7.5.2三角形的内角和定理（2） 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
7.5.2三角形的内角和定理（2）
第七章
平行线的证明
2021-2022学年八年级数学上册同步课件
学习目标
1. 会识别三角形的外角，并能运用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明.
2. 通过小组合作的方式，探索、证明与三角形外角有关的定理，体会一题多解的思维多样性和转化思想，提高总结概括和逻辑推理的能力.
　
导入新课
1、回顾三角形内角和定理.
2、三角形的边、角关系有哪些？
三角形
边的关系
角的关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
三角形三个内角的和等于180 °
　
导入新课
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
想一想
讲授新课
三角形的外角的概念
一
观察：∠1 的两条边与△ABC的两条边有什么关系？
C
B
A
D
1
观察：∠1 的顶点与△ABC的顶点有什么关系？
①顶点是三角形的顶点；
②一条边是三角形内角的一边；
③另一条边是该内角另一条边的
反向延长线.
讲授新课
C
B
A
D
1
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角.
∠1 是△ABC的一个外角
讲授新课
问题1 延长AC 到E ，∠2是△ABC的一个外角吗？
∠3是△ABC的一个外角吗？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
对顶角，∠1 =∠2；
C
B
A
D
∠2是△ABC的一个外角，
∠3不是△ABC的一个外角.
问题2 三角形每个顶点处有几个外角？它们有怎样的关系？
1
2
3
2
1
讲授新课
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
讲授新课
F
A
B
C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪两个三角形的外角？
练一练
讲授新课
三角形的外角的性质
二
A
C
B
D
∠1=∠A+∠B
你能证明此结论吗？
观察：∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？
∠1与∠2互补
1
2


∠1+∠2=180°(平角的定义).
∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B
讲授新课
已知：△ABC.
求证：∠ACD=∠A+∠B，
∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
证明：∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），
∵ ∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
讲授新课
定理：三角形的一个外角大于任何一个与它
不相邻的内角.
A
B
C
符号语言：
归纳
三角形内角和定理有关外角的两个推论：
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1=∠B+∠C
符号语言：
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C
1
定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
讲授新课
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
讲授新课
例 如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥ BC.
A
C
D
B
E
例题运用了定理“内错角相等,两直线平行”
证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个
外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C (已知),
2
3
1
∴∠C= ∠EAC (等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥ BC(内错角相等,两直线平行).
讲授新课
例 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C.
求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
当堂检测
1.如图，在△ABC中， D是BC延长线上一点，
∠B = 40°，∠ACD = 120°，
则∠A等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
【解析】根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°.
C
当堂检测
2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )
A.∠3=2∠1+∠2
B.∠3=2∠1-∠2
C.∠3=∠1+∠2
D.∠3=180°-∠1-∠2
【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，
∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.
C
当堂检测
3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.
【解析】延长BC交直线a于点D，
∵直线a∥b,
∴∠ADC=∠B=50°.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.
78
当堂检测
4.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
证明:∵CE平分∠ACD
∴∠1=∠2
∵∠BAC＞∠1
∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B
∴∠BAC＞∠B
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
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