7.5.1三角形的内角和定理（1） 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
7.5.1三角形的内角和定理（1）
第七章
平行线的证明
2021-2022学年八年级数学上册同步课件
学习目标
1．证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单的问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．
　
导入新课
三角形家族的问题
不对！是我们钝角三角形的内角和最大！
我们锐角三角形的内角和度数最大！
你们别吵了！还是我们直角三角形的内角和最大！
讲授新课
三角形的内角和定理的证明
一
问题1：你觉得他们谁说的对
问题2：你还记得吗？小学我们是怎样探索三角形内角和的？
你能给大家说说或者展示一下吗？
讲授新课
一、测量法
480
720
600
600＋480＋720＝1800
讲授新课
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
探究一：折叠的方法，和你们的操作一样吗？
二、折叠法
讲授新课
三、剪拼法（撕拼法）
A
B
C
2
1
讲授新课
A
C
B
A
C
B
E
旋转平移
问题1：如图，当∠A移到∠1的位置时，残边CD和边AB有何位置关系？为什么？
问题2：在剪拼法中，通过移动角拼成了一个平角；如果不实际移动角,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗
讲授新课
A
C
B
E
D
A
C
B
1
2
3
E
规范作图
辅助线
辅助线通常画虚线
辅助线
讲授新课
思路总结
添加辅助线
三角形内角和
转化
平角/同旁内角
讲授新课
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
讲授新课
你还有什么方法可以达到同样的效果？
可以用“两直线平行，同旁内角互补”来说明.可以通过作辅助线实现移动的效果，例如延长BC到点D，过点C作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.这里的CD、CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。
讲授新课
想一想：还有其他方法证明三角形内角和定理吗？
讲授新课
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：(如图①)过点A作PQ∥BC，
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．
讲授新课
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：(如图②)过点C作CE∥AB，
则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠B＋∠BCE＝180°
(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，
∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°(等量代换)，
∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．
讲授新课
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC，RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
(两直线平行，同位角相等)．
∠A＝∠BQP＝∠QPR
(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．
∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．
讲授新课
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
三角形的内角和定理的运用
二
讲授新课
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
讲授新课
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
讲授新课
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
讲授新课
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
讲授新课
【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
讲授新课
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
当堂检测
1. 在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
D
2.三角形的内角和等于（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
B
当堂检测
3．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则下列对△ABC形状的判断正确的是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则较大
锐角的度数是________．
55°
B
当堂检测
5．已知：如图，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分线相交于点G.求证：EG⊥FG.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°.
∵ EG，FG分别平分∠BEF，∠EFD，
∴ ∠GEF＝ ∠BEF，∠EFG＝ ∠EFD.
∴ ∠GEF＋∠EFG＝ (∠BEF＋∠EFD)＝90°.
∴ ∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，
即EG⊥FG.
当堂检测
6.在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
课堂小结
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
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