2021-2022 学年度第一学期期末考试高二联考数学（文科）试卷
参考答案
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B A C B A C D C D B
二、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分，满分 20 分．
（13）6 （14）2 （15）( 1,2] （16） 7
三．解答题：本大题共 6小题，共 70 分.
(17) （本小题满分 12 分）（每问 6分）
由题知 ： < < 3 ； ：2 ≤ < 4
(1)若 = 1，则 ：1 < < 3
∵ ∨ 为真
∴ ， 至少有一个为真，取 ， 的并集，即：1 < < 4
∴实数 的取值范围为(1,4)
(2)由题知 是 的充分不必要条件，故 ，
< 2
∴ 3 ≥ 4 4，解得： ≤ < 2，即实数 4的取值范围为[ , 2)3 3
> 0
(18) （本小题满分 12 分）（每问 6分）
(1) ’( ) = 3 2 2 +
(1) = 8 4 + = 8 = 3
由题意可得： ’(1) = 12，即 3 2 + = 12，解得： = 9
(2)由(1)知 ’( ) = 3 2 6 9 = 3( + 1)( 3)
令 ’( ) = 0 得 = 1或 = 3
当 ∈ [ 2,4]时， ’( )、 ( )随 变化的情况如下表：
2 ( 2, 1) 1 ( 1,3) 3 (3,4) 4
’( ) + 0 0 +
( ) 1 极大值 8 极小值 24 17
由表可知： ( ) = ( 1) =8， ( ) = (3) = 24
(19) （本小题满分 12 分）（每问 6分）
2
(1)当 = 5 2时， ’( ) = + 2 5 = 2 5 +2 = (2 1)( 2) ( > 0)
令 ’( ) > 0得 0 < < 1 或 > 2，令 ’( ) < 0 1得 < < 2
2 2
∴ ( ) 1 1的单调递增区间为(0, )和(2, + ∞)，单调递减区间为( , 2)
2 2
(2) 2由题知 ’( ) = + 2 ≥ 0在(0, + ∞)上恒成立
∴ ≤ 2+ 2 在(0, + ∞) 2上恒成立，即 ≤ ( + 2 )
又∵当 > 0 2时， + 2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号
∴ ( 2 + 2 ) = 4，即 ≤ 4
∴实数 的取值范围为( ∞, 4]
(20) （本小题满分 12 分）（第一问 4分，第二问 8分）
2 2(1)设椭圆 的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)
抛物线 2 = 4 3 的焦点坐标为(0, 3)，则 = 3
1
由 = ，且 2 = 2 + 2，得 = 2 2
2 2
∴ 椭圆 的标准方程为 + = 1 【4分】
4 3
(2) 6当 = 2时，代入椭圆得 =± ，所以 = 6 【1分】
2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 =
1 +
2
2 +
2
= 1
联立 4 3 消去 得： 21 + +
2 3 = 0
= +
2
由△= 2 4( 2 3) > 0，解得 2 < < 2
由韦达定理得 1 + 22 = ， 1 2 = 3 【3分】
1 1
四边形 的面积 = × × | 1 22| = × × ( 1 + 2) 4 1 2 2 2
= 6 12 3 2
2
∴当 = 0， 6取到最大值， = × 12 = 3 2 【4分】2
(21) （本小题满分 12 分）（第一问 5分，第二问 7分）
(1)当 = 1时， ( ) = ，则 ’( ) = 1 ( ∈ )
令 ’( ) > 0得 < 0，令 ’( ) < 0得 > 0
∴ ( )在( ∞, 0)上单调递增，在(0, + ∞)上单调递减
因此， ( )在 = 0处取极大值，极大值为 (0) = 1，无极小值 【5分】
(2) ∵存在 ∈ (0, + ∞)，使不等式 ( ) ≤ g( ) 成立
∴ ≤ ≤ ，即
2
设 ( ) = 2，则问题转化为 ≤ ( ) ， ∈ (0, + ∞) 【2分】
’( ) = 1 2
3
令 ’( ) > 0得 0 < < ，令 ’( ) < 0得 >
∴ ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减 【3分】
∴当 = 时， ( )有最大值， ( ) = ( ) =
1
2
∴ ≤ 1 1，即 的取值范围为( ∞, ] 【2分】
2 2
(22) （本小题满分 10 分）（第一问 4分，第二问 6分）
2
(1)曲线 = cos 1： 2 = 2sin ，消去参数 得： + = 1 【2分】4
曲线 2： sin(
π ) = 1 3 1
6 ，即 sin cos = 12 2
将 = cos ， = sin 代入化简可得： 3 + 2 = 0 【2分】
(2)经检验 (1, 3)在曲线 2上
= 1 + 3
则曲线 2的参数方程可写为： 21 ( 为参数) 【2分】 = 3 +
2
代入曲线 1，得：13 2 + 20 3 + 12 = 0 【2分】
设 、 两点对应的参数分别为 1、 2
则由韦达定理得： 1 + =
20 3
2 （ 13 1、 2同号）
故 + = 1 + 2 =
20 3
【2分】
132021-2022 学年度第一学期期末联考高二数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席 1935年 10月所写的一首词《清
平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神。从数学逻
辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法正确的是( )
A. “若 2 + 2 = 0，则 ， 全为 0”的否命题为“若 2 + 2 ≠ 0，则 ， 全不为 0”
B. “若方程 2 + = 0有实根，则 > 0”的逆命题是假命题
C. 命题“ ∈ ， 2 + 1 < 0”的否定是“ ∈ ， 2 + 1 > 0”
