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2.1-2.2 不等关系 不等式的基本性质
一、单选题
1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．、是实数，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，甲、乙、丙玩跷跷板(支点在中点处)，则甲、乙、丙三人体重最重的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
6．如图，下列结论正确的是（ ）
A．c＞a＞b B． C．|a|＜|b| D．abc＞0
7．下列各式中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
8．下列叙述：①如果a是非负数，则；②“减去10不大于2”表示为；③“的倒数超过10”表示为；④“a，b两数的平方和为正数”表示为；其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题:
①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．“x与2的差不小于x的5倍”用不等式表示为___________．
12．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有________个．
13．若x>y，试比较大小：﹣3x+5 ______﹣3y+5．（填“>”、“<”或“＝”）
14．设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是__________．
15．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则_____．
（2）若，为实数，则____．
16．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的＞”“＜”或“＝”．
（1）______；（2）________0；
（3）__________；（4）________；
（5）________；（6）_______；
（7）________；（8）_______．
17．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：
(1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．
(2)如果，那么a_______；根据是________．
(3)如果，那么x________；根据是________．
(4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________．
18．设、、、是四个正数，且满足下列条件：①，②，③，则、、、的大小关系是________．（用号连接）
19．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．当时，的值为______．
20．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
三、解答题
21．用不等式表示：
（1）a与2的和是正数．
（2）x与y的差小于3．
（3）x，y两数和的平方不小于4．
（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．
22．下列变形是怎样得到的？
（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得．
23．利用不等式的基本性质求下列不等式的解集,并说出变形的依据.
(1)若x+2 012>2 013,则x__________；(______________________________)
(2)若2x>-,则x__________；(______________________________)
(3)若-2x>-,则x__________；(______________________________)
(4)若->-1,则x__________.(______________________________)
24．用不等式表示下列数量之间的不等关系：
(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．
25．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解．
26．（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（2）若a＜c＜b＜0，则abc 0；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负．
27．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故.③
（1）上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程．
28．比较a+b与a-b的大小时,我们可以采用下列解法.
解:∵(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b,
∴当2b>0,即b>0时,a+b>a-b;
当2b<0,即b<0时,a+b
当2b=0,即b=0时,a+b=a-b.
这种比较大小的方法叫“作差法”,请用“作差法”比较x2-x+1与x2+2x+1的大小.
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2.1-2.2 不等关系 不等式的基本性质
一、单选题
1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解析】
解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①；②；⑤，⑥共有4个．
答案：．
【点睛】
本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号: ＞、＜、≤、≥、≠．
2．下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解析】
解：∵
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B符合题意；
∵，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．、是实数，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】
根据即可判断a、b是同号，再由即可判断出，．
【解析】
解：∵，，
∴，，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
4．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据不等式的定义即可列出温度的变化范围．
【解析】
解：年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，
当天淮安气温的变化范围是，
答案：．
【点睛】
此题主要考查不等式的表示，解题的关键是根据题意列出符合题意的不等式．
5．如图，甲、乙、丙玩跷跷板(支点在中点处)，则甲、乙、丙三人体重最重的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由平衡可知甲比乙重，丙比甲重，从而可得出答案．
【解析】
解：由题图可知，甲比乙重，丙比甲重，所以丙最重．
故选C.
