2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章 特殊平行四边形同步练习题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章 特殊平行四边形同步练习题（word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 188.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-24 22:00:54 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元综合练习题（附答案）
1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
3．顺次连接四边形ABCD四边中点得到新的四边形为菱形，那么原四边形ABCD为（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
4．如图， ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
6．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
8．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．
9．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1.5，则CN的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5
10．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 ．
11．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE＝3，则点P到AD的距离为 ．
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为 ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AB＝AE，则∠B＝ ．
14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为 ．
15．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED＝1：3，AE＝，则BD＝ ．
16．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
18．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
19．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．求证：
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）BF＝（AB﹣AC）．
20．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
参考答案
1．解：菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直，也不平分一组对角，故答案应为对角线互相平分，所以ACD错误，B正确．
故选：B．
2．解：由正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判断；
④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故选：D．
3．解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EF＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，
∴EH∥FG，EF＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵一组邻边相等的四边形是菱形，
∴若AC＝BD，则四边形是菱形．
故选：C．
4．解：∵DB＝DC，∠C＝70°
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝．
故选：B．
6．解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝3，
∴AB＝BC，OA＝OC，
∴AB＝，
∴正方形的面积＝，
故选：C．
7．解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
8．解：由题意，可得BE与AC交于点P．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：B．
9．解：连接AC、BD，如图，
∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，
∴OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∠COD＝90°，
在Rt△COD中，CD＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴∠MBO＝∠NDO，
在△OBM和△ODN中，
，
∴△OBM≌△ODN（ASA），
∴DN＝BM，
∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，
∴BM＝B'M＝1.5，
∴DN＝1.5，
∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1.5＝3.5，
故选：A．
10．解：已知AC＝10，BD＝24，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO＝5，BO＝12cm，
∴AB＝＝13，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝13，
∴菱形的周长为4×13＝52．
故答案是：52．
11．解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF＝PE＝3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
12．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的面积＝BG×AB＝×6＝；
故答案为：．
13．解：∵△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB＝AE，AF＝AD，
设∠B＝x，则∠BAD＝180°﹣x，
∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x，
又∵∠BAE+∠EAF+∠FAD＝∠BAD
即180°﹣2x+180°﹣2x+60°＝180°﹣x
解得x＝80°，
故答案为：80°
14．解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠EAF＝45°，
又∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°，∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝3，
∵△EFC的周长为12，
∴FC＝12﹣3﹣EC＝9﹣EC，
在Rt△EFC中，EC2＝EF2+FC2，
∴EC2＝9+（9﹣EC）2，
解得EC＝5．
故答案为：5．
15．解：如图（一）所示，
AB是矩形较短边时，
∵矩形ABCD，
∴OA＝OD＝；
∵OE：ED＝1：3，
∴可设OE＝x，ED＝3x，则OD＝2x
∵AE⊥BD，AE＝，
∴在Rt△OEA中，x2+（）2＝（2x）2，
∴x＝1
∴BD＝4．
当AB是矩形较长边时，如图（二）所示，
∵OE：ED＝1：3，
∴设OE＝x，则ED＝3x，
∵OA＝OD，
∴OA＝4x，
在Rt△AOE中，x2+（）2＝（4x）2，
∴x＝，
∴BD＝8x＝8×＝．
故答案为：4或．
16．解：（1）如图所示，射线OP即为所求．
（2）如图所示，点C即为所求；
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
19．证明：（1）延长CE交AB于点G，如图所示：
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴GE＝EC，
∵D是边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
20．解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠FCP，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF+∠PAB＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
（3）过点 C 作CN⊥PB．
∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS），
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴AE+EF+AF
＝CE+EF+AF
＝BN+AF
＝PN+PB+AF
＝AB+CN+AF
＝AB+BF+AF
＝2AB
＝16．
1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
3．顺次连接四边形ABCD四边中点得到新的四边形为菱形，那么原四边形ABCD为（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
4．如图， ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
6．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
8．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．
9．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1.5，则CN的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5
10．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 ．
11．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE＝3，则点P到AD的距离为 ．
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为 ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AB＝AE，则∠B＝ ．
14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为 ．
15．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED＝1：3，AE＝，则BD＝ ．
16．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
18．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
19．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．求证：
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）BF＝（AB﹣AC）．
20．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
参考答案
1．解：菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直，也不平分一组对角，故答案应为对角线互相平分，所以ACD错误，B正确．
故选：B．
2．解：由正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判断；
④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故选：D．
3．解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EF＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，
∴EH∥FG，EF＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵一组邻边相等的四边形是菱形，
∴若AC＝BD，则四边形是菱形．
故选：C．
4．解：∵DB＝DC，∠C＝70°
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝．
故选：B．
6．解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝3，
∴AB＝BC，OA＝OC，
∴AB＝，
∴正方形的面积＝，
故选：C．
7．解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
8．解：由题意，可得BE与AC交于点P．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：B．
9．解：连接AC、BD，如图，
∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，
∴OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∠COD＝90°，
在Rt△COD中，CD＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴∠MBO＝∠NDO，
在△OBM和△ODN中，
，
∴△OBM≌△ODN（ASA），
∴DN＝BM，
∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，
∴BM＝B'M＝1.5，
∴DN＝1.5，
∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1.5＝3.5，
故选：A．
10．解：已知AC＝10，BD＝24，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO＝5，BO＝12cm，
∴AB＝＝13，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝13，
∴菱形的周长为4×13＝52．
故答案是：52．
11．解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF＝PE＝3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
12．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的面积＝BG×AB＝×6＝；
故答案为：．
13．解：∵△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB＝AE，AF＝AD，
设∠B＝x，则∠BAD＝180°﹣x，
∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x，
又∵∠BAE+∠EAF+∠FAD＝∠BAD
即180°﹣2x+180°﹣2x+60°＝180°﹣x
解得x＝80°，
故答案为：80°
14．解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠EAF＝45°，
又∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°，∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝3，
∵△EFC的周长为12，
∴FC＝12﹣3﹣EC＝9﹣EC，
在Rt△EFC中，EC2＝EF2+FC2，
∴EC2＝9+（9﹣EC）2，
解得EC＝5．
故答案为：5．
15．解：如图（一）所示，
AB是矩形较短边时，
∵矩形ABCD，
∴OA＝OD＝；
∵OE：ED＝1：3，
∴可设OE＝x，ED＝3x，则OD＝2x
∵AE⊥BD，AE＝，
∴在Rt△OEA中，x2+（）2＝（2x）2，
∴x＝1
∴BD＝4．
当AB是矩形较长边时，如图（二）所示，
∵OE：ED＝1：3，
∴设OE＝x，则ED＝3x，
∵OA＝OD，
∴OA＝4x，
在Rt△AOE中，x2+（）2＝（4x）2，
∴x＝，
∴BD＝8x＝8×＝．
故答案为：4或．
16．解：（1）如图所示，射线OP即为所求．
（2）如图所示，点C即为所求；
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
19．证明：（1）延长CE交AB于点G，如图所示：
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴GE＝EC，
∵D是边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
20．解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠FCP，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF+∠PAB＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
（3）过点 C 作CN⊥PB．
∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS），
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴AE+EF+AF
＝CE+EF+AF
＝BN+AF
＝PN+PB+AF
＝AB+CN+AF
＝AB+BF+AF
＝2AB
＝16．