D. “ = 1”是“直线 + 2 8 = 0与直线 + ( + 1) + 4 = 0平行”的充要条件
3.已知函数 ( ) = ’( ) (
，则 )3 6 的值为( )
A. 3 B. 0 C. 1 D. 3
4.若曲线 = 2的一条切线 与直线 + 2 4 = 0垂直，则 的方程为( )
A. 2 1 = 0 B. 2 = 0 C. 4 4 = 0 D. 2 + 1 = 0
5.函数 = ( )的导函数 ’( )的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数 = ( )在( ∞, 0)上单调递增
B. 函数 = ( )的递减区间为(3,5)
C. 函数 = ( )在 = 3处取得极大值
D. 函数 = ( )在 = 4处取得极小值
+ ≥ 1
6.已知 为坐标原点，点 的坐标为(3,1)，点 的坐标( , )满足 2 ≤ 1，则
≤ 1
的最小值为( )
A. 7 B. 5 C. 1 D. 4
7.若命题“ ∈ ， 2 + 1 ≤ 0”是假命题，则实数 的取值范围为( )
A. [0,4) B. (0,4) C. [0,4] D. ( ∞, 0] (4, + ∞)
8.已知等差数列{ }中的 3、 7是函数 ( ) = 3 12 2 + 6 1的两个不同的极值点，
则log2 5的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2
9.已知点 、 是抛物线 ： 2 = 4 上的两点，且线段 过抛物线 的焦点 ，若 的中
点到 轴的距离为 3，则| | =( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
10.已知函数 ( )及其导函数 ’( )，若存在 0使得 ( 0) = ’( 0)，则称 0是 ( )的一个
“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )
A. ( ) = 2 B. ( ) = ln C. ( ) = D. ( ) =
11.设函数 ’( )是奇函数 ( )( ∈ )的导函数，且 ( 1) = 0，当 > 0时， ’( )
( ) < 0，则不等式 ( ) > 0的解集为( )
A. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) B. ( 1,0) ∪ (0,1)
C. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) D. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
3 ( ) = 4 , ≤ 012.已知函数 ln , > 0 ，若函数 g( ) = ( ) + 有 3个零点，则实数
的取值范围是( )
A. [0,1) B. [0,2) C. ( ∞, 1] D. ( ∞, 2]
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分。
13.已知函数 ( ) = 2 + ln 在 = 1处有极值 2，则 = .
14.已知直线 = + 1与圆 ： 2 + 2 + 2 3 = 0 交于 、 两点，则 C的面积
为 .
2 2 2 2
15.已知命题 ：方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：方程 + = 1
2 6 +1 3
表示双曲线.若( ) ∧ 为真，则实数 m 的取值范围为 .
2 2
16.已知 1、 2是双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1的直线 与双曲线
的左、右两支分别交于 、 两点，若 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 12 分）
设 p：实数 x 满足 2 4 + 3 2 < 0( > 0)，q 2：实数 x 满足 ≤ 0． 4
(1)若 = 1，且 ∨ 为真，求实数 x 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
18.（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) = 3 2 + + 3( , ∈ )的图像在点(1, (1))处的切线方程为
12 + 4 = 0．
(1)求实数 、 的值；
(2)求函数 ( )在[ 2,4]上的最值．
19.（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) = 2ln + 2 ．
(1)当 = 5时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 ( )在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围．
20.（本小题满分 12 分）
1
已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线
2
2 = 4 3 的焦点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 = 2与椭圆交于 、 两点， 、 是椭圆上位于直线 = 2两侧的动点，
且直线 1的斜率为 ，求四边形 面积的最大值．
2
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) = ( ∈ )， g( ) = ．
(1)当 = 1时，求函数 的极值；
(2)若存在 ∈ (0, + ∞)，使不等式 ( ) ≤ g( ) 成立，求实数 的取值范围．
22.（本小题满分 10 分）
= cos
在平面直角坐标系 中，曲线 1的参数方程为 = 2sin ( 为参数)，以坐标原点为极
π
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 sin( ) = 16 ．
(1)求曲线 1的普通方程和曲线 2的直角坐标方程；
(2)若 1与 2相交于 、 两点，设 (1, 3)，求 + ．