【点睛】
此题主要考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是由两个图得出甲乙丙之间的重量关系，属于基础题．
6．如图，下列结论正确的是（ ）
A．c＞a＞b B． C．|a|＜|b| D．abc＞0
【答案】B
【分析】
根据数轴可得：再依次对选项进行判断．
【解析】
解：根据数轴上的有理数大小的比较大小的规律，从左至右逐渐变大，
即可得：，
A、由，得，故选项错误，不符合题意；
B、，根据不等式的性质可得：，故选项正确，符合题意；
C、，可得，故选项错误，不符合题意；
D、，故，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用数轴比较大小，不等式的性质、绝对值，解题的关键是得出．
7．下列各式中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质，可得答案．
【解析】
A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、当a＜0时，不等式两边乘负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、当c＜0时，ac＜bc，故C错误；
D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．下列叙述：①如果a是非负数，则；②“减去10不大于2”表示为；③“的倒数超过10”表示为；④“a，b两数的平方和为正数”表示为；其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数大于或等于0；“不大于”就是“小于或等于”；正数就是大于零的数．
【解析】
①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；
②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误；
③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为＞10．故③正确；
④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2+b2＞0．故④正确．
综上所述，正确的说法有3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
9．已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，确定的符号，进而根据不等式的性质即可求解．
【解析】
，
，
，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10．下列命题:
①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否．
【解析】
①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号．
二、填空题
11．“x与2的差不小于x的5倍”用不等式表示为___________．
【答案】
【分析】
应理解：不小于，即大于或等于．
【解析】
根据题意，得x-2≥5x．
故答案是：x-2≥5x．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．本题不小于即“≥”．
12．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有________个．
【答案】2
【分析】
运用不等式的定义进行判断．
【解析】
解：是等式，
和是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.
不等式有：，.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
13．若x>y，试比较大小：﹣3x+5 ______﹣3y+5．（填“>”、“<”或“＝”）
【答案】<
【分析】
利用不等式的性质进行判断．
【解析】
解：∵x>y，
∴﹣3x<﹣3y，
∴﹣3x+5<﹣3y+5．
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
14．设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是__________．
【答案】
【分析】
设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是
【解析】
解：如图，左边=x+2y，右边=2x+y．
由于左边＞右边，
所以列出不等式x+2y＞2x+y．
故答案是：x+2y＞2x+y．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，难度不大，用代数式表示出天平的左边重量和右边重量即可列出不等式．
15．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则_____．
（2）若，为实数，则____．
【答案】＜
＞
【分析】
（1）由不等式的性质可得，即可求解．
（2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小．
【解析】
解：（1），且，
，
，
故答案为：．
（2）
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要是考察了比较代数式的大小以及不等式的基本性质，常见的比较大小的方法有：作差法、作商法、两边同时平方等，熟练运用合适的方法进行比较，是解决此类题的关键．
16．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的＞”“＜”或“＝”．
（1）______；（2）________0；
（3）__________；（4）________；
（5）________；（6）_______；
（7）________；（8）_______．
【答案】＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞
【分析】
本题主要是根据不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的方向不改变；
（2）不等式的两边同时乘或除以一个大于零的数或式子，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘或除以一个小于零的数或式子，不等号的方向改变．
据此可以对不等号的方向进行判断．
【解析】
解：由数轴的定义得：a>0，b>0，c＜0，a>b>c ，
（1）不等式a>b的两边同加上3，不改变不等号的方向，则>；
（2）不等式a>b的两边同减去b，不改变不等号的方向，则a-b>b-b，即a-b>0；
（3）不等式a>b的两边同乘以，不改变不等号的方向，则>；
（4）不等式a>b的两边同乘以-2，改变不等号的方向，则<；
（5）不等式a>b的两边同乘以-4，改变不等号的方向，则-4a<-4b；不等式-4a<-4b的两边同加上1，不改变不等号的方向，则<；
（6）不等式a>b的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则 > ；
（7）不等式a>b的两边同减去c，不改变不等号的方向，则>；
（8）不等式a>b的两边同乘以正数b，不改变不等号的方向，则>．
【点睛】
本题主要是考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的三个性质的应用是解本题的关键，同时不等式的性质（3）是类似题型中考查的重点及易错点．
