长方体和正方体（讲义） 数学五年级下册

学习目标：
1. 知识目标：能够准确的计算出多个长方体和正方体的表面积和体积相关题目；
2. 能力目标：能够认识长方体和正方体，具有初步的立体空间想象能力；
3. 情感目标：使学生感受到长方体和正方体的表面积与体积与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣.
重难点分析：
1.掌握长方体和正方体表面积的计算方法，灵活运用长方体和正方体表面积的知识解决实际问题；
2.掌握体积、容积单位之间互化的方法，理解相邻体积单位之间进率的推算过程.学习容积单位和体积单位之间的换算；
3.准确掌握各种题型做题方法.
思维导图：
知识点一:长方体和正方体的综合
一、棱长的扩大或缩小引起其他量的变化.
1.正方体
正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍.
2.长方体
长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍.
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍.
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍.
长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍.
长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍.
二、段的变化引起棱长总和，表面积和体积的变化（切和拼）
1. 切：立体图形的切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题
长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多.
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少.
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推.
正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题.
将长方体切成小正方体
三、 小正方体拼大长方体的规律
规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的.
四、“填”、“挖”引起的表面积和体积的变化
挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变.体积减少挖去小正方体的体积和.
挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大.体积减少挖去小正方体的体积和.
挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大.体积减少挖去小正方体的体积和.
例1. 一个正方体棱长扩大3倍，棱长总和扩大（ ）倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍；棱长总和增加（ ）倍，表面积增加（ ）倍，体积增加（ ）倍.
练习.一个正方体的棱长增加2倍，棱长总和增加（ ）倍，表面积增加（ ）倍，体积增加（ ）倍.
例2. 一个长方体，高增加2厘米就成了正方体，表面积增加48平方厘米，求原来长方体的体积.
练习.一个长方体，长a分米，宽b分米，高h分米，如果高减少3分米，这个长方体表面积比原来减少（ ）平方分米？体积比原来减少（ ）立方分米？
例3. 用8个棱长都是1厘米的正方体拼成一个长方体（或正方体），拼成的长方体（或正方体）的表面积最多是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？
练习.一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成六段后，表面积一共增加了多少平方厘米？
小结：
1. 切N刀，切成（ N+1 ）段，增加（ 2N ）个面的面积，N段拼成一行，有（ N-1 ）条缝，减少（2N-2 ）个面的面积.
2. 切表面积发生变化，个体体积变化，总体体积不变；
3. 拼表面积发生变化，总体体积不变.
4.顶点处挖，表面积不变；棱上挖，表面积表面积增加两个小面；中间挖，表面积增加四个面.
知识点二：空间想象
根据正方体的6个面进行推导想象，先确定好对面的数对再进行推导，再判断的过程中通过相邻的两个面进行推导，在翻转的过程中朝一个方向翻转时两个侧面不变.
例1.有一个正方体，它的六个面分别标上了1-6， 图中是从三个角度观察到的图像. “？” 处的数字应该是______.
练习. 如图一个正方体的六面都标上数字，请问5对面是（　　）.
例2.如图所示，在小正方体六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，且“1”的对面是“4”，“2”的对面是“5”，“3”的对面是“6”．按箭头方向在方格上沿小正方体的某条棱翻动小正方体，当它从图中所在位置翻到A格时，看到的样子是．照此继续将小正方体翻到B格时，朝上的面上的数字是　 　，再继续按箭头方向将小正方体翻到E格时，朝上的面上的数字是　 　.
练习. 如图所示，在小正方体六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，且“1”的对面是“4”，“2”的对面是“6”，“3”的对面是“5”．按箭头方向在方格上沿小正方体的某条棱翻动小正方体，当它从图中所在位置翻到A格时，看到的样子是．照此继续将小正方体翻到C格时，朝上的面上的数字是　 　，再继续按箭头方向将小正方体翻到E格时，朝上的面上的数字是　 　.
小结：
根据正方体的6个面进行推导想象，先确定好对面的数对再进行推导，再判断的过程中通过相邻的两个面进行推导，在翻转的过程中朝一个方向翻转时两个侧面不变.
知识点三：图形探索
一、涂色求表面积问题
大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；
在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；
在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；
在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1个；
用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数.
二、数几何体
1.分层数出几何体中小正方体的块数.
(1) 第一层：1块
第二层：1＋2＝3块
总块数：1＋3＝4块
(2) 第一层：1块
第二层：1＋2＝3块
第三层：1＋2＋3＝6块
总块数：1＋3＋6＝10块
2.列表探究几何体中每层小正方体的块数与所处层数之间的关系.
几何体的层数 每层小正方体的块数 与层数的关系
第一层 1 1×(1＋1)÷2＝1
第二层 3 2×(1＋2)÷2＝3
第三层 6 3×(1＋3)÷2＝6
第四层 10 4×(1＋4)÷2＝10
第五层 15 5×(1＋5)÷2＝15
… … …
第n层 n×(1＋n)÷2 n×(1＋n)÷2
3.总结规律.
(1) 第n层的小正方体的块数＝n×(1＋n)÷2
(2) 几何体中小正方体的总块数＝各层小正方体的块数之和.
例1.长方体共有（ ）个小正方体；长方体中有三个面在外面得正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有（ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体（ ）.
练习. 一个魔方， 其 8 个顶点处的小立方体被老鼠咬掉了（如图所示）。给这个立体图形表面染色，有 4 个面被染色的小立方体有______个，有 1 个面被染色的小立方体有
______个，有 0 个面被染色的小立方体有______个.
例2.下列立体图形是由一些棱长为1的小立方体粘合而成的；求它的体积：
一个5×5×5的立方体，所有的面有4个小正方形被打通，如图：
练习. 下列立体图形是由一些棱长为1的小立方体粘合而成的；求它的体积：
一个5×5×5的立方体，所有面的中心正方形被打通，如图：
总结：
一、画图法
画图法是指用实物简图，示意图，线条图，线段图等直观图形表示题中的数量关系，使题意形象具体，一目了然，以便较快找到解题途径的解题策略.画图法对解答条件隐蔽、复杂的问题，可以起到化难为易的作用.
二、等积变形法
等积变形法是指几何图形的形状发生变化后，变化后的物体和原物体相比较，体积与原来相等.