2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系 讲义

5.2.2同角三角函数的基本关系式
【知识点1 同角三角函数的基本关系式】
（1）平方关系： （2）商数关系：
要点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
【知识点2 同角三角函数基本关系式的变形】
1．平方关系式的变形：， ，
2．商数关系式的变：，.
【题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值】
【方法小结】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。
在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；
若角α所在象限不确定，则应分类讨论，
有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就α所在象限讨论。
【例1】已知，为第二象限角，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，为第二象限角，所以，
因此.
【变式1-1】（1）已知，且是第二象限角，则
【答案】
【解析】∵是第二象限角，∴.
又，∴.
（2）已知是第三象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是第三象限角，∴.
∵，
∴.
（3）已知，求，的值．
【解析】∵sinα＞0，sinα≠1，
∴α是第一或第二象限角，由，得：
（1）如果α是第一象限角，那么cosα＞0，于是，从而，
（2）如果α是第二象限角，那么cosα＜0，于是，从而．
【例1-2】已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，知：
∴
【变式1-2】（1），，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴.
（2）已知，求的值．
【解析】∵cosα＝﹣，∴α是第二或第三象限角．
若α是第二象限角，则sinα＝＝，tanα＝＝﹣，
∴sinα+tanα＝﹣＝﹣．
若α是第三象限角，则sinα＝﹣＝﹣，tanα＝＝，
∴sinα+tanα＝﹣+＝．
【例1-3】已知，且是第四象限角．求的值．
【解析】∵，，α是第四象限角，
∴，，
∴.
【变式1-3】（1）已知是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是第二象限角，所以，
又，所以，
因此，
即，所以.
（2）已知，是第二象限角，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，是第二象限角，则；
又，
所以，
故.
【变式1-4】（难）已知A为锐角，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵A为锐角，∴，，
∵，
∴，
∴
【题型2 三角函数式的化简】
【方法】解答此类题目的关键在于逆用公式sin2α+cos2α=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2α+cos2α”，
1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。
【例2-1】（1）已知角为第二象限角，化简： .
【答案】
【解析】因为角为第二象限角，所以，，
【例2-1】（2）化简为
【答案】1
【解析】依题意
【例2-1】（3）已知，化简：．
【答案】
【解析】∵θ∈（，π），
∴1﹣cosθ＞0，1+cosθ＞0，sinθ＞0，
则原式＝+
＝+＝＝．
【变式2-2】化简：（1） （2）．
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）＝＝|cos440°|＝|cos（360°+80°）|＝cos80°；
（2）＝＝．
【变式2-3】化简：（1） （2）
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）原式=.
（2）原式=
.
【变式2-4】已知为第二象限角，化简．
【答案】
【解析】∵α为第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0，
则原式＝cosα+sinα＝cosα+sinα
＝cosα+sinα＝﹣1+sinα+1﹣cosα＝sinα﹣cosα．
【题型3 关于tanα的齐次式问题】
【方法】①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题，
∵cos≠0，可分子分母同除cosn（n∈N*），转化为关于tan的表示式，
②求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入。
【例3】已知tanα＝－，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）.
（2）原式.
（3）原式.
【变式3-1】已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．（3）；（4）的值．
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式．
（4）原式.
【变式3-2】已知，则的值是__________．
【答案】－1
【解析】由已知可得，∴
【题型4 关于、、的相互转化】
【方法】对于已知型的问题，常有两种解法：
一是两边平方，得，联立两式解出sin，cos的值；
二是对所求式子进行变形，化为sin±cos，sin·cos的形式代入求解，注意正负号的讨论。
【例4-1】已知，且，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）； （2）； （3）
【解析】（1）得，于是sinθcosθ＝．
（2）因为θ∈（0，π），sinθ＞0，sinθcosθ＝所以cosθ＜0，cosθ﹣sinθ＜0
而
所以 ∴，
（3）sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）＝．
【例4-2】已知sinαcosα＝，且<α<，则＝________.
【答案】－
【解析】∵<α<，∴sinα>cosα，
∴.
【变式4-1】（1）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，解得.