17．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：
(1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．
(2)如果，那么a_______；根据是________．
(3)如果，那么x________；根据是________．
(4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________．
【答案】＞ 不等式基本性质1 ＞ 不等式基本性质3 ＜ 不等式基本性质2 ＜ 不等式基本性质1；
【分析】
（1）根据不等式基本性质1，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，求解即可；
（2）根据不等式基本性质3，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，据此求解即可；
（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号方向不变，求解即可；
（4）根据不等式基本性质1，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，求解即可．
【解析】
解：（1）如果x+2＞5，那么，不等号两边同时减去2，不等号方向不变，根据的是不等式基本性质1；
（2）如果，不等号两边同时乘以，那么；根据是不等式基本性质3；
（3）如果，不等号两边同时乘以，那么；根据是不等式基本性质2；
（4）如果x-3＜-1，不等号两边同时加上3，那么；根据是不等式基本性质1；
故答案为：，不等式基本性质1；，不等式基本性质3；，不等式基本性质2；，不等式基本性质1．
【点睛】
此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
18．设、、、是四个正数，且满足下列条件：①，②，③，则、、、的大小关系是________．（用号连接）
【答案】
【分析】
根据不等式的性质，由③可确定，结合条件②可得，根据条件①即可判断、、、的大小关系．
【解析】
∵，
∴，
∵，a 、 b 、 c 、 d都是正数
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
19．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．当时，的值为______．
【答案】1
【分析】
根据x的取值范围判断x+1和-x+1的取值范围，然后根据[x]表示不超过x的最大整数，列式计算．
【解析】
解：∵0＜x＜1，
∴1＜x+1＜2，0＜-x+1＜1，
∴[x+1]+[-x+1]=1+0=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是利用不等式的性质确定1＜x+1＜2，0＜-x+1＜1，并明确[x]表示不超过x的最大整数．
20．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
【答案】
【分析】
由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可．
【解析】
，
,
,
同理可得,
又,
,
,
即．
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
三、解答题
21．用不等式表示：
（1）a与2的和是正数．
（2）x与y的差小于3．
（3）x，y两数和的平方不小于4．
（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．
【答案】
（1）a+2＞0
（2）x-y＜3
（3）(x+y)2≥4
（4）x+2y≥0
【分析】
结合不等式的定义以及题意列不等式即可．
（1）
因为正数都大于0，
所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0
（2）
“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3
（3）
因为“不小于3”就是“大于或等于”，
所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4
（4）
因为“非负数”就是“正数或0”，
所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：x+2y≥0
【点睛】
本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如，像这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”． 其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．②在不等式“”或“”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．③在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．
22．下列变形是怎样得到的？
（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）两边除以再减去得到结果；
（2）两边减去再除以得到结果；
（3）两边除以加上再乘以得到结果.
【解析】
（1），
两边除以得：，
两边减去得：；
（2），
两边减去得：，
两边除以得：；
（3），
两边除以得：，
两边加上得：，
两边乘以得：.
【点睛】
此题考查不等式的性质：不等式的两边加（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
23．利用不等式的基本性质求下列不等式的解集,并说出变形的依据.
(1)若x+2 012>2 013,则x__________；(______________________________)
(2)若2x>-,则x__________；(______________________________)
(3)若-2x>-,则x__________；(______________________________)
(4)若->-1,则x__________.(______________________________)
【答案】>1 >- < <7
【解析】
试题分析：
试题解析：（1）根据不等式的性质1，给不等式的两边同时减去2012，不等号的方向不变，则有；
（2）根据不等式的性质2，给不等式的两边同时除以2，不等号的方向不变，则有
（3）根据不等式的性质3，给不等式的两边同时除以，不等号的方向改变，则有
（4）根据不等式的性质3，给不等式的两边同时乘以-7，不等号的方向改变，则有
故答案为 不等式的性质1.
不等式的性质2.
不等式的性质3.
不等式的性质3.
24．用不等式表示下列数量之间的不等关系：
(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）较去年有所增加，即比去年多的意思；
（2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案.
【解析】
解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加，
则x＞480 ；
（2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码，
则3x＞5.
