2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的性质与判定 同步练习题 (word版含解析）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．20 B．16 C．34 D．25
3．对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
4．正方形具有而菱形不具备的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
5．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）
A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
6．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形
9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形
D．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形
10．下列说法不正确的是（　　）
A．平行四边形对角相等
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．菱形的对角线互相垂直平分
11．如图，下列四组条件中，能判定 ABCD是正方形的有（　　）
①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
二．填空题（共12小题）
13．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是　 　．
14．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为　 　．
15．正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，AE与CD交于点F，则∠AFC＝　 　度．
16．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是　 　cm2．
17．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝AC，若AE交CD于点F，则∠AFC＝　 　°．
18．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为　 　．
19．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为　 　．
20．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是　 　．
21．如图，等边△ABE与正方形ABCD有一条公共边，点E在正方形外，连接DE，则∠BED＝　 　°．
22．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是　 　．
23．如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为　 　．
24．如图，已知点P为正方形ABCD内一点，且PA＝PB＝5cm，点P到边CD的距离也为5cm，则正方形ABCD的面积为　 　cm2．
三．解答题（共2小题）
25．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
26．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
27．如图，在 ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若AC＝2AB，则四边形GEHF是 　 　形；
（3）当AC、AB满足 　 　时，四边形GEHF是正方形．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F，连接DC、AE．
（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝8，AC＝6，求四边形ADCE的面积；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．
参考答案
1．解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
2．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
3．解：A、菱形的对角线互相垂直平分，且不相等，故本选项正确；
B、矩形的对角线互相平分，且相等，故本选项错误；
C、正方形的对角线互相垂直平分，且相等，故本选项错误；
D、平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误．
故选：A．
4．解：A、对角线互相平分，正方形和菱形都具有，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直，正方形和菱形都具有，故本选项不符合题意；
C、对角线平分一组对角，正方形和菱形都具有，故本选项不符合题意；
D、正方形对角线相等，菱形对角线不相等，故本选项符合题意．
故选：D．
5．解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示：
则∠ADO＝∠OEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴AD＝1，OD＝，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝90°，OC＝AO，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD＝1，CE＝OD＝，
∴点C的坐标为（，﹣1）．
故选：A．
6．
解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD＝BC×AE＝CD AF．
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
7．解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．
8．解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；
B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；
C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；
D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；
故选：C．
9．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．解：A、平行四边形对角相等，正确；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
C、一组对边相等，且这组对边平行的四边形是平行四边形，错误；
D、菱形的对角线互相垂直平分，正确．
故选：C．
11．解：①AB＝BC，∠A＝90°；
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC＝BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
③OA＝OD，BC＝CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA＝OD，所以AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA；
由∠BOC＝90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD＝∠CDB＝∠DCA，所以OC＝OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确．
故选：D．
12．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝（180°﹣∠BAE）＝15°，
故答案为：15°．
14．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，BF＝AE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．
故答案为14．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，CE＝CA，
∴∠ACE＝45°+90°＝135°，∠E＝22.5°，
∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°．
故答案为112.5．
16．解：∵正方形的一条对角线长为8cm，
∴面积是×8×8＝32cm2．
故答案为：32．
17．解：∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝45°，
∴∠E+∠CAE＝45°，
∴∠E＝×45°＝22.5°，
在△CEF中，∠AFC＝∠E+∠ECF＝22.5°+90°＝112.5°．
故答案为：112.5．
18．解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标（﹣，1），
故答案为（﹣，1）．
19．解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4，
∴阴影部分的正方形的边长为5﹣4＝1，
∴阴影部分面积为1×1＝1．
故答案为：1．
20．解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵四边形BDCE是菱形，
∴BD＝CD．
∵BC＝2，∠D＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝2，
∴CG＝1，GD＝CD sin60°＝2×＝，
∴D（2+，1）．
故答案为：（2+，1）．
21．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵等边三角形ABE，
∴AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠DAB）÷2＝15°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°，
故答案为：45°
22．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
23．解：∵△ABC是等边三角形，ABDE是正方形，
∴AC＝AE，
∴∠CAB＝60°，∠EAB＝90°，
∴∠CAE＝150°，
∴∠ACE＝∠AEC＝15°，
∵△AEF和△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴∠ABF＝∠AEF＝15°．
故答案为：15°．
24．解：过P作EF∥AD，则PE⊥CD，PF⊥AB，
设PF＝x，则AB＝5+x，AF＝FB＝，
在直角△APF中，AP为斜边，AP＝5cm，PF＝x，FA＝，
且AF2+PF2＝AP2，
解得x＝3cm，
所以AB＝3cm+5cm＝8cm，
故正方形面积为S＝AB AB＝64cm2，
故答案为 64．
25．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
26．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．
27．证明：（1）连接BD，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，
∴点O是对角线AC，BD的交点，
∴OB＝OD，
∵G是AD的中点，
∴EG是△AOD的中位线，
∴EG∥OD，EG＝OD，
同理：FH∥OB，FH＝OB，
∴EG＝HF，EG∥HF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）∵四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AC＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形；
故答案为：矩；
（3））∵四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AC＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形，
∵AC⊥AB，
∴EG⊥EH，
∴矩形GEFH是正方形．
故答案为：AC＝2AB，AC⊥AB．
28．证明：（1）∵平行四边形BCED，
∴CE∥BD，CE＝BD，
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∴CE∥AD，CE＝AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又BC∥DE，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
故四边形ADCE为菱形；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝，
∵D为AB中点，F也为AC的中点，
∴DF＝，
∴四边形ADCE的面积＝AC×DF＝6；
（3）应添加条件AC＝BC．
证明：∵AC＝BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC＝90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE＝BC＝AC，∠AFD＝∠ACB＝90°．
∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）