【拓展提高】如图③,在菱形 中, 是 上一点, 是 内一点,,,,,,求菱形 的边长.
答案
第一部分
1. C
2. C
3. B 【解析】由三角形的三边关系可知,只能以长为 的铝材为一边,从长为 的铝材上截下两段.
设截下的两段长分别为 ,(),
由题意得 或 (注: 不可能是最小边长),
由①得 ,,符合题意;
由②得 ,,,不合题意,舍去.
截法只有一种,故选B.
4. A 【解析】A中,
,,,
.
与 相似.
易知B,C,D不正确,故选A.
5. C
【解析】,,
,
,
,
,,
,
,,
,
.
综上,图中与 相似的三角形有 ,,,共 个.
6. B
7. B
8. B 【解析】因为 中有一个角是 ,选项中,有 角的三角形只有B,且满足两边成比例夹角相等,故选B.
第二部分
9. (答案不唯一)
10.
11. ,
12. ①②④⑤
【解析】①当 时,
,
;
②当 时,
,
;
③当 时,无法证明 与 相似;
④当 时,;
⑤当 时,
,
,
又 ,
;
⑥当 时,无法证明 与 相似.
13.
【解析】 平分 ,
,当 时,,
,
,,
,
.
故答案为 .
第三部分
14. 与 是等腰直角三角形,,
.
又 ,,
.
.
15. (1) 由题意,得 ,,则 .
四边形 是矩形,
.
分两种情况:
①若 ,则 .
.
解得 .
②若 ,则 ,即 .
整理,得 .此方程无解.
综上,当 距与 相似时,.
(2) ,
.
,.
当 时,.
解得 (舍去),.
.
16. ,,,
,.
.
又 ,
.
17. (1) ,,
,
,
.
(2) 四边形 是平行四边形,
,,
,
,
,
,
,
,
,
.
(3) 如图,分别延长 , 相交于点 ,
四边形 是菱形,
,,
,
四边形 为平行四边形,
,,,
,
,
,
又 ,
,
,
,
又 ,
,
,
,
,
,
.
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