【点睛】
本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
25．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解．
【答案】方程的解为或．
【分析】
先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可．
【解析】
解：∵（为定值）是关一元一次不等式，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26．（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（2）若a＜c＜b＜0，则abc 0；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负．
【答案】(1) ＞;(2) ＜;(3) -4a+2b,结果为正
【分析】
(1)根据不等式的基本性质即可求解;
(2)根据有理数的乘法法则即可求解;
(3)先化简,再根据根据不等式的基本性质即可求解;
【解析】
解:∵a＜0
∴a＞2a
(2) ∵a＜c＜b＜0，
∴ac>0（同号两数相乘得正），
∴abc＜0（不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变）．
(3) 4（c﹣a）﹣2（2c﹣b）=4c-4a-4c+2b=-4a+2b
∵a＜c＜0＜b
∴-4a＞0, 2b＞0
∴-4a+2b＞0
故结果为正
【点睛】
主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
27．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故.③
（1）上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
（2）对不等式性质3应用错误；
（3）根据不等式3的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【解析】
解：（1）②
（2）错误地运用了不等式的性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变．
（3）因为，所以－2019a＜－2019b，故－2019a＋1＜－2019b＋1.
【点睛】
此题主要考查不等式的性质3及其应用，是一道比较基础的题．
28．比较a+b与a-b的大小时,我们可以采用下列解法.
解:∵(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b,
∴当2b>0,即b>0时,a+b>a-b;
当2b<0,即b<0时,a+b当2b=0,即b=0时,a+b=a-b.
这种比较大小的方法叫“作差法”,请用“作差法”比较x2-x+1与x2+2x+1的大小.
【答案】当x>0时,x2-x+1x2+2x+1.
【分析】
根据题意利用作差法比较两式子的大小即可．
【解析】
(x2-x+1)-(x2+2x+1)= x2-x+1-x2-2x-1=-3x,
∴当-3x>0，即x<0时,x2-x+1>x2+2x+1;
当-3x=0，即x=0时,x2-x+1=x2+2x+1;
当-3x<0，即x>0时,x2-x+1【点睛】
本题考查的是不等式的性质，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．
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第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
2.1-2.2不等关系 不等式的基本性质
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？
例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm，
则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间的关系.
如：156 > 155或155 < 156.
155cm
156cm
问题引入
问题1 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？
我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50.
问题引导
一、不等式的概念
问题2 一辆轿车在一条规定车速应高于60km/h，且低于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时间之间的关系可得： s>60x，且s<100x.
问题3 铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
根据题意可得： a+b+c≤160.
观察由上述问题得到的关系式：156>155，155<156，x>50，s>60x，s<100x,a+b+c≤160 ，它们有什么共同的特点？
总结归纳
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式（inequality）.
左右不相等
注意:用符号“≠”连接的式子也叫不等式.
1.下列式子中,是不等式的是 ( )
A.x+1=0 B.2x
C.x2-2x-3 D. +3>0
D
练一练
2.用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比a与3的和小;
(2)y的一半与5的差是非负数;
(3)a,b两数的和的平方不大于3;
(4)y的3倍与x的4倍的和是负数;
(5)某天的气温x不高于 25 ℃.
解：（1）2a（2） y-5≥0.
（3） ≤3.
（4）3y+4x<0.
（5）x≤25.
还记得等式的基本性质吗？
想一想：不等式有类似的性质吗？
1. 等式的两边同时加（或减）_____代数式，所得结果仍是_____.
同一个
等式
2. 等式的两边同时乘_______（或___同一个_____的数），所得结果仍是_____.
同一个数
除以
不为0
等式
二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.
用字母表示：如果a > b，那么a + c > b + c，a – c > b - c.
如果a < b，那么a + c < b + c，a – c < b - c.
练习
将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：
（1）x + 4 > 7. （2）5x < 3 + 4x.
解：（1）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都减4，得x + 4 - 4 > 7 - 4，即x > 3.
（2）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都减4x，得5x - 4x< 3 + 4x - 4x，即x < 3.
做一做
完成下列填空：
2 < 3;
2 ×5_____3×5;
2 ×(-1)_____3×(-1);
2 ×(-5)_____3×(-5);
2 × _____3× ;
<
<
>
>
你能得到什么结论？
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向____.
不变
用字母表示：如果a > b，并且c > 0，那么ac > bc， .
如果a < b，那么ac < bc， .
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向____.
改变
用字母表示：如果a > b，并且c < 0，那么ac < bc， .
如果a < b，并且c < 0，那么ac > bc， .
