四川省泸州市泸县2021-2022学年高三上学期期末联考理科数学试题（Word版含答案）

泸县2021-2022学年高三上学期期末联考
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则
A． B． C．2 D．4
2.某调查机构对全国互联网进行行业调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
C．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的
3.若双曲线的离心率为2，则
A． B． C．或3 D．3
4.若的展开式中，项与项的系数和为，则实数
A． B． C．0 D．1
5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则
A． B． C． D．
6.函数的大致图象是
A. B. C. D.
7.已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A. B. C.1 D.
8.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为A． B． C． D．
9.已知菱形的对角线 相交于点, 点为的中 点， 若,则
A. B. C. D.
10.幻方最早起源于我国,由正整数这个数填入方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫阶幻方。定义为阶幻方对角线上所有数的和,如,则
8 1 6
3 5 7
4 9 2
A.55 B.500 C.505 D.5050
11.如图,平面四边形中,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
12.若，则以下 结论正确的有
①②③④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数满足则的最大值为______________．
14.曲线在点处的切线在轴上的截距是_______.
15.不等式在区间上的解集为__________．
16.已知抛物线为过焦点F的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点P，设，则下列结论正确的有 .
①若直线的斜率为-1，则弦；②若直线的斜率为-1，则；
③点P恒在平行于x轴的直线上；④若点是弦的中点，则.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）在中,内角的对边分别为,且.
(1)求角；
(2)若,求周长的最大值.
18.（12分）某商场为改进服务质量,随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查。调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
满意 不满意
男 40 40
女 80 40
(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关
(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动。据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：
支付方式 现金支付 购物卡支付 APP支付
频率 10% 30% 60%
优惠方式 按9折支付 按8折支付 其中有的顾客按4折支付， 的顾客按6折支付，的顾客按8折支付
将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X,求X的分布列和数学期望。
附表及公式：。
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.（12分）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，分别是的中点，点在线段上，且．
（1）求证：不论取何值，总有．
（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值．
20.（12分）已知抛物线上的两个动点和，焦点为.线段的中点为，且两点到抛物线的焦点的距离之和为8.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.
21.（12分）已知函数存
在两个极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设和分别是的两个极值点且，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为,求的值；
(2)若,不等式恒成立,求的取值范围.
四川省泸县高2019级高三秋期末联考
理科数学参考答案
1-5:BCDAA 6-10:ACCBC 11-12:AD
13.6 14. 15. 16.①③④
17.(1)由得．
根据正弦定理,得,化为,
整理得到,因为,
故,又,所以．
(2)由余弦定理有,故,
整理得到,故,
当且仅当时等号成立,所以周长的最大值为.
18.（1）由题得，
所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关，
（2）由题意可知X的可能取值为40,60,80,90，
，
，
则的分布列为：
40 60 80 90
所以（元）.
19.（1）证明：以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，
，
，
．
∵，∴
∴无论取何值，；
（2）解：时，∴，
而面的法向量，设平面的法向量为，
则，可取．设为平面与平面所成二面角．
∴．∴平面与平面所成二面角的余弦值是．
20.（1）由题意知，则，∴，
∴抛物线的标准方程为；
（2）设直线由，得，
∴，∴，即，
即，∴，
设的中垂线方程为：，即，得点的坐标为，
∵直线，即，
∴点到直线的距离，
∴令，则，
令，∴，
令，则，在上；在上，
故在单调递增，单调递减，
∴当，即时，.
21.（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．
当a = 0时，显然只有1个零点．
当a≠0时，令，那么．
若a< 0，则当x> 0时，即单调递增，所以无两个零点.
若a> 0，则当时，单调递增；当时，单调递减，所以. 又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．综上得，实数a的取值范围是．
（2）要证，两边同时取自然对数得．
由得，得.
所以原命题等价于证明．
因为，故只需证，即．
令，则，设，只需证．
而，故在单调递增，所以．
综上得．
22.（1）由题意可知，曲线的直角坐标方程是
即
所以曲线的极坐标方程是
综上所述，结论是：曲线的极坐标方程是
（2）因为直线的方程为
所以直线的参数方程为，其中t是参数
代入曲线的直角坐标方程得
设两点对应的参数分别是
所以
解得
由根与系数的关系得
所以
所以
解得;综上所述，结论是：
23.答案：(1) ,即,
两边平方并整理得,
由已知是关于的方程的两根,
由韦达定理得,
又因为,解得.
(2)因为,
所以不等式恒成立,只需,
当时,,解得或；
当时,,解得,
综上可知实数的取值范围是.
(
1
)