浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

慈溪市2021~2022学年高三上学期期末测试
数学试卷
一 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
5. 若实数x，y满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 5 B. 4 C. -5 D. -6
6. 如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（ ）
A 直线与垂直，直线平面
B. 直线与垂直，直线与平面相交
C. 直线与异面且不垂直，直线平面
D. 直线与异面且不垂直，直线与平面相交
7. 已知函数，，则部分图像为如图的函数可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 设为三角形的一个内角，已知曲线，现给出以下七个曲线：（1）焦点在x轴上的椭圆，（2）焦点在y轴上的椭圆，（3）焦点在x轴上的双曲线，（4）焦点在y轴上的双曲线，（5）抛物线，（6）圆，（7）两条直线.其中是C可以表示的曲线有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
9. 设，为梯形ABCD的两个内角，且满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
二 填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11. 我国古代数学著作《九章算术.商功》阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”彆臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形.如图，已知三棱锥是一个鳖臑，且平面ABC，，则___________.
12. 已知，函数若，则___________.
13. 若，则___________，且___________.
14. 在中，，，，点D在边AC上，且，设R是外接圆的半径，则___________，___________.
15. 甲乙两个袋子中分别装有若干个大小和质地相同的红球和绿球，且甲乙两个袋子中的球的个数之比为1：3，已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率为p.若从甲袋中有放回的摸球，每次摸出一个，直至第2次摸到红球即停止，恰好摸4次停止的概率为___________；若将甲 乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，则p的值为___________.
16. 已知椭圆的左焦点为F，过原点和F分别作倾斜角为的两条直线，，设与椭圆C相交于A B两点，与椭圆C相交于M N两点，那么，当时，___________；当时，___________.
17. 已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为___________.
三 解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的取值范围.
19. 如图，在三棱锥中，，，，点M在线段BC上，且.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20. 已知数列前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，设数列的前n项和为，求.
21. 已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：；
（3）当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
22 设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根 ，当时，证明：.（注：…是自然对数的底数）
慈溪市2021~2022学年高三上学期期末测试
数学试卷 答案版
一 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案 B
3. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 C
4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
答案 B
5. 若实数x，y满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 5 B. 4 C. -5 D. -6
答案 C
6. 如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（ ）
A 直线与垂直，直线平面
B. 直线与垂直，直线与平面相交
C. 直线与异面且不垂直，直线平面
D. 直线与异面且不垂直，直线与平面相交
答案 C
7. 已知函数，，则部分图像为如图的函数可能是（ ）
A. B. C. D.
答案 D
8. 设为三角形的一个内角，已知曲线，现给出以下七个曲线：（1）焦点在x轴上的椭圆，（2）焦点在y轴上的椭圆，（3）焦点在x轴上的双曲线，（4）焦点在y轴上的双曲线，（5）抛物线，（6）圆，（7）两条直线.其中是C可以表示的曲线有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
答案 A
9. 设，为梯形ABCD的两个内角，且满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
10. 已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
二 填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11. 我国古代数学著作《九章算术.商功》阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”彆臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形.如图，已知三棱锥是一个鳖臑，且平面ABC，，则___________.
答案
12. 已知，函数若，则___________.
答案
13. 若，则___________，且___________.
答案 ①. 1 ②. 61
14. 在中，，，，点D在边AC上，且，设R是外接圆的半径，则___________，___________.
答案 ①3 ②.
15. 甲乙两个袋子中分别装有若干个大小和质地相同的红球和绿球，且甲乙两个袋子中的球的个数之比为1：3，已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率为p.若从甲袋中有放回的摸球，每次摸出一个，直至第2次摸到红球即停止，恰好摸4次停止的概率为___________；若将甲 乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，则p的值为___________.
答案 ① ②.
16. 已知椭圆的左焦点为F，过原点和F分别作倾斜角为的两条直线，，设与椭圆C相交于A B两点，与椭圆C相交于M N两点，那么，当时，___________；当时，___________.
答案 ①. ②. 4
17. 已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为___________.
答案
三 解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的取值范围.
答案 （1）
（2）
19. 如图，在三棱锥中，，，，点M在线段BC上，且.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
答案 （1）证明见解析
（2）
20. 已知数列前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，设数列的前n项和为，求.
答案 （1）
（2）
21. 已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：；
（3）当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
答案 （1）
（2）证明见解析 （3）
22 设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根 ，当时，证明：.（注：…是自然对数的底数）
答案 （1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析