例 将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：
（1）x - 5 > -1. （2）-2x > 3.
解：（1）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都加5，得x - 5 + 5 > -1 + 5，即x > 4.
（2）根据不等式的基本性质3，在不等式两边都除以 -2，得x < .
1.下列式子是否正确 为什么
（1）若 x>-3，则x>-6；
（2）若-3x<2，则x< ;
（3）若m练一练
解：（1）根据不等式的基本性质2，不等式两边都乘2，不等号的方向不变，所以x>6，所以（1）正确.
（2）根据不等式的基本性质3，不等式两边都除以-3，不等号的方向改变，所以x> ,所以（2）正确.
（3）当a=0时， ，所以（3）不正确.
2.甲、乙两名同学讨论一个问题,甲同学认为“5a>4a”,乙同学认为“5a<4a”,这两名同学的观点是否正确 为什么
解:这两名同学的观点都不正确.由5>4可知,
当a>0时,根据不等式的基本性质2,得5a>4a;
当a=0时,5a=4a;
当a<0时,根据不等式的基本性质3,得5a<4a.
解：
（1）不等式的两边都加上5，由不等式基本
性质1，得
x ＞ －1 +5，
即 x ＞ 4 .
例 将下列不等式化成“x＞a”“x＜a”的形式.
（1）x －5 ＞ －1 ；
（2） －2x＞ 3 ；
（2）不等式的两边都除以－2，由不等式基本
性质3，得
利用不等式的性质把不等式化成x＞a、x＜a的形式
（3） x －7 < 8，
解：
不等式的两边都加上7，由不等式基本性质1，得
x －7+7 < 8+7，
即 x < 15 .
（3）x －7 < 8 ；
（4） 3x < 2x －3 .
（4） 3x < 2x －3，
不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得
3x －2x < 2x－3－2x，
即 x < －3.
1.用“＜”或“＞”号填空：
(1) －7____－5； (2) (－4)2____(－3)2；
(3) |－0.5|____|－1000|；
(4) 3＋4____1＋4； (5) 5＋3____12－5；
(6) 6×3____4×3； (7) 6×(－3)____4×(－3).
＜
＞
＜
＞
＞
＞
＜
2.用适当的符号表示下列关系：
(1) a 是负数； (2) a 是非负数；
(3) a 与 b 的和小于 5； (4) x 与 2 的差大于 －1；
(5) x 的 4 倍不大于 7； (6) y 的一半不小于 3．
a＜0
a≥0
a＋b＜5
x－2＞－1
4x≤7
y ≥3
3. 下列说法不一定成立的是（ ）.
A. 若a > b，则a + c > b + c
B. 若a + c > b + c，则a > b
C.若a > b，则ac2 > bc2
D. 若ac2 > bc2，则a > b
C
4. a，b两个实数在数轴上对应点的位置
如图所示，用“>”或“<”填空.
（1）a___b；
（2）|a|___|b|;
（3）a + b___a - b；
（4）ab___a.
0
a
b
>
<
<
<
5.某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共 15 支，所付金额大于 26 元，但小于 27 元.已知签字笔每支 2 元，圆珠笔每支 1.5 元，则其中签字笔购买了多少支？（只列关系式）
【解析】设其中签字笔购买了x支，则圆珠笔买了
（15-x)支，根据题意可得:26＜2x+1.5(15-x)＜27.
6.用甲、乙两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素 C 含量如下表所示,要配制这种饮料 10 千克，要求至少含有 4 200 单位的维生素 C，试写出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式.
【解析】因为用甲种原料 x 千克，所以用乙种原料（10-x）千克，则甲种原料 x 千克含维生素C为 600x 单位，乙种原料（10-x）千克含维生素 C 为100（10-x）单位.根据题意，得 600x+100(10-x)≥4 200.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.不等式的概念：用符号“<”(或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.
2.列不等式:
抓住题目的关键词，将其转化为相应的不等号.小于→<，大于→>，不小于→≥ ，不大于→≤.
课堂小结
不等式的基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.不等式的基本性质:
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