【变式4-1】（2）已知，，则（ ）
A. B. C D.
【答案】B
【解析】，
又，所以，所以.
【变式4-1】（3）已知，且，则 .
【答案】
【解析】因为且，
所以，，
所以.
【变式4-2】已知，，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）
【答案】（1）
【解析】（1）∵，，
∴，
∴，∴，.
由，整理可得，
解得或（舍去），
所以，，∴.
（2）
（3）.
【变式4-3】已知是第三象限角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
∴.
∵是第三象限角，∴，，
∴.
【变式4-4】（1）角A为△ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则这个三角形为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【变式4-3】（2）若为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以，，所以.
，
所以.
【题型5 利用同角关系证明三角恒等式】
【方法】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；
还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。
但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。
化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。
【例5】证明：．
【答案】证明：左边＝＝＝0＝右边．
故．
【变式5-1】求证：．
【答案】证明：∵左边＝
═＝＝右边
∴＝成立
【变式5-2】已知，，求证：．
【答案】证明：∵已知tanα＝＝，tanβ＝＝，
∴．
两式相减可得﹣＝﹣（），
∴＝，∴xsinβ＝ysinα，
∴＝．
【变式5-3】证明：
（1）
（2）．
【答案】（1）证明：∵＝＝＝cosθ，
∴＝cosθ成立．
（2）∵sin4α﹣cos4α＝（sin2α+cos2α） （sin2α﹣cos2α）＝1 （sin2α﹣cos2α）＝﹣cos2α＝2sin2α﹣1，
故sin4α﹣cos4α＝2sin2α﹣1成立．
【题型6 与参数有关的三角函数问题】
【例6】已知，，若是第二象限角，求实数的值．
【答案】
【解析】依题意得解得a＝或a＝1（舍去）．故实数a＝．
【变式6-1】若，，求的值．
【答案】∵sinα＝，cosα＝，
∴tanα＝，（）2+（）2＝1
∴k＝1，tanα＝0，＝﹣1；
k＝﹣7，tanα＝，＝﹣．
【变式6-2】已知方程的两个实根是和．
（1）求的值； （2）求的值（其中．
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）∵sinθ，cosθ是关于x的方程8x2+6kx+2k+1＝0的两个实根，
∴sinθ+cosθ＝﹣，sinθcosθ＝，
∵sin2θ+cos2θ＝1， ∴（sinθ+cosθ）2﹣2sinθcosθ＝1，即﹣＝1，
整理得：（k﹣2）（9k+10）＝0， 解得：k＝2或k＝﹣，
由于k＝2时△＜0故舍去．故k＝﹣．
（2）由（1）知，把k＝﹣代入，得sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝﹣，
∵sinθ＞cosθ， sinθ﹣cosθ＝＝＝，
∴sinθ＝，cosθ＝，
∴tanθ＝＝＝﹣＝﹣．
【变式6-3】已知关于的方程的两根为和，，．求
（1）的值 （2）的值 （3）方程的两根及的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈[0，2π]，
∴sinθ+cosθ＝，sin，
∴+＝+
＝＝sinθ+cosθ＝．
（2）∵sinθ+cosθ＝，sin，
∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝（）2，即 1+m＝（）2，解得 m＝．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，
解得 sinθ＝，cosθ＝，或 sinθ＝，cosθ＝．
故此时方程的两个根分别为 、，对应θ的值为或．
【变式6-4】已知 、 是关于的方程的两个根．
（1）求的值； （2）求 的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意利用韦达定理知：sin θ+cos θ＝a，sin θ cos θ＝a．
∵（sin θ+cos θ）2＝1+2sin θcos θ，∴a2＝1+2a．
解得：a＝1﹣或a＝1+．
∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a＝1+舍去，a＝1﹣．
∴sin3θ+cos3θ＝（sin θ+cos θ）（sin2θ﹣sin θcos θ+cos2θ）
＝（sin θ+cos θ） （1﹣sin θcos θ）＝a（1﹣a）＝﹣2．
（2）tan θ+＝+＝
＝＝＝＝﹣1﹣．1