2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册5.2.1三角函数的概念讲义

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名称 2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册5.2.1三角函数的概念讲义
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文件大小 404.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-01-25 23:20:11

文档简介

5.2.1三角函数的概念与定义
【知识梳理】
一、任意角的三角函数定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即;
(2)叫做的余弦,记做,即;
(3)叫做的正切,记做,即.
注意:
三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.
我们只需计算点到原点的距离,
那么,,。
二、三角函数值的符号
正弦:一二象限正,三四象限负;
余弦:一四象限正,二三象限负;
正切:一三象限正,二四象限负.
简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
简记口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
三、诱导公式一
由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等,由此得到诱导公式一:
其中
注意:
(1)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或0°~360°)范围内角的三角函数值.
(2)上面三个公式也可以统一写成:f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z),或f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z).
四、特殊角的三角函数值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
正弦 0 1 0 -1 0
余弦 1 0 -1 0 1
正切 0 1 -1 0 0
【题型1 三角函数的定义】
【解题方法】
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:
法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
法二:在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sin α=,cos α=.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【例1】在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点和,=( )
A.- B.- C. D.
【变式1-1】已知角的终边经过点,且,,则
A. B. C. D.
【变式1-2】设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于(  )
A. B.- C. D.-
【变式1-3】角的终边上一点,,则
A. B. C.或 D.或
【变式1-4】角α的终边落在直线上,则sinα的值为(  )
A.- B. C. D.±
【题型2 利用象限角判断三角函数的符号】
【例2】若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【变式2-1】若,则在
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
【变式2-2】已知点在第三象限,则角在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【变式2-3】式子的符号为
A.正 B.负 C.零 D.不能确定
【变式2-4】已知tanα>0,且sinα+cosα>0,则α属于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【变式2-5】若角的终边过点,试判断的符号。
【变式2-6】求函数的值域。
【题型3 诱导公式一的应用】
【例3】求下列各式的值.
(1)cos+tan; (2)sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°).
【变式3-1】下列值①;②;③;④是负值的为
A.① B.② C.③ D.④
【变式3-2】求下列各式的值:
(1) (2)
【变式3-3】求下列各式的值
(1) (2).
【变式3-4】求下列各式的值
(1) (2).
【变式3-5】计算下列各式的值:
(1); (2);15.2.1三角函数的概念与定义
【知识梳理】
一、任意角的三角函数定义
1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即;
(2)叫做的余弦,记做,即;
(3)叫做的正切,记做,即.
注意:
三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.
我们只需计算点到原点的距离,
那么,,。
二、三角函数值的符号
正弦:一二象限正,三四象限负;
余弦:一四象限正,二三象限负;
正切:一三象限正,二四象限负.
简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
简记口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
三、诱导公式一
由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等,由此得到诱导公式一:
其中
注意:
(1)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或0°~360°)范围内角的三角函数值.
(2)上面三个公式也可以统一写成:f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z),或f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z).
四、特殊角的三角函数值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
正弦 0 1 0 -1 0
余弦 1 0 -1 0 1
正切 0 1 -1 0 0
【题型1 三角函数的定义】
【解题方法】
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:
法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
法二:在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sin α=,cos α=.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【例1】在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点和,=( )
A.- B.- C. D.
【答案】B
【解析】∵角α,β的终边与单位圆分别交于点和,
故由定义知sin α=,cos β=-,
∴sin αcos β=×=-.
【变式1-1】已知角的终边经过点,且,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】角的终边经过点,且,,,则,
【变式1-2】设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于(  )
A. B.- C. D.-
【答案】A
【解析】∵点P在单位圆上,则|OP|=1.即,解得a=±.
∵a<0,∴a=-.
∴P点的坐标为.
∴sin α=-,cos α=.
∴sin α+2cos α=-+2×=.
【变式1-3】角的终边上一点,,则
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】的终边上一点,,
当时,,,;
当时,,,,
【变式1-4】角α的终边落在直线上,则sinα的值为(  )
A.- B. C. D.±
【答案】D
【解析】当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点,
由,得.
当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点,
∴,

【题型2 利用象限角判断三角函数的符号】
【例2】若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
【变式2-1】若,则在
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
【答案】D
【解析】,可知与异号,说明在第或第四象限.
【变式2-2】已知点在第三象限,则角在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】由题意,,
由①知,为第三、第四或轴负半轴上的角;
由②知,为第二或第四象限角.则角在第四象限.
【变式2-3】式子的符号为
A.正 B.负 C.零 D.不能确定
【答案】B
【解析】,2,4分别表示第一、二、三象限的角,,,.
【变式2-4】已知tanα>0,且sinα+cosα>0,则α属于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可得:
,∴,∴.
∴α为第一象限的角,故选A.
【变式2-5】若角的终边过点,试判断的符号。
【解析】当时,,.
则;
当时,,,
则.
综上,当时,的符号为负;
当时,的符号为正.
【变式2-6】求函数的值域。
【答案】{-1,3}
【解析】由题意知,角x的终边不在坐标轴上。
当x是第一象限角时,;
当x是第二象限角时,;
当x是第三象限角时,;
当x是第四象限角时,,
故函数的值域为{-1,3}。
【题型3 诱导公式一的应用】
【例3】求下列各式的值.
(1)cos+tan; (2)sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°).
【解析】 (1)因为cos=cos=cos=,
tan=tan=tan=1,
所以cos+tan=+1=.
(2)因为sin 420°=sin(360°+60°)=sin 60°=,
cos 750°=cos(2×360°+30°)=cos 30°=,
sin(-690°)=sin(-2×360°+30°)=sin 30°=,
cos(-660°)=cos(-2×360°+60°)=cos 60°=,
所以sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)=×+×=1.
【变式3-1】下列值①;②;③;④是负值的为
A.① B.② C.③ D.④
【答案】C
【解析】①;
②;
③;
④为第二象限角,;
综上,是负值的序号为③.
【变式3-2】求下列各式的值:
(1) (2)
【答案】(1) (2)1
【解析 】(1).
(2)

【变式3-3】求下列各式的值
(1) (2).
【答案】(1); (2)0
【解析】(1)
(2).
【变式3-4】求下列各式的值
(1) (2).
【答案】(1) (2)8
【解析】(1).
(2).
【变式3-5】计算下列各式的值:
(1); (2);
【答案】(1); (2)
【解析】(1)原式

(